Notion de limite d'une suite 1S

J'ai lu les différents sujets traitant des limites sur le forum et je constate qu'on a tous du mal à instaurer les notions de limites en filière S.

Ça commence avec la dérivée et le fameux "je simplifie par h et je remplace h par 0" (dit grossièrement), puis ça se poursuit avec les suites et ça continue en terminale.

Je souhaite aborder la notion de limite d'une suite avec mes 1S de cette façon là:

Soit (u(n)) la suite définie sur ℕ* par u(n)=1/n.
A partir de l'indice 11, tous les termes u(n) appartiennent à l'intervalle ]-0,1 ; 0,1[.
A partir de l'indice 101, tous les termes u(n) appartiennent à l'intervalle ]-0,01 ; 0,01[.
A partir de l'indice 1001, tous les termes u(n) appartiennent à l'intervalle ]-0,001 ; 0,001[.
Plus généralement, on démontre que, pour tout intervalle I=]-a;a[ il existe un indice N tel que pour tout n supérieur à N, les termes u(n) sont dans I.
On dit alors que la suite a pour limite 0 lorsque n tend ver +∞ et on note etc....

Et je compte leur faire cette démonstration:
Soit a un réel positif.
Existe-t-il un indice à partir duquel tous les termes de (u(n)) sont inclus dans l'intervalle ]-a;a[ ?
Il faut donc résoudre la double inéquation - a < u(n) < a.
Premièrement l'inéquation - a < u(n) est toujours vérifiée puisque n>0.
Deuxièmement, u(n) < a ⇔ 1/n < a ⇔ 1/aConclusion, pour tout indice n supérieur à 1/a , le terme u(n) appartient à l'intervalle ]-a ; a[.

Voici mes 2 questions:

1/ Pensez-vous que le fait de dire "A partir de l'indice 11, tous les termes u(n) appartiennent à l'intervalle ]-0,1 ; 0,1[" sans en apporter la moindre preuve est un soucis? Selon moi non puisqu'on est vraiment sur la "notion" de limite et qu'en 1S, ici, on va surtout se baser sur l'intuitif et éviter de s'encombrer avec ce genre de précision. Mais j'aimerais avoir l'avis de collègues qui ont déjà eu des 1S.

2/ Est-ce que la démonstration vous parait utile? N'est-elle pas de nature en embrouiller certains élèves?

Merci!

1/ Affirmer sans prouver pose problème, effectivement.
2/ Oui, la démonstration est utile.
Non, la compréhension de la démonstration ne pose pas problème, au contraire.

Par contre je te suggère de formuler différemment : résoudre u(n)<0,01, puis u(n)<0,0001, puis etc... et de traiter plusieurs exercices du même type (avec des 1/racine(n+3) , des 1/(n²+1), des (2n-5)/(n+3)-2, des (-1)^n /(n²+3) etc ; pour chacun, généralise avec "posons eps>0 ; donner une CS pour avoir abs(u(n))
Par rapport à ce que tu proposes les élèves sont un peu plus acteurs puisque c'est eux qui résolvent les inéquations (ce qui n'est jamais un travail inutile et permet de retravailler un point crucial, "ordre et opérations").
Et ton rôle est de dégager les idées et d'amener à la construction de la définition ; tu peux aussi parler de "tuyau" pour l'intervalle ]-eps;eps[ , avec un petit dessin (n en abscisse, u(n) en ordonnée, et y=eps et y=-eps comme tuyau).

Le meilleur moyen de leur faire comprendre la nécessité de la démonstration est de trouver un contre-exemple. Après avoir fait sentir la limite de 1/n, il faudrait leur montrer une suite qui a l'air aussi de tendre vers 0, mais qui en fait diverge après. Mais j'ai pas d'exemple en tête.

Ils ne vont pas comprendre non plus pourquoi tu prends -a,a et pas 0,a pour ton 'tuyau'. Donne leur aussi une suite alternée en exemple.

Une approche géométrique d'une suite géométrique :
https://blogdemaths.wordpress.com/2016/04/17/series-geometriques-geometriquement/
Idée que j'ai reprise dans ce programme en test pour les amateurs :
http://rdassonval.free.fr/flash/suitegeometrique0.swf
Une approche géométrique d'une convergence qui peut aider ?

Merci pour vos réponses!

Sinon, il y a ce truc là :
http://dl.free.fr/bo9hiM8UO

classique et de bon goût.

Spoiler:

Un « contre-exemple » tout bête : prend f(x) = exp(0.01 x) / (x^2)
Jusqu'à 1000 environ, la fonction s'écrase gentiment puis elle explose, comme le montre le théorème de croissance comparée, mais il faut vraiment gratter. Un élève qui essaie des grandes valeurs de x jusqu'à 1000 ne s'en rend pas compte, donc un coup d'œil rapide à l'écran d'une calculatrice avec une fenêtre ordinaire ne donnera aucun renseignement utile pour la limite en +inf.

Le problème, c'est que l'exponentielle en première S, ça va piquer...

En version 1S on utilise une suite géométrique avec une raison à peine plus grande que 1 pour le numérateur, ça devrait suffire ! Si l'on veut problématiser, on peut toujours comparer l'accroissement de richesse entre une formule à taux d'intérêt et une autre qui correspond à la mise au carré du dénominateur. Ça fait un peu artificiel mais ce n'est pas très grave.