Nouveau programme de mathématiques en 2de. Rentrée 2019

Faire des essais numériques faire des figures, permet de trouver une conjecture (voir la défunte épreuve "pratique" de maths au bac S). Une fois cette conjecture exprimée, il reste à la démontrer. Et là, aucun empilement d'exemples (j'aime bien le terme "osselets") n'a jamais fait une preuve. Une conjecture démontrée devient un théorème. Par contre, un seul contre-exemple suffit pour démonter (dé-montrer ? j'adore le concept) une conjecture.
Dans ma classe, je fais l'appel. Les trois premiers élèves sont des filles. Donc (j'ai trois exemples qui marchent) tous mes élèves sont des filles (conjecture). Mais non, m'dame ! Ah oui, Arthur est un garçon, donc ma conjecture était fausse. Ca marche très bien pour clarifier le statut de l'exemple, du contre-exemple, voire de la disjonction des cas en vérifiant que tous les élèves sont bien en seconde.

"On observe, on conjecture, on démontre." est la caricature la plus grossière et mensongère de la démarche scientifique et mathématique que la didactique ait produite.

Anaxagore a écrit:"On observe, on conjecture, on démontre." est la caricature la plus grossière et mensongère de la démarche scientifique et mathématique que la didactique ait produite.

Ayant étudié les mathématiques et les sciences physiques : Anaxagore a raison : "On observe, on conjecture et on expérimente pour trouver une loi qui est réfutable" c'est la démarche expérimentale.

En mathématiques, on démontre : irréfutabilité.

Une loi n'est pas un théorème

Voltaire a écrit: Ca marche très bien pour clarifier le statut de l'exemple, du contre-exemple, voire de la disjonction des cas en vérifiant que tous les élèves sont bien en seconde.

Ça marche très bien tant que ce sont des situations non-mathématiques, hélas. Je ne compte plus les fois où, après avoir fait ces analogies en prenant mon temps, j'ai eu droit le jour suivant à des trucs du genre : « u0 < u1 < u2 donc la suite est croissante. » Rien à faire, certains sont bouchés à l'émeri.

La démonstration par récurrence est tellement esthétique

Anaxagore a écrit:"On observe, on conjecture, on démontre." est la caricature la plus grossière et mensongère de la démarche scientifique et mathématique que la didactique ait produite.

Et alors, comment fait-on ?

Bkouche a maintes fois développé des choses relatives à ce slogan.

Par exemple:
"Que pensez-vous de la place donnée, dans les nouveaux programmes de lycée, à l’expérimentation et aux conjectures ?

La " conjecturite " est un fantasme de didacticien : les conjectures ont rarement résulté d’une observation. On ne sait comment Fermat est arrivé à sa conjecture mais il avait des raisons profondes dues à ses lectures de Diophante et à ses connaissances de l’arithmétique. Dans le discours à la mode sur la séquence : " observer, conjecturer, démontrer ", outre le fait qu'il est extérieur à toute pratique scientifique, il y a le risque que l’élève à qui on demande d’émettre une conjecture se dise " qu’est-ce que le professeur attend ? " au lieu de " qu’est-ce que je fais ? " : l’enseignement devient alors dressage."

https://www.sauv.net/bkouche1.php

Ou encore:

https://www.apmep.fr/IMG/pdf/une_imbecillite_pedagogique.pdf

Il suffit de chercher "Bkouche et on observe on conjecture"...

Je ne suis pas d'accord. Et il n'y a pas moins didacticien que moi (biberonnée aux maths modernes, version Lichnerowitz, dès la 6ème). Apprendre à observer me semble important : "le hasard favorise les esprits préparés". Et il me semble difficile de poser des théorèmes comme "les médianes d'un triangle sont concourantes" sans avoir fait quelques figures. Après évidemment, il faut démontrer. Et ce qui se faisait par pliage à l'école primaire et au collège pour familiariser avec les théorèmes, se démontrait ensuite plus ou moins facilement (j'ai un faible pour la démonstration vectorielle). C'est ce passage du théorème connu, expérimenté mais non démontré, à la démonstration, qui est devenu ardu pour un élève actuel, par manque de pratique des démonstrations, justement. Pourquoi le démontrer, si c'est vrai ? Et c'est vrai, on l'a constaté sur maints exemples. Et puis, la démonstration, ça "embrouille". Alors qu'avant (il y a longtemps), démontrer rigoureusement un théorème connu depuis longtemps était un vrai plaisir pour les élèves (je pense par exemple aux critères de divisibilité en spé TS, ou à l'existence du centre de gravité en seconde). Par contre, c'est clair que ça ne s'applique pas partout, et les "activités d'introduction" m'ont toujours paru plus nocives qu'utiles : le "bon" élève (espèce en voie de disparition) attend qu'on fasse enfin les choses proprement et qu'on donne une propriété générale, le "moyen" reste coincé sur cette activité, et cherchera ensuite à la reproduire, alors qu'elle n'est justement qu'un exemple, un cas particulier, et le "mauvais" de toute façon n'accrochera pas (j'utilise bon, moyen, mauvais qui sont malheureusement les termes dans lesquels les élèves se catégorisent eux mêmes, alors qu'en maths ça ne devrait pas avoir de sens).
Sinon, pour apporter de l'eau au moulin "ils ne comprennent pas les consignes", je demandais à mes secondes de vérifier que la valeur exacte d'un volume était, mettons, 385 pi. Eh bien, certains ont fait tout le calcul en valeur approchée, puis ont reconverti cette valeur en valeur "exacte" en vérifiant l'égalité des deux à la calculatrice ... et ont donc affirmé sans rire avoir vérifié.
Et puis, j'ai eu un nouveau "théorème" : si un nombre se termine par 5, alors il est multiple de 0 ou de 5.
Et enfin, "les deux droites ne peuvent pas être parallèles, il n'y a pas de perpendiculaire sur le dessin" (il s'agissait de la "droite des milieux" dans un triangle, bien que cette expression semble avoir disparu).

L'illusion est de faire croire qu'il suffit d'ouvrir les yeux et de voir. En ce qui concerne les mathématiques, comme en sciences expérimentales, on "voit" ou on entrevoit par le truchement d'une intuition théorique construite et ceci d'une manière non réductible à une recette ou à une injonction didactisante subite. En sciences expérimentales l'observation cache de même un questionnement préalable et une disposition théorique de l'observateur, sans parler de l'expérimentation à proprement parler qui est une mise en scène préparée.

Prenons ma petite histoire. J'ai démontré un résultat qui a amélioré un théorème qui n'avait pas bougé en 60 ans.
"On observe"? Que dalle. Dimension supérieure à 3 nécessairement. Exemples ignobles ou triviaux.
"On conjecture"? J'avais entendu tout et son contraire sur la base d'intuitions douteuses.
J'ai examiné la théorie et pensé les objets le mieux possible.

J'ai trouvé un argument théorique sérieux à force de me creuser et de penser ce qui se passait et de creuser ce que l'on n'exploitait pas. Boum nouveau théorème depuis cité et amélioré dans un contexte plus vaste.

À la limite j'ai "observé" sur le plan des idées et à force de changements de points de vue théoriques. On est bien loin de l'observation telle qu'on l'entend dans ce tryptique fantasmé. Il y avait des considérations théoriques qui portaient à croire que l'amélioration était possible, rien de plus et j'ai démontré quelque chose que personne n'avait vraiment vu, ni même cru pour beaucoup de gens.

L'illusion passe sans doute par le mensonge des notes données pendant des années. Nos nombreux collègues qui surnotent (par rapport aux attendus des programmes, sans même aller chercher plus loin) créent une pression irrésistible sur ceux qui souhaiteraient noter le travail des élèves pour ce qu'il vaut. J'ai des exemples de collègues qui ont 15 de moyenne de classe en première, avec des élèves très mauvais... Et j'ai d'autres exemples dans n'importe quels niveaux, du collège au lycée. Allez expliquer ensuite que l'enfant n'arrive à rien en classe ou en évaluation, quand on lui a menti pendant des années...
Tant que cela perdurera, on ne peut pas espérer qu'il y ait globalement une prise de conscience des problèmes, étant donné que le problème est masqué par ces faux résultats... Jusqu'au moment où certains sont confrontés aux concours du supérieur, derniers lieux où les meilleurs étudiants peuvent montrer à quel point ils écrasent ceux qui n'ont jamais réellement travaillé ou réfléchi. D'ailleurs, suivant le professeur qu'il a eu en Terminale, un étudiant en CPGE verra très vite s'il a été surnoté ou pas. Mais comme cela n'affecte plus les collègues puisque l'élève n'est plus présent chez eux une fois dans le supérieur, qui s'en soucie ? Et on envoie ainsi certains étudiants qui croient être bons au casse-pipe.

Voltaire a écrit:
Et puis, j'ai eu un nouveau "théorème" : si un nombre se termine par 5, alors il est multiple de 0 ou de 5.

Notons que ce théorème est vrai (même si pas forcément utile).

Sinon, globalement, je suis plutôt d'accord avec Anaxagore. Certes, tout est permis en matière de nouvelles idées, et on peut probablement trouver des exemples historiques de conjectures issues de l'observation. Il me semble cependant que passé un certain niveau, la familiarité intuitive avec les objets manipulés ou l'adaptation et la continuation de méthodes déjà existantes sont plus productives que la multiplication des exemples.

Mais c'est peut-être aussi une question de domaine : en géométrie élémentaire dans le plan on peut peut-être observer. Mais une bonne partie des exemples utilisés par les didacticiens dans des démarches type observer/conjecturer viennent d'activités numériques, ce qui me semble déjà beaucoup moins convaincant.

Je crois par contre qu'on peut tous être d'accord sur le fait que les fumeuses "activités d'approches" qui ont envahi tous les manuels, qui laissent croire qu'il est possible d'inciter les élèves à se poser des questions qu'ils ne se posent pas spontanément et d'en déduire des réponses dont ils ne peuvent pas encore voir l'importance, égarent les élèves plus qu'autre chose. Pour peu qu'on obscurcisse encore plus la situation en leur demendant d'utiliser les TICE...

Ben, déjà, les multiples de 0 ...

Voltaire a écrit:Ben, déjà, les multiples de 0 ...

L'élève n'affirme pas que le nombre est multiple de 0, mais multiple de 0 ou multiple de 5.

Voltaire a écrit:Ben, déjà, les multiples de 0 ...

La notion a du sens: ces nombres constituent l'idéal {0}=0Z de Z, tout comme les nombres pairs constituent l'idéal 2Z de Z.

Feyn a écrit:D'ailleurs, suivant le professeur qu'il a eu en Terminale, un étudiant en CPGE verra très vite s'il a été surnoté ou pas.

Absolument pas, avec une notation concours en CPGE, on a aucune idée de qui était surnoté ou non en terminale.

Pour revenir au débat, j'ai l'impression que c'est surtout la question de ce qu'on entend par "observer".
Bien souvent le gros du travail en mathématiques, c'est réussir à construire une représentation des choses (qui peut rester très "théorique"), le moment où il suffit d'observer, c'est que tout a été fait avant.
Ce qui ne me choque pas plus que ça, puisqu'on ne va pas demander aux élèves de tout réinventer. Si on leur présente le début d'une théorie bien formée alors, oui dans la plus part des cas, il suffit d'observer/conjecturer/prouver.

Par ailleurs, même si j'étais plutôt côté élève à l'époque, j'ai l'impression que dans les années 90-2000, les sujets étaient très caricaturaux à base de problème complétement hachés, où l'élève n'avait rien à "observer" et n'avait pas à se poser de questions sur ce qu'il faisait.

Ta mansuétude est grande. Tout est en effet dans ce que l'on entend par "observer".

En tout cas, ce que j'observe dans le texte de M. Bkouche, c'est que la plupart des énoncés, TICE ou pas, seraient impossible à poser aujourd'hui.
J'en conjecture que le niveau a baissé (chose incroyable, on faisait un truc appelé géométrie)
Dois-je le démontrer ?

En général c'est le moment où on te répond que tu es décliniste, ensuite on te remet en cause personnellement et puis après on te chante quelques poncifs socio-charlatanesques de bons samaritains qui n'ont pour effet que de condamner tout le monde à rester dans son jus et le plus souvent a fortiori dans l'ignorance.

Chaque jour on découvre un peu plus l'étendue de l'ignorance des élèves qui arrivent du collège.
La plupart des propriétés géométriques sur lesquelles on pouvait auparavant s'appuyer ont disparu du collège.

Comme me le disait récemment un collègue de collège : il reste Thalès et Pythagore, en gros.

Enfin sans être capable de simplifications sur les racines pour Pythagore et sans être trop capable de se débrouiller avec les fractions dans Thalès.

Et les inégalités, on parle des calculs des inégalités qui ont semble-t-il disparu du collège si j'ai bien suivi ???

Je confirme, les calculs sur les inégalités ont disparu.

Et même les symboles < et > ont disparu (si j'en juge selon mes secondes). Thalès et Pythagore, moui, avec une grande confusion entre théorème, contraposée, réciproque ... et rarement une explicitation de la configuration avec vérification des hypothèses, et quasiment jamais le théorème cité. Sans parler de la démonstration des égalités (pour la réciproque de Pythagore), où on part de l'égalité pour arriver à 0 = 0 , sans rédaction correcte des équivalences et justification de la valeur de vérité des égalités finale et initiale ... alors qu'il est si simple de "partir d'un côté" pour "arriver à l'autre" avec un simple calcul !

Voltaire a écrit:Et même les symboles < et > ont disparu (si j'en juge selon mes secondes). Thalès et Pythagore, moui, avec une grande confusion entre théorème, contraposée, réciproque ... et rarement une explicitation de la configuration avec vérification des hypothèses, et quasiment jamais le théorème cité. Sans parler de la démonstration des égalités (pour la réciproque de Pythagore), où on part de l'égalité pour arriver à 0 = 0 , sans rédaction correcte des équivalences et justification de la valeur de vérité des égalités finale et initiale ... alors qu'il est si simple de "partir d'un côté" pour "arriver à l'autre" avec un simple calcul !

Mon petit fils en CP a déjà appris les symboles < et > (ce qui m'a étonnée !)

Mes enfants ont appris ces symboles en grande section.
Avec un moyen mnémotechnique sympa, le petit mange le grand (penser à rajouter des dents dans l'angle), très utile face aux lacunes de mes secondes.

oui mon fiston qui vient de rentrer en 6ème a vu depuis longtemps les < et >, et j'ai vu passer des exercices cette année avec ces symboles.