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[Maths] rédaction d'une réponse utilisant le TVI - Page 2 Empty Re: [Maths] rédaction d'une réponse utilisant le TVI

par lecteur le Ven 21 Fév 2020 - 18:50
La référence par une phrase au tableau de variation complété avec   m et x0 (alpha )  dedans  qui suffit au bac ça fait 20 ans que c'est paru noir sur blanc  dans un question réponse sur les programmes ( ..doc de l'IG il me semble  )

ça avait fait grincer des dents  , souvenir  de commission de correction au Bac  L option maths an 2000 environ ,  un collègue (du genre à ne pas tolérer f(3) = -2 <0 à la place de f(3) = -2 donc f(3) <0 ) me déclare qu'il n'accepte pas ça et qu'il  a obligé les élèves de sa TL à bien rédiger .....  et qu'il les avait dressé pour ça  ...

Le monde étant petit ,  il se trouve que c'est moi qui ai corrigé  100 % de ses élèves,   tous rassemblés dans  la même enveloppe   copies de niveau  "normal " mais au moment de LA question,  ça a donné comme d'habitude voire pire :
 90 % des réponses avec des  hypothèses oubliées,  confusions entre x/ alpha  ,  f(x) , 0  ,  et surtout une belle collection de phrases de charabia :
"la fonction a une solution " (habituel  ) mais aussi  "l'équation f(x) =0  ou   "f( alpha )= 0  est strictement croissante donc "
et même  l'intervalle [a;b]   qui se retrouve  "continu(e)"  et ou   "croissant(e)"  ou "qui a une solution "  [Maths] rédaction d'une réponse utilisant le TVI - Page 2 1665347707

Joli résultat  de  l'entraînement "intensif",  très convaincant  Very Happy

***********
A mes TS  je parle de th de la bijection  ,  relation /fonction/ application/ bijection présentés avec des patates dignes des années 70 qui m'avaient plu (ou des cours de 5° du début des 80's) mis au tableau  ( en disant qu'ils le ont droit d'oublier tout ça )    puis x-> x²  / racine de x  ,  on en reparle plus tard  avec  sin / arcsin  ..... exp/ ln ...
Rque  : Après le TVI  J'ai écris dans le cours "TH admis "   l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle  (+ contre exemple )
et autorise donc la passage "d'ensemble image" à  "intervalle image"  
formulation que je recommande  pour la dernière hypothèse du th de la bijection pour les cas non bornés  
  "intervalle image  par f de  .....   est  ......  qui  contient  0"   plutôt que lire " 0 est compris entre -2 et + infini "  ou pire "entre f(a ) = -2 et   f(+ infini ) = +infini "

MAIS  à tous ceux qui ne se sentent pas à l'aise,  je recommande pour le BAC et mes DS  (pas DM )  de compléter  le  tableau de variation sans rien oublier,  vérifier la cohérence et de se contenter d'écrire " le tableau de variation ainsi complété montre que "... 
...ça me parait mieux  que d'infliger au correcteur les inepties citées plus haut et de donner la preuve manifeste qu'ils ne comprennent rien au vocabulaire employé  ....
Mrs Hobie
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par Mrs Hobie le Ven 21 Fév 2020 - 23:19
@PrCosinus a écrit:Personnellement je ne m'attache pas beaucoup aux noms de théorèmes.
J'aime quand mes élèves associent la continuité avec l'existence de la valeur intermédiaire et la monotonie avec son unicité.
C'est ce genre de rédaction qui me plaît en secondaire (en supérieur le formalisme doit l'emporter par contre).
Pareil, tant qu'ils mettent les hypothèses d'application, qu'ils expliquent qu'il y a une valeur intermédiaire et donnent la conclusion d'unicité correctement, je fais des sauts de biche et des rondades dans mon bureau quand je corrige ... parce que ça veut dire qu'ils percutent enfin à quel genre de question ça répond. Ils me désespèrent ... sont pas fichus de repérer le "unique" dans la question [Maths] rédaction d'une réponse utilisant le TVI - Page 2 1665347707

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Tutylatyrée Ewok aux Doigts Agiles, Celle qui Abrite les Plumes aux Écrits Sagaces, Rapide Chevalier sur son Coursier Mécanique
Pauvre Martin
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par Pauvre Martin le Ven 21 Fév 2020 - 23:56
@Prezbo a écrit:Il me semble d'ailleurs plus important que les hypothèses soient complètes et correctement citées et la conclusion correcte plutôt que le théorème cité. Personnellement, j'accepte tout à fait une rédaction du type "f est continue et strictement monotone sur [a;b] et c est compris entre f(a) et f(b), donc l'équation f(x)=c admet une unique solution sur [a;b].

Nommer le théorème employé, c'est une bonne habitude de rédaction (et l'occasion de montrer qu'on connaît son cours), mais en soi pas une obligation logique.

Euh… pour utiliser le modus ponens, il faut poser A et (A => B).
Mathador
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par Mathador le Sam 22 Fév 2020 - 2:09
C'est pourquoi @Prezbo a dit auparavant que
@Prezbo a écrit:Il me semble d'ailleurs plus important que les hypothèses soient complètes et correctement citées et la conclusion correcte plutôt que le théorème cité.
(ce avec quoi je suis d'accord).

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Non indagare la colpa è del flamenco » (Dalida, Flamenco)
Pauvre Martin
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par Pauvre Martin le Sam 22 Fév 2020 - 2:34
Je ne conteste pas la validité scolaire d’une réponse qui mentionnerait seulement hypothèses et conclusion. Je ne suis pas prof de maths, je n’ai pas la légitimité professionnelle pour exprimer ici un avis sur cette question. Mais il est faux de dire qu’il n’y a pas d’obligation logique à indiquer le théorème employé dans une démonstration, puisque l’argument dirait, formellement, A, donc B alors que le modus ponens impose A [hypothèse(s)] et (A => B) [théorème], donc B [conclusion].
Mathador
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par Mathador le Sam 22 Fév 2020 - 3:05
Ah d'accord je viens de comprendre. Dans la pratique tout le monde grille des étapes par rapport à ce que nécessite une preuve dans l'un des systèmes usuels de logique formelle. La seule exception a lieu lorsque l'on fait de la preuve assistée par ordinateur (avec Coq par exemple), et même dans ce cas il y a des tactiques automatisées qui permettent de prouver des familles d'énoncés suffisamment simples pour être décidables par ordinateur (pour donner un seul exemple, il y a une tactique de Coq qui permet de prouver les identités remarquables du collège).

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Proton
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par Proton le Sam 22 Fév 2020 - 9:31
On applique souvent des théorèmes (qui n'ont pas de nom) sans les rappeler, ce n'est pas lié au "scolaire".
Dans A est vraie , donc B est vraie, il y a A est vraie et A=>B (l'implication est implicite).

Bien sûr la phrase n'a de sens que pour ceux qui savent ...

Tu peux écrire le triangle ABC est rectangle en A, donc BC²=AB²+AC². Cette phrase n'a de sens que pour quelqu'un qui connait le théorème de Pythagore.
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Badiste75
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par Badiste75 le Sam 22 Fév 2020 - 10:56
Autant sur une « IE de cours », on pourrait attendre le trio données, propriété, conclusion puisque l’élève n’a pas à se poser la question de la remobilisation des connaissances, autant sur un devoir de synthèse de fin d’année type bac, citer la propriété me semble implicite et inutile.

Guermantes729
Guermantes729
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par Guermantes729 le Sam 22 Fév 2020 - 11:33
@lecteur a écrit:La référence par une phrase au tableau de variation complété avec   m et x0 (alpha )  dedans  qui suffit au bac ça fait 20 ans que c'est paru noir sur blanc  dans un question réponse sur les programmes ( ..doc de l'IG il me semble  )

ça avait fait grincer des dents  , souvenir  de commission de correction au Bac  L option maths an 2000 environ ,  un collègue (du genre à ne pas tolérer f(3) = -2 <0 à la place de f(3) = -2 donc f(3) <0 ) me déclare qu'il n'accepte pas ça et qu'il  a obligé les élèves de sa TL à bien rédiger .....  et qu'il les avait dressé pour ça  ...

Le monde étant petit ,  il se trouve que c'est moi qui ai corrigé  100 % de ses élèves,   tous rassemblés dans  la même enveloppe   copies de niveau  "normal " mais au moment de LA question,  ça a donné comme d'habitude voire pire :
 90 % des réponses avec des  hypothèses oubliées,  confusions entre x/ alpha  ,  f(x) , 0  ,  et surtout une belle collection de phrases de charabia :
"la fonction a une solution " (habituel  ) mais aussi  "l'équation f(x) =0  ou   "f( alpha )= 0  est strictement croissante donc "
et même  l'intervalle [a;b]  qui se retrouve  "continu(e)"  et ou   "croissant(e)"  ou "qui a une solution "  [Maths] rédaction d'une réponse utilisant le TVI - Page 2 1665347707

Joli résultat  de  l'entraînement "intensif",  très convaincant  Very Happy c'est tout à fait exact. Comme je pourrai te citer des élèves qui se réfèrent à leur tableau de variation (faux) pour justifier l'existence d'une fameuse solution que visiblement le tableau contredit. Joli résultat de l'entraînement "à minima"  Razz

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A mes TS  je parle de th de la bijection  ,  relation /fonction/ application/ bijection présentés avec des patates dignes des années 70 qui m'avaient plu (ou des cours de 5° du début des 80's) mis au tableau  ( en disant qu'ils le ont droit d'oublier tout ça )    puis x-> x²  / racine de x  ,  on en reparle plus tard  avec  sin / arcsin  ..... exp/ ln ...
Rque  : Après le TVI  J'ai écris dans le cours "TH admis "   l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle  (+ contre exemple )
et autorise donc la passage "d'ensemble image" à  "intervalle image"  toutàfé encore. Je pourrai là aussi te citer des élèves qui parlent de ce "passage", (en se trompant) en concluant encore et toujours par l'existence de cette fameuse solution. Contredisant ainsi totalement les intervalles cités. Ce qui montre qu'ils n'ont rien compris non plus.  
formulation que je recommande  pour la dernière hypothèse du th de la bijection pour les cas non bornés  
  "intervalle image  par f de  .....   est  ......  qui  contient  0"   plutôt que lire " 0 est compris entre -2 et + infini "  ou pire "entre f(a ) = -2 et   f(+ infini ) = +infini "

MAIS  à tous ceux qui ne se sentent pas à l'aise,  je recommande pour le BAC et mes DS  (pas DM )  de compléter  le  tableau de variation sans rien oublier,  vérifier la cohérence et de se contenter d'écrire " le tableau de variation ainsi complété montre que "... 
...ça me parait mieux  que d'infliger au correcteur les inepties citées plus haut et de donner la preuve manifeste qu'ils ne comprennent rien au vocabulaire employé  ....

Ton message confirme tout à fait le mien Wink je disais bien qu'entre l'un et l'autre, il y avait un gouffre (et aussi tout le milieu^^) chacun étant bien entendu convaincu de sa propre démarche. (je connais assez peu de gens qui font du caca volontairement^^)

On a souvent des échanges très intéressants sur le fond (comment mieux amener? comment mieux faire comprendre? comment mieux faire sens comme on dit?) avec la plupart des collègues, mais il y a aussi toujours ceux qui détiennent LA vérité, qui font toujours mieux que les autres, bac blanc à l'appui (ou variante "quand j'ai eu ses élèves l'année d'après!")
bah, tant mieux pour ceux qui sont plein de certitudes, ce n'est pas mon cas, et sur ce théorème notamment, j'ai revu ma copie , en 20 ans de TS, une bonne 10aine de fois...m'inspirant à la fois des collègues, des programmes et aussi des attendus du bac...comme l'a dit quelqu'un sur ce fil, quand la question est sur 0,5 et que tu as entraîné les élèves à correctement rédiger et qu'ils n'auront pas plus de points que celui qui a rédigé à l'arrache MAIS qu'ainsi ils auront perdu un temps précieux pour finir le devoir, tu changes (un peu, parfois) ton fusil d'épaule.

Il me semble que le problème de la rédaction (ce théorème en particulier, mais plus généralement) remet au centre le problème de la disparité des élèves et de leur futur aspiration. Envoyer des élèves en MPSI avec un "d'après le tableau de variation" me semble (à tort peut-être) désolant, et envoyer des élèves en dut tec de co en exigeant un théorème de bijection nickel me semble aussi ..."inadapté"

je sais qu'on peut me répondre (à juste titre sans doute) "ce n'est pas parce qu'il sont en "difficulté" qu'il ne faut pas leur donner un enseignement de qualité.

en effet, mais justement, il y a différents niveaux de "qualité", et on peut très bien manger dans une petite brasserie, il n'est pas toujours nécessaire d'aller dans un 3 étoiles , et si des élèves faibles comprennent "en gros" l'idée du TVI,( qui est quand même une idée fort simple à la base, visible par un élève de collège , avec des petits dessins) je suis très contente, si un élève "fort" se refuse à considérer l'importance de la continuité, de la  monotonie, et le rôle de chacun dans le théorème je suis très désolée

Il me semble que quelque soit la rédaction qu'on applique, l'élève qui a compris (le fond) s'en sortira, et celui qui n'a pas compris, sera contraint d'appliquer des "recettes" rédactionnelles (que ce soit l'une l'autre ou encore une autre) qui donneront l'illusion qu'il a compris parfois, et qui prouveront parfois qu'il n'a justement rien compris.

Et parfois je me dis que nos "modèles" rédactionnels sont là pour nous aveugler nous-mêmes sur l'étendue d'incompréhension de certains de nos élèves: qu'il est rassurant de voir une belle rédaction avec un beau "donc", juste ! En cela, les exercices où il faut trouver des contre-exemples (si on supprime ou change une des hypothèses) sont très révélateurs de la compréhension...et souvent assez lamentablement réussis auprès des "perroquets rédactionnels". Quel que soit la recette apprise .

J'ai souvent trouvé en classe, que la rédaction noyait parfois l'idée de compréhension. Beaucoup d'élèves sont en difficulté de "langage" et ne comprennent pas des mots simples (je me rappelle d'un élève de 2nde à qui on demandait son collège d'origine et qui m'avait demandé ce qu'origine, voulait dire. Elève normal d'un lycée normal de province) . Il me semble que dans une classe idéale, on s'assurerait d'abord que les élèves ont parfaitement compris le fond, avant de s'attaquer à sa présentation rédactionnelle, dans les faits, on n'a pas le temps, et on fait le fond et la forme en même temps; l'élève comprend bien alors que s'il apprend la "forme", il aura plus de points que s'il s'attarde sur le fond . Je le déplore mais je n'ai pas de solutions, je précise
Pauvre Martin
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par Pauvre Martin le Sam 22 Fév 2020 - 14:55
@Mathador a écrit:Ah d'accord je viens de comprendre. Dans la pratique tout le monde grille des étapes par rapport à ce que nécessite une preuve dans l'un des systèmes usuels de logique formelle. La seule exception a lieu lorsque l'on fait de la preuve assistée par ordinateur (avec Coq par exemple), et même dans ce cas il y a des tactiques automatisées qui permettent de prouver des familles d'énoncés suffisamment simples pour être décidables par ordinateur (pour donner un seul exemple, il y a une tactique de Coq qui permet de prouver les identités remarquables du collège).

Ou quand on s’appelle Bertrand Russell et qu’on écrit les Principia mathematica. Razz

Reste qu'il y a peut-être une différence de nature entre ne pas mentionner une propriété qui relève de la trivialité pour un niveau considéré et ne pas citer le nom d'un théorème, nouveau et admis pour ce même niveau.

@Proton a écrit:On applique souvent des théorèmes (qui n'ont pas de nom) sans les rappeler, ce n'est pas lié au "scolaire".
Dans A est vraie , donc B est vraie, il y a A est vraie et A=>B (l'implication est implicite).

Bien sûr la phrase n'a de sens que pour ceux qui savent ...

Tu peux écrire le triangle ABC est rectangle en A, donc BC²=AB²+AC². Cette phrase n'a de sens que pour quelqu'un qui connait le théorème de Pythagore.

Bah… c’est plus lisible, commode, élégant, usuel… mais logiquement inconséquent. Comme toute la métamathématique (au sens de mathématique usuelle), au fond. Smile
Pauvre Martin
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par Pauvre Martin le Sam 22 Fév 2020 - 15:00
@Guermantes729 a écrit:en effet, mais justement, il y a différents niveaux de "qualité", et on peut très bien manger dans une petite brasserie, il n'est pas toujours nécessaire d'aller dans un 3 étoiles , et si des élèves faibles comprennent "en gros" l'idée du TVI,( qui est quand même une idée fort simple à la base, visible par un élève de collège , avec des petits dessins) je suis très contente, si un élève "fort" se refuse à considérer l'importance de la continuité, de la  monotonie, et le rôle de chacun dans le théorème je suis très désolée

On dit d'ailleurs que le grand Cauchy, lors de son cours à l'École polytechnique, se contentait d'un dessin pour toute démonstration du TVI. Laughing
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par Mathador le Sam 22 Fév 2020 - 16:51
@Pauvre Martin a écrit:
@Guermantes729 a écrit:en effet, mais justement, il y a différents niveaux de "qualité", et on peut très bien manger dans une petite brasserie, il n'est pas toujours nécessaire d'aller dans un 3 étoiles , et si des élèves faibles comprennent "en gros" l'idée du TVI,( qui est quand même une idée fort simple à la base, visible par un élève de collège , avec des petits dessins) je suis très contente, si un élève "fort" se refuse à considérer l'importance de la continuité, de la  monotonie, et le rôle de chacun dans le théorème je suis très désolée

On dit d'ailleurs que le grand Cauchy, lors de son cours à l'École polytechnique, se contentait d'un dessin pour toute démonstration du TVI. Laughing

La raison étant que la construction rigoureuse des réels n'était pas encore au point (l'une des méthodes modernes utilise d'ailleurs les suites dites de Cauchy). Or la démonstration du TVI nécessite de s'en servir, puisque le TVI est faux dans Q (la fonction carré est continue sur Q, atteint les valeurs 1 en 1 et 4 en 2 mais jamais la valeur 2).

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par ycombe le Sam 22 Fév 2020 - 21:24
@Pauvre Martin a écrit:Je ne conteste pas la validité scolaire d’une réponse qui mentionnerait seulement hypothèses et conclusion.
Une telle réponse ne serait pas une démonstration qui consiste, pour citer Hadamard en ses leçons de géométrie élémentaire à aller de l'hypothèse à la conclusion en suivant un raisonnement.



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par Voltaire le Dim 23 Fév 2020 - 9:13
Il me semble que quand un théorème a un nom plus ou moins admis par la communauté, le citer quand on l'utilise est une politesse de rédaction exigible. Certains de mes élèves rédigent "d'après un théorème du cours", ce qui est fort vague, surtout en début d'année où le cours en question est celui de l'année précédente auquel je n'ai pas assisté ...
Par ailleurs, TVI et son corollaire ne sont que des conditions suffisantes, et certaines rédactions laissent croire aux élèves qu'elles sont nécessaires. Le théorème de la bijection (en fait une caractérisation de la bijection), qui dit que quand deux ensembles sont en bijection, il y a existence et unicité de l'image et de l'antécédent par ladite bijection, ne nécessite aucune des hypothèses du TVI, même dans IR (par exemple f (x) = x sur [0 , 1[ et f (x) = 3 - x sur [1 , 2] réalise une bijection de [0 , 2] dans lui-même, ni continue, ni monotone ..., et assure donc existence et unicité de l'antécédent par f de tout élément de [0 , 2]). Ce contre-exemple évite les rédactions du type "f n'est pas continue sur [a,b] donc ...". Enfin, je devrais dire "est censé éviter", mais au moins pour les élèves un peu matheux, ça laisse des portes ouvertes.
Voltaire
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par Voltaire le Dim 23 Fév 2020 - 9:21
@Pauvre Martin a écrit:
Reste qu'il y a peut-être une différence de nature entre ne pas mentionner une propriété qui relève de la trivialité pour un niveau considéré et ne pas citer le nom d'un théorème, nouveau et admis pour ce même niveau.
Dans l'optique de la préparation au (défunt) bac S, j'exigeais de citer les théorèmes vus en TS, mais pas ceux vus les années précédentes (dans un souci de simplification de la rédaction). Par contre citer les hypothèses pour en déduire la conclusion était bien sûr impératif.
Mes élèves de 2nde de cette année (élèves "normaux" d'un lycée de province "normal" voire "bien coté"), ne connaissaient pas, pour la plupart, les mots "strictement", "inférieur", "supérieur", ni les symboles correspondants (ils n'utilisaient que "plus petit" ou "plus grand", avec éventuellement la précision "ou égal"), alors la stricte monotonie ... compliqué.
Balthazaard
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par Balthazaard le Dim 23 Fév 2020 - 9:53
@mathmax a écrit:Il y en a qui ont des problèmes de riches ! Moi je voudrais bien que mes élèves cessent de prétendre que d'après le TVI la fonction est strictement continue .... Mais on sait bien qu'au bac ils auront tous les points de la question si les trois lettres TVI apparaissent quelque part.

Je prend le fil en cours mais une fois de plus je partage ton avis!!! j'aimes bien ce que tu dis...des problèmes de riches. je pense que la moitié de mes élèves de TS n'ont rien compris à ce théorème (voire d'ailleurs à la nécessité de prouver quoi que ce soit alors "qu'on le voit"...) , ils rédigent comme des automathes pour faire plaisir au prof des bribes de démonstration où il manque parfois, verbes , compléments...alors pinailler sur la forme des hypothèses.. Si je pouvais en virer la moitié qui n'est là que par les vertus de l'orientation choisie, voulue, je pourrai faire du travail sérieux avec les autres.
Pour entrer dans le sujet je n'aime pas ce que j'appellerais une mode (parce que de mon temps il me semble que ce n'était pas comme cela) qui consiste à donner un "nom" à tous es théorèmes au point que l'on arrive à ne plus trop savoir de quoi on parle. Je me souviens de la "découverte" du "théorème du toit" quand j'étais en CPR (que je n'avais jamais vu, on ne faisait pas ce genre de géométrie à l'époque des EV) , théorème que je ne cite jamais en cours, vu que j'en connais au moins trois formulations différentes...
Pat B
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par Pat B le Dim 23 Fév 2020 - 10:20
J'ai toujours eu du mal, à partir de la terminale, à retenir les noms des théorèmes, du moins lorsqu'ils avaient le nom des mathématiciens les ayant démontrés/découverts (d'abord, ils avaient des orthographes à coucher dehors... puis je dois avoir un problème avec le principe du droit d'auteur, je crois). Je me contentais donc de citer très exactement les hypothèses qui permettaient de l'utiliser, et la conclusion, ça me valait presque tous les points.
Mais bon, depuis que je suis prof, j'oblige mes élèves à citer le nom du théorème lorsqu'il y en a un, mais pour moi c'est moins important que la citation précise des hypothèses utiles et de ce qu'on déduit. Donc pour en revenir au sujet, TVI, corollaire du TVI, ou bijection, ce n'est peut-être pas vital pourvu que le raisonnement soit juste et précis.
Balthazaard
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par Balthazaard le Dim 23 Fév 2020 - 10:24
@Voltaire a écrit:Il me semble que quand un théorème a un nom plus ou moins admis par la communauté, le citer quand on l'utilise est une politesse de rédaction exigible. Certains de mes élèves rédigent "d'après un théorème du cours", ce qui est fort vague, surtout en début d'année où le cours en question est celui de l'année précédente auquel je n'ai pas assisté ...
Par ailleurs, TVI et son corollaire ne sont que des conditions suffisantes, et certaines rédactions laissent croire aux élèves qu'elles sont nécessaires. Le théorème de la bijection (en fait une caractérisation de la bijection), qui dit que quand deux ensembles sont en bijection, il y a existence et unicité de l'image et de l'antécédent par ladite bijection, ne nécessite aucune des hypothèses du TVI, même dans IR (par exemple f (x) = x sur [0 , 1[ et f (x) = 3 - x sur [1 , 2] réalise une bijection de [0 , 2] dans lui-même, ni continue, ni monotone ..., et assure donc existence et unicité de l'antécédent par f de tout élément de [0 , 2]). Ce contre-exemple évite les rédactions du type "f n'est pas continue sur [a,b] donc ...". Enfin, je devrais dire "est censé éviter", mais au moins pour les élèves un peu matheux, ça laisse des portes ouvertes.

"Théorème"?? que j'ai appris dans la bouche d'un de mes élèves. J'ai vu la définition d'une bijection en 6ème et cette notion a été centrale dans toutes mes études au lycée (de 70 à 77). Je ne vois pas trop où on veut en venir avec ce théorème qui, si j'ai bien compris, voudrait dire...si il y a une bijection de I sur J alors la correspondance est biunivoque...Ok mais on prouve comment l'hypothèse?  tout ceci me parait bien verbeux/fumeux...


Dernière édition par Balthazaard le Dim 23 Fév 2020 - 12:21, édité 1 fois
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par Balthazaard le Dim 23 Fév 2020 - 10:32
@Pat B a écrit:J'ai toujours eu du mal, à partir de la terminale, à retenir les noms des théorèmes, du moins lorsqu'ils avaient le nom des mathématiciens les ayant démontrés/découverts (d'abord, ils avaient des orthographes à coucher dehors... puis je dois avoir un problème avec le principe du droit d'auteur, je crois). Je me contentais donc de citer très exactement les hypothèses qui permettaient de l'utiliser, et la conclusion, ça me valait presque tous les points.
Mais bon, depuis que je suis prof, j'oblige mes élèves à citer le nom du théorème lorsqu'il y en a un, mais pour moi c'est moins important que la citation précise des hypothèses utiles et de ce qu'on déduit. Donc pour en revenir au sujet, TVI, corollaire du TVI, ou bijection, ce n'est peut-être pas vital pourvu que le raisonnement soit juste et précis.

J'ai toujours eu du mal avec le théorème d'Ascoli, j'avais des profs en fac qui l'utilisaient mais leurs hypothèses n'étaient jamais les mêmes....du coup on ne savait jamais trop ce que l'on avait de droit d'écrire ou pas dans les devoirs. C'est le cas de beaucoup de "gros" théorèmes d'analyse qui finalement sont adaptés à la résolution de questions complexes mais pas forcément à l'exercice "formel" de résolution d'un problème en situation d'examen.
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par Mathador le Dim 23 Fév 2020 - 13:31
@Voltaire a écrit:Par ailleurs, TVI et son corollaire ne sont que des conditions suffisantes, et certaines rédactions laissent croire aux élèves qu'elles sont nécessaires. Le théorème de la bijection (en fait une caractérisation de la bijection), qui dit que quand deux ensembles sont en bijection, il y a existence et unicité de l'image et de l'antécédent par ladite bijection, ne nécessite aucune des hypothèses du TVI, même dans IR (par exemple f (x) = x sur [0 , 1[ et f (x) = 3 - x sur [1 , 2] réalise une bijection de [0 , 2] dans lui-même, ni continue, ni monotone ..., et assure donc existence et unicité de l'antécédent par f de tout élément de [0 , 2]). Ce contre-exemple évite les rédactions du type "f n'est pas continue sur [a,b] donc ...". Enfin, je devrais dire "est censé éviter", mais au moins pour les élèves un peu matheux, ça laisse des portes ouvertes.
Ce n'est pas ce que je désignais par théorème de la bijection.
Le théorème de la bijection que je citais, que j'ai vu en prépa et référencé par Wikipédia sous ce nom, indique que si une fonction est continue et strictement croissante sur [a;b] alors elle réalise une bijection de [a;b] sur [f(a);f(b)] (ou [f(b);f(a)], si la fonction est décroissante). Il y a une version généralisée à tout type d'intervalle, et une version plus forte indiquant que c'est un homéomorphisme.

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par Balthazaard le Dim 23 Fév 2020 - 14:05
Alors je ne vois pas de différence, si ce n'est le mot bijection, avec une des versions postées du TVI...c'est purement formel. Et du coup me conforte dans mon a-priori contre les dénominations vaines et imprécises dethéorèmes.
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par Mathador le Dim 23 Fév 2020 - 14:34
Pour moi ce qui fait que le théorème de la bijection mérite son propre nom est la conclusion supplémentaire que l'on peut apporter sur la continuité de la réciproque, qui est spécifique à la dimension 1 (les hypothèses du théorème d'inversion globale sont plus strictes). Mais à ce stade on sort des programmes actuels du lycée…

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par ycombe le Dim 23 Fév 2020 - 22:23
En parlant de bijection non continue:


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par Pauvre Martin le Dim 23 Fév 2020 - 23:11
Joli ! Ça change des fonctions trafiquées à la main.

Une représentation graphique, que je me permets de voler à l'excellent Roger Mansuy :
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par Moonchild le Lun 24 Fév 2020 - 0:26
@lecteur a écrit:La référence par une phrase au tableau de variation complété avec   m et x0 (alpha )  dedans  qui suffit au bac ça fait 20 ans que c'est paru noir sur blanc  dans un question réponse sur les programmes ( ..doc de l'IG il me semble  )

J'avais imprimé ce document à l'époque, mais je n'arrive plus à remettre la main dessus ; il est possible que je m'en sois débarrassé vu qu'il n'était plus vraiment d'actualité après le changement de programme de la réforme Chatel. D'ailleurs, le texte du B.O. de 2011 reprend la convention fixée par ce document en mentionnant dans la colonne des commentaires : "On convient que les flèches obliques d’un tableau de variation traduisent la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l’intervalle considéré".

En pratique, je me contente donc d'une référence au tableau de variations (à condition qu'il contienne tous les éléments nécessaires), d'une brève remarque sur la continuité de la fonction (bien que cela n'ait dans le fond aucun intérêt d'exiger de citer une hypothèse qui est systématiquement vérifiée dans le cadre du programme) et d'une mention du théorème des valeurs intermédiaires.
Depuis deux ou trois ans, après avoir constaté sur un forum que quelques collègues refusaient catégoriquement d'accepter qu'on parle du "théorème des valeurs intermédiaires" alors que c'est en réalité son corollaire dans le cas d'une fonction strictement monotone, j'ai par précaution décidé d'employer "le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires" en signalant aux élèves qu'ils ne sont jamais à l'abri de tomber sur un correcteur psycho-rigide (enfin, plus que moi) au Bac. En revanche, je n'utilise jamais "TVI" et, de façon générale, j'évite les acronymes.
Cette année j'ai brièvement signalé que ce corollaire était parfois aussi appelé "théorème de la bijection" en ajoutant une toute petite bafouille d'une minute sur la notion de bijection ; je suis à peu près sûr que ça n'aura servi à rien en terme d'apprentissage réel mais, cette année, j'ai quelques élèves plutôt motivés qui aiment bien quand je leur fais entrevoir par le trou de la serrure quelques éléments de ce qu'ils étudieront peut-être dans le supérieur.


@Guermantes729 a écrit:Et parfois je me dis que nos "modèles" rédactionnels sont là pour nous aveugler nous-mêmes sur l'étendue d'incompréhension de certains de nos élèves: qu'il est rassurant de voir une belle rédaction avec un beau "donc", juste ! En cela, les exercices où il faut trouver des contre-exemples (si on supprime ou change une des hypothèses) sont très révélateurs de la compréhension...et souvent assez lamentablement réussis auprès des "perroquets rédactionnels". Quel que soit la recette apprise .

Je suis entièrement d'accord : il y a quelque chose de vain à défendre une certaine forme d'académisme dans la rédaction alors que les élèves n'ont pour la plupart pas le niveau requis pour réellement comprendre les subtilités du raisonnement mis en oeuvre, d'autant plus que ces subtilités n'apparaissent en fait que dans des contre-exemples qui se retrouvent exclus du programme.

Je déteste ces questions de "récitation de phrases magiques" - comme par exemple celles portant sur l'application du théorème des valeurs intermédiaires ou sur la justification d'une loi binomiale ou encore sur la justification de la dérivabilité d'une fonction (celle-ci est devenue beaucoup plus rare au Bac que les deux autres) - qui consistent à faire semblant de justifier avec rigueur ce qui, dans le contexte du secondaire, relève d'une évidence implicite. Même pour les bons élèves qui feront des maths par la suite, je ne suis pas sûr que cette crispation sur la rédaction ait de véritables vertus pédagogiques tant qu'il n'y a jamais d'enjeu de réflexion ; dans ces moments là, vu de l'extérieur, cela doit donner l'impression que les maths consistent à coucher par écrit des troubles obsessionnels compulsifs... il faut rédiger sans oublier aucune hypothèse, rédiger sans oublier aucune hypothèse, rédiger sans oublier aucune hypothèse (à répéter trois fois, bien sûr).
Voltaire
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par Voltaire le Lun 24 Fév 2020 - 9:14
Vérifier des hypothèses avant d'appliquer un théorème reste le point central de la justification. Et dans le cas du TVI (désolée pour l'acronyme), il y a beaucoup de choses à vérifier avent de conclure (fonction réelle de la variable réelle, continue, strictement, monotone, intervalle, intervalle de départ, intervalle image, valeur cible dans l'intervalle image ...). L'expérience montre que chacune de ces vérifications est sujette à oubli ou erreur, et je trouve formateur de les exiger, après les avoir explicitées, donné des exemples, des contre-exemples ... Avant, il y a fort fort longtemps, (j'ai passé le bac ... en 1976), on se livrait beaucoup à ces exercices de vérification (check list ?) pour déterminer la nature structurelle d'un ensemble (groupes, anneaux au collège, puis espaces vectoriels, applications linéaires, morphismes au lycée). Je constate en post bac aujourd'hui que ce type de question soulève beaucoup de difficultés quant à la nature exacte de ce qu'il convient de vérifier, puis dans l'utilisation de ce qu'on a démontré (par exemple établir que n-> 2n est une bijection de IN dans 2IN et en tirer des conséquences sur les cardinaux. Mais peut-être est ce seulement dû à l'introduction tardive de la notion de bijection et à sa mauvaise assimilation).
Nommer les théorèmes, quand celui qu'on utilise est évident, n'apporte pas grand chose, certes. Mais cela oblige au moins à réfléchir à ce que l'on emploie, et comment. N'avez vous jamais eu le TVI dans IN ? Et par ailleurs, à l'oral, cela permet un "coup de pouce" rapide ("Avez vous pensé au théorème de Rolle ?" débloque bien des élèves, bien qu'étant une indication assez légère).
En tant que prof, j'ai dû être assez rigide (mais pas complètement coincée non plus, j'ai eu des collègues psychopathes de la phrase magique), parce que les "je me comprends" des élèves qui produisent un immonde gloubi boulga ma paraissent à l'opposé de la clarté attendue en maths. En tant qu'élève, j'ai apprécié ces exigences de rigueur et de clarté jusqu'au bac, et un peu plus de liberté ensuite, bien que cela m'ait coûté cher à l'Agreg (pas assez de justifications = 0, à l'époque).
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