Rédaction de la réciproque de Pythagore

On peut partir du point de vue qu'on utilise Euclide comme "la" référence, mais ça risque de poser quelques problèmes en ce qui concerne les terminologies et conventions usuelles.

Note que savoir quelle proposition est le théorème et quelle proposition la réciproque n'engage à rien envers Euclide ni envers sa terminologie : c'est une question historique, à la limite.

Et puis ça manque cruellement de chaton orange et de blocs colorés toutes ces vieilleries …

:jesors:

VinZT a écrit:Et puis ça manque cruellement de chaton orange et de blocs colorés toutes ces vieilleries …

Tout à fait, même si on peut parfois être surpris...

Oui, de la joie de tester des égalités entre réels avec un langage de programmation …
J'ai tenté d'expliquer à un ipéhère qu'une bonne partie des algorithmes du bac ou des bouquins (notamment celui qui teste si un triangle est rectangle) sont de ce point de vue bidons, mais pour eux, ce n'est pas grave… Il faut en faire quand même. N'importe comment mais en faire. Avec n'importe qui mais en faire.

Ouaip, faut faire, tant pis si ça n'est pas rigoureux, ils verront ça après, après tout hein ils n'ont pas tous le même cursus et donc les mêmes besoins .
Graoumpfff.

(Je me suis égarée sur le sujet Demain, dès l'aube ... et je me suis rappelée pourquoi j'avais choisi les maths plutôt que les langues, en me disant dans mon fort intérieur "les maths, c'est quand même bien plus simple :diable: " et je reviens par ici pour lire la suite ...
Je vais plutôt me coucher ... )

BR a écrit:

bullddoo a écrit:A moins que je me trompe méchamment, le théorème de Pythagore est une équivalence entre la nature du triangle et l'égalité portant sur les surfaces des carrés adjacents aux côtés du triangle. Dans ce cas, est-il juste de parler de réciproque ?
Si maintenant il faut dégager du théorème une propriété puis de démontrer que la réciproque est vraie, ainsi que la contraposée  (mais ça on ne doit plus en parler...)

Tu te trompes méchamment : le théorème de Pythagore stipule que, lorsque le triangle ABC est rectangle en A, le carré de l'hypoténuse est la somme des carrés des autres côtés, c'est à dire BC^2=AB^2+AC^2.

Donc déjà : mea maxima culpa. Mais wikipédia donne comme premier théorème : Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l’angle droit.

Le théorème, dans certains manuels est souvent réduit à : Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l’angle droit.

Là il y a un problème majeur, l'objet n'est plus l'opération du carré, mais le quadrilatère, et des sommes de quadrilatère, moi j'aime pas...

Puis, il y a le cas du triangle ABC. Quid : si c'est ce théorème qui est donné en classe, que peut-on faire avec un triangle MDR ?  

PauvreYorick a écrit:Euclide I 47 théorème, 48 réciproque. Certes c'est un document déjà tardif, mais c'est la version officielle depuis si longtemps...

Version officielle, qui donne deux théorèmes, dont les formulations sont quelques peu verbeuses... et qui sont les suivantes :

Euclide a écrit:
Proposition 47
Théorème : Dans les triangles rectangles, le carré décrit sur le côté opposé à l'angle droit est égal aux carrés construits sur les côtés oui comprennent l'angle droit.

Proposition 48
Théorème : Si le carré qui est construit sur un des côtés d'un triangle est égal aux carrés construits sur les autres côtés du triangle, l'angle compris entre ces deux derniers côtés est droit.

Mais, un problème, s'il en est un : Si le théorème de Pythagore est l'égalité (supposée vraie) des aires des carrés adjacents aux côtés, quid alors de l'égalité fausse, qui n'est pas traitée par le dit théorème. Nos élèves ne peuvent jamais conclure sur le fait qu'un triangle dont on connaitrait les mesures des trois côtés ne soit pas un triangle possédant un angle droit... s'ils n'ont pas fait de logique avant...

Théorème de bullddoo-néoprof-Pythagore :

Un triangle est rectangle si et seulement si le carré construit sur le plus grand côté du triangle a la même aire que la somme de celles des carrés qui sont construit sur les deux autres côtés.

Et avec ce nouveau théorème, plus de problème, il y a l'équivalence...   :diable:

Pour répondre au final au topic du sujet, pour ma part, je demande aux élèves de calculer séparément le carré de la longueur du plus grand côté du triangle, celle de la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Si il y a égalité, la conclusion est que le triangle est rectangle, sinon c'est qu'il n'est pas rectangle.

Je n'ai pas compris le "problème s'il en est un" que tu décris.

J'imagine que c'est le problème de la contraposée, que les élèves ne perçoivent pas comme une équivalence de la propriété elle-même, pour peu qu'"ils n'[aient] pas fait de logique avant".

Bah, 98% des gens ne font jamais de logique de toute leur vie.

ZeSandman a écrit:J'imagine que c'est le problème de la contraposée, que les élèves ne perçoivent pas comme une équivalence de la propriété elle-même, pour peu qu'"ils n'[aient] pas fait de logique avant".

Il suffit de leur faire faire un raisonnement par l'absurde.

Même si, techniquement, nous distinguons le théorème de Pythagore et sa réciproque, nous pouvons certainement convenir que le théorème de Pythagore est un très mauvais exemple pour introduire la contraposée puisque, précisément, l'implication du théorème est une équivalence. Pour n'importe quelle personne sensée (y compris pour un IPR), distinguer l'implication et sa réciproque dans le cas du théorème de Pythagore est un chipotage inutile.

Par contre, maintenant que l'on a désorienté les droites, le théorème de Thalés fournit un exemple nettement plus riche de proposition mathématique où l'implication n'est pas une équivalence : si les droites (AB) et (CD) se coupent en un point O et si (AC) et (BD) sont parallèles, alors OB/OA=OD/OC. La réciproque n'est par contre pas nécessairement vraie : si les droites (AB) et (CD) se coupent en un point O et si OB/OA=OD/OC, on ne peut pas nécessairement conclure que (AC) et (BD) sont parallèles.

Anaxagore a écrit:

ZeSandman a écrit:J'imagine que c'est le problème de la contraposée, que les élèves ne perçoivent pas comme une équivalence de la propriété elle-même, pour peu qu'"ils n'[aient] pas fait de logique avant".

Il suffit de leur faire faire un raisonnement par l'absurde.

Oui bien sûr,  je le fais tout en leur expliquant ce qu'est une contraposée, sur des exemples où il n'y a pas équivalence (le fameux "s'il pleut alors il y a des nuages" ou en géométrie "si c'est un carré alors il y a 4 angles droits").

Je ne suis pas sûr de la pertinence du théorème de Thalès pour la non équivalence, car ils ne rencontreront jamais la situation où les points ne seront pas alignés dans le bon ordre, ou même pas alignés du tout (je précise si besoin que je leur montre ces deux situations pour leur expliquer pourquoi il faut être bien rigoureux dans la rédaction quand ils concluent après le test des égalités, et pourquoi on peut se contenter de tester seulement les côtés dans le même alignement).

À partir de la détermination d'un lieu de points, je faisais construire un contre-exemple pour la réciproque du théorème de Thalès en 3e.

Un grand merci pour toutes vos réponses
Je vois que vous avez plein d'idées et plein d'arguments !

Salut

Mon point de vue c'est que leur méthode est implicitement bonne mais la rédaction est mauvaise: ils font un raisonnement par l'absurde.
Il supposent que le triangle est rectangle, il peuvent donc appliquer le théorème et ils arrivent pas à la bonne longueur. conclusion le triangle n'est pas rectangle. Je suis pas sur que le raisonnement soit valable si par contre le triangle est rectangle (histoire de logique: faux => vrai)

Personnelement j'ai changé d'ordre: je donne le théroème par équivalence et on l'utilise en premier pour montrer si un triangle est rectangle ou pas. Plus tard on apprend à l'utiliser pour calculer la longueur d'un côté. Je trouve ça plus logique dans l'apprentissage: moins de nouveauté d'un coup,plus de progressivité et je n'ai quasiment aucun problème de rédaction une fois qu'ils connaissent les deux utilités.

Je reviens sur le sujet. Ce théorème me perturbe (pas le théorème, mais ce qui en est fait en classe).
J'ai présenté le théorème et la réciproque, et dans bon nombre d'exercices (même dans les livres) on confond contraposée et réciproque. Grr.... je préfère ne pas embrouiller les élèves avec ça que de leur apprendre des erreurs. Les 3/4 de mes élèves ont déjà tellement de mal à comprendre le sens d'une implication... (si... alors étant du français de bien trop haut niveau, "donc", ou "par conséquent" ayant pour eux le même sens que : "car"...)

Ensuite, il me semblait qu'au brevet, on n'exigeait pas de voir apparaître le mot "Pythagore". Et je n'ai aucun souvenir de cette exigence lorsque j'étais élève (mais je peux avoir oublié et je me souviens plus du lycée que du collège). Je ne l'ai donc pas sanctionné pour mes élèves, trouvant plus important qu'ils vérifient que le triangle était bien rectangle (pour la partie directe). Eh bien... il semblerait que mes collègues me blâment pour cela, et dans le barème du devoir commun, la collègue a mis des points pour "Pythagore" mais pas pour "rectangle".
Déprimée je suis.
Et sans doute dans l'erreur?
Merci d'éclairer ma lanterne....

Une présentation utilisée au siècle dernier...
https://www.youtube.com/watch?v=be_PXZZAZds&list=PL6AqklWkhprqKA0FBAuZ2OBQjkwdgEhaT&index=5

Théorème : si ABC est rectangle en A, alors a² = b² + c²
Contraposée (équivaut au théorème) : si a² n'est pas égal à b² + c² alors ABC n'est pas rectangle en A
Réciproque : si a² = b² + c² alors ABC est rectangle en A

Voltaire, je ne comprends pas pourquoi tu redonnes le théorème, sa contraposée et sa réciproque. Ça je le sais (et heureusement). Mais ça passe tellement au-dessus de la tête des élèves.
Et pour tous les autres théorèmes utilisés en classe, on ne donne pas le nom à chaque fois (somme des angles d'un triangle, etc...). Pourquoi cette obsession avec Pythagore? Leplus important à leur faire comprendre n'est-il pas de vérifier les conditions d'application d'un théorème avant de l'utiliser? Et pourquoi aussi parler si jeune de contraposée et de réciproque, alors que la logique de base leur est totalement étrangère? (en tout cas aux miens...). Je trouve que c'est vraiment mettre la charrue avant les boeufs.
Pour ma part, j'étais dans un excellent collège, et une très bonne classe, mais la distinction entre réciproque et contraposée, je ne l'ai vue qu'en prépa... (et peut-être un poil en terminale C).
Enfin, je trouve qu'on (on = mes collègues actuels, certains manuels...) insiste beaucoup trop sur le nom, alors qu'il me semble que la réflexion est plus importante. J'ai vu un barème de brevet, où, dès que les élèves sortaient le mot magique "Pythagore" ils avaient quasiment tous les points (même s'ils avaient tout mélangé, même si l'égalité était fausse). Pour moi, vérifier les conditions et écrire la bonne conclusion est bien plus important... et cette démarche est bien plus utile à leur formation intellectuelle que de savoir que le théorème s'appelle le théorème de Pythagore.

Flo44 a écrit:Je reviens sur le sujet. Ce théorème me perturbe (pas le théorème, mais ce qui en est fait en classe).
J'ai présenté le théorème et la réciproque, et dans bon nombre d'exercices (même dans les livres) on confond contraposée et réciproque. Grr.... je préfère ne pas embrouiller les élèves avec ça que de leur apprendre des erreurs. Les 3/4 de mes élèves ont déjà tellement de mal à comprendre le sens d'une implication... (si... alors étant du français de bien trop haut niveau, "donc", ou "par conséquent" ayant pour eux le même sens que : "car"...)

Ensuite, il me semblait qu'au brevet, on n'exigeait pas de voir apparaître le mot "Pythagore". Et je n'ai aucun  souvenir de cette exigence lorsque j'étais élève (mais je peux avoir oublié et je me souviens plus du lycée que du collège). Je ne l'ai donc pas sanctionné pour mes élèves, trouvant plus important qu'ils vérifient que le triangle était bien rectangle (pour la partie directe). Eh bien... il semblerait que mes collègues me blâment pour cela, et dans le barème du devoir commun, la collègue a mis des points pour "Pythagore" mais pas pour "rectangle".
Déprimée je suis.
Et sans doute dans l'erreur?
Merci d'éclairer ma lanterne....

"
Si je comprends bien, tu te demandes s'il faut mieux rédiger "ABC est un triangle rectangle en A, donc BC^2=AB^2+AC^2" ou bien "d'après le théorème de Pythagore, BC^2=AB^2+AC^2" ? Si c'est le cas, je dirais dans l'idéal les deux "ABC est un triangle rectangle en A, donc d'après le théorème de Pythagore, BC^2=AB^2+AC^2", mais qu'à tout prendre, il vaut mieux la première, et de loin...Si je ne sanctionnerais pas l'absence du nom du théorème, je sanctionnerais l'oubli de la vérification des hypothèses.

Flo44 a écrit:Voltaire, je ne comprends pas pourquoi tu redonnes le théorème, sa contraposée et sa réciproque. Ça je le sais (et heureusement). Mais ça passe tellement au-dessus de la tête des élèves.
Et pour tous les autres théorèmes utilisés en classe, on ne donne pas le nom à chaque fois (somme des angles d'un triangle, etc...). Pourquoi cette obsession avec Pythagore? Leplus important à leur faire comprendre n'est-il pas de vérifier les conditions d'application d'un théorème avant de l'utiliser? Et pourquoi aussi parler si jeune de contraposée et de réciproque, alors que la logique de base leur est totalement étrangère? (en tout cas aux miens...). Je trouve que c'est vraiment mettre la charrue avant les boeufs.
Pour ma part, j'étais dans un excellent collège, et une très bonne classe, mais la distinction entre réciproque et contraposée, je ne l'ai vue qu'en prépa... (et peut-être un poil en terminale C).
Enfin, je trouve qu'on (on = mes collègues actuels, certains manuels...) insiste beaucoup trop sur le nom, alors qu'il me semble que la réflexion est plus importante. J'ai vu un barème de brevet, où, dès que les élèves sortaient le mot magique "Pythagore" ils avaient quasiment tous les points (même s'ils avaient tout mélangé, même si l'égalité était fausse). Pour moi, vérifier les conditions et écrire la bonne conclusion est bien plus important... et cette démarche est bien plus utile à leur formation intellectuelle que de savoir que le théorème s'appelle le théorème de Pythagore.

Oui, enfin, il n'y a pas qu'une "distinction" entre la réciproque et la contraposée, ce sont deux résultats différents. Cela dit, comme toi je n'ai étudié ces notions qu'à partir de la terminale, et je suis perplexe sur l'intérêt de les faire en troisième si c'est pour se limier à deux cas (Pythagore et Thalès) si répétitifs que les "raisonnements" des élèves se limitent vite à une récitation. D'autant que ce travail est finalement très peu suivi en seconde et première.

On a besoin d'une notion quand on l'utilise fréquemment et dans des contextes variés.

SI on voulait vraiment former les élèves à la logique, et pas juste se donner bonne conscience, il serait plus utile (mais plus difficile) de les confronter à des raisonnements longs, en plusieurs étapes, alors que ce qui reste du raisonnement géométrique dans les programmes est aujourd'hui résiduel et disparate.