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ben2510
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par ben2510 le Mar 28 Juil 2020 - 17:32
Bonsoir,
est-ce que certains d'entre vous ont commencé à réfléchir à une progression en maths expertes ?
En particulier, en ce qui concerne l'articulation avec la spécialité, spécifiquement sur la trigo ?

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On fait la science avec des faits, comme on fait une maison avec des pierres : mais une accumulation de faits n'est pas plus une science qu'un tas de pierres n'est une maison. Henri Poincaré  La notion d'équation différentielle est le pivot de la conception scientifique du monde. Vladimir Arnold
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Badiste75
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par Badiste75 le Mar 28 Juil 2020 - 22:50
Salut Ben. On tourne chez nous, donc après deux ans de spé de TS je lâche un peu l’arithmétique mais reprends par contre un groupe de spé de Terminale.

Je ferai pour ma part les fonctions trigo en mars avril puisque ce n’est pas au programme de l’examen (premier chapitre post bac). Je pense que c’est assez logique qu’ils travaillent là-dessus avant de faire la partie sur les complexes qui la nécessite même si on pourrait s’en sortir avec les seules connaissances de Première.

Du coup, je pense que le mieux est de finir l’année de l’option maths expertes par l’aspect géométrique des nombres complexes.

La récurrence sera dans mon premier chapitre et la combinatoire dans mon second, donc pas de souci pour ma collègue de ce côté là.
blackjj
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par blackjj le Mar 28 Juil 2020 - 22:56
Bonsoir,

s'il est question des fonctions trigonométriques en spécialité à articuler avec les complexes en expert, il faut savoir que les fonctions trigonométriques (avec l'intégration et concentration, loi des grands nombres) ne seront pas au programme de l'épreuve écrite du bac donc ces notions seront plutôt traitées en fin d'années.
Mais si je ne me trompe, en spécialité, ils ont du faire de la trigo aussi, probablement suffisante pour les complexes.

[Edit : grillé par @Badiste75]
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par ben2510 le Mer 29 Juil 2020 - 9:24
La question est effectivement l'articulation avec ce qui va se faire en spé.
A priori on continue comme les années passées par commencer l'année par les suites et en particulier la récurrence,
donc là-dessus il n'y a pas de souci.

Une remarque : dans la pratique de mon lycée, lorsqu'on a besoin d'introduire une nouvelle notion en tronc commun et que cette notion
intervient en spé, c'est parfois en spé que cette notion est introduite (je pense à la récurrence, aux résolutions de systèmes...)
car pour le prof de tronc commun cela fait quelques élèves de la classe qui savent déjà, qui n'ont pas besoin d'aide pendant les exos,
et qui peuvent aider leurs camarades.

Retour au sujet ; pour l'instant je suis parti sur cette progression :
* DE, divisibilité, nombres premiers, DEFP, nombres premiers entre eux, PGCD, Euclide(-Bézout), Gauss, équation Diophantienne ax+by=c
* pivot de Gauss, calcul matriciel, écriture matricielle d'un système, suites vectorielles géométriques, arithmético-géométriques (diagonalisation)
* polynômes (factorisation), formule de Bernoulli et de Newton, introduction de i (avec Cardan et x³=15x+4), calcul algébrique dans C
* congruences, chiffrement de Hill, inverse modulaire, RSA
-----c'est là que la géométrie commence
* matrices de transformation (dans R² ou R³) : symétries, projection, homothéties, rotations (**), translations (je sais on n'est plus dans les app.lin), Lotka-Volterra, sev invariants, notion de vecteur propre et de valeurs propres (DISCLAIMER : inutile de hurler, on discute calmement entre professionnels, je mets les mots corrects sur les notions mais simplement pour fixer les enjeux, en pratique je n'ai pas l'intention de faire un cours sur la réduction des endomorphismes). [en tout cas je conseille fortement une petite activité sur geogebra que je décris plus bas]
* plan complexe, argument (module sera fait dans la partie algébrique), écriture trigonométrique et écriture exponentielle d'un complexe (lien avec l'ED f'=if où f(t)=cos(t)+i*sin(t), on a donc besoin des dérivées des fonctions trigo), grand Z (Z=(zD-zC)/(zB-zA)=r*exp(it) <=> CD/AB=r et (AB,CD)=t[2pi], si A!=B et C!=D bien sûr), transformations z'=f(z) [lien évident avec la partie précédente], peut-être quelques ED2 avec utilsation du polynôme caractéristique (oui c'est HP)
* preuve de l'existence et l'unicité de la DEFP, nombre de diviseurs, loi de réciprocité quadratique (rhôôô si on peut pas rigoler un peu) ? En Arithmétique, je suis un peu embêté par le découpage, je ne sais pas si il est pertinent de faire un chapitre à part sur le DEFP (en tout cas l'algo lui même sera fait en début d'année). Fermat.
* graphes et lien avec la matrice d'adjacence ; Th. Euler, algo Dijkstra, parcours de graphes ; graphes probabilistes, processus markoviens, marches aléatoires, Perron-Frobénius (je rigole) ; retour sur la diagonalisation et son application au calcul de la limite d'une suite de matrices (on aura fait pas mal d'exos de ce type, il s'agit de systématiser l'approche)
* Moivre, Euler, linéarisation de polynômes trigonométriques, quelques sommes un peu fun, plein de changements d'indices pénibles

Evidemment il manque pas mal de choses, qui seront traitées en exercices (utilisation d'un polynôme annulateur, caractérisation des projections et symétries par p²=p et s²=Id, isomorphisme entre C et vect(I,J) où J=[[a -b][b a]] p.ex). Un point qui me semble très utile aussi, l'effet de la multiplication d'une matrice par une matrice de transvection, à gauche/à droite.

Aussi je m'interroge sur la pertinence d'expliciter un certain nombre de points de vocabulaire sur les structures : anneaux, groupes, corps, algèbres...
Pour reprendre les mots d'une ancienne élève face à l'assertion "Z/pZ est un corps ssi p est premier" : "stylé !".

Bien sûr, il y a pas mal d'algo en filigrane, et là Python est sympa car on peut travailler avec des entiers dont le nombre de chiffres est pertinent, disons quelques dizaines.
DEFP, Euclide, Euclide-Bézout, Hill, RSA, exponentiation modulaire rapide, surtout de l'arithmétique quoi,
mais aussi un peu de Euler et de visualisation avec matplotlib (Lotka Volterra, IFS, Dragon...)

(**) C'est là que je me pose une question, en fait ; comment justifier une matrice de rotation (éventuellement dans l'espace) sans utiliser le fait que chaque vecteur colonne donne les coordonnées dans la base canonique de l'image d'un vecteur de cette même base par l'endomorphisme ? Comment introduire l'idée qu'une rotation est une application linéaire ? Faut-il faire tourner une configuration de Thalès ? Parler d'isométrie, mettre en avant les propriétés de conservation ?

[valeurs propres, vecteurs propres, geogebra] une activité sympa est de placer un point A libre, de poser u=A (enfin \overrightarrow{u}=\overrightarrow{OA} plutôt),
de définir M= {{2.6,-1.2},{1.8,-1.6}}, puis v=M*u. La question est : comment placer A de façon à avoir u et v colinéaires ?

Pour revenir à la trigo, pour les matrices de rotation planes et pour la forme trigonométrique d'un complexe, on juste besoin d'une bonne connaissance du cercle trigo (mais des collègues n'ont pas fait de trigo en seconde en 2018-2019, anticipant un peu le changement de programme, et je ne suis pas sûr que les acquis des élèves soient excellents pour ce qui concerne le chapitre de trigo de première, traité pendant le confinement).

Pour la forme exponentielle, il faut soit la dérivée de cos et sin (approche par une ED), soit les formules d'addition (approche plus algébrique) donc revenir sur la notion de p.s., idéalement les deux ; et ça me semble compliqué d'attendre mars ou avril pour parler de cette forme exponentielle (il reste le Z, Moivre, Euler, toutes les sommes à traiter ensuite).
De toutes façons il faudra bien parler de produit scalaire pour la multiplication des matrices...

Je pense que je ferais ça à l'ancienne : si j'ai besoin d'une notion, je la traite.
Mais je pense que ça va être un peu serré : par rapport à feu la spé maths, on a grosso modo 30h en plus pour traiter les complexes, ce qui est un peu serré à mon sens (on passait au moins 5 semaines dessus les années passées), et il y a en plus les graphes (la partie Euler/Dijkstra qui vien de feu la spé ES).
Et il faudra combler les lacunes crées par le confinement.


Dernière édition par ben2510 le Mer 29 Juil 2020 - 11:29, édité 1 fois

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par Badiste75 le Mer 29 Juil 2020 - 10:59
« Évidemment il manque pas mal de choses »

Tu m’étonneras toujours, sacré programme!!! Perso je n’aurais pas fait comme ça en arithmétique (nombres premiers à la fin et congruences plus tôt, classiquement). Vu ton premier chapitre d’arithmétique tu vas les massacrer d’entrée. Bon après on a sans doute pas les mêmes élèves, chez moi impossible de faire ce que tu prévois 😂
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par ben2510 le Mer 29 Juil 2020 - 11:32
L'objectif de la première partie de ma progression est d'arriver à la résolution de ax+by=c en fait.
Il n'y a pas tant de choses que ça ; quant à la DEFP elle se fait déjà au collège, non ?
Parler des nombres premiers est l'occasion de faire un crible, c'est très élémentaire.
C'est histoire de pouvoir ensuite parler de nombre premiers entre eux pour arriver à l'identité de Bézout.
L'approche que je prends est assez élémentaire : tracer les droites d'équations respectives 2x+3y=10, 5x+15y=23, 135x+128y=1... (privilégier les points à coordonnées entières).

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par Avatar des Abysses le Mer 29 Juil 2020 - 11:38
Avant de se poser certaines questions je dirais:
Comment définis tu ( aux élèves ) une matrice de rotation?
Quelle définition ont ils d'une application linéaire? ( Etant donné qu il est difficile de parler de K-ev et de corps...)

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par ben2510 le Mer 29 Juil 2020 - 12:01
Je définis d'abord une rotation (autour de l'origine) classiquement, par son angle.
Ensuite il reste à prouver que (x';y') s'écrit linéairement en fonction de (x;y)...
Ma question est de savoir passer de "l'image de i est (cos(t);sin(t)) et celle de j est (-sin(t);cos(t))"
à "l'image de (x;y) est (x';y')=(x*cos(t)-y*sin(t);x*sin(t)+y*cos(t))".
Quant à la notion d'application linéaire, on va seulement passer du y=ax de troisième au Y=AX matriciel,
peut-être en fin d'année arriver à "l'image d'une CL est la CL des images" ?

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par Avatar des Abysses le Mer 29 Juil 2020 - 12:44
Si l'on admet que r(x.i)=x.(cos(t);sin(t)) et r(y.i)=y.(-sin(t);cos(t)) et que r(u+v)=r(u)+r(v) ça devrait le faire mais effectivement on voit qu'il manque la notion d'ev et d'application linéaire...
J'ai des idées en tête pour contourner le problème mais c'est vraiment violent pour des choses qui au final sont plutôt simples. Je ne sais pas à quel point on peut "démontrer" ces propriétés au niveau terminal sachant que les bons objets seront introduit l'année d'après.

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par ben2510 le Mer 29 Juil 2020 - 12:58
On a encore quelques mois pour y réfléchir !

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Clp
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par Clp le Mer 29 Juil 2020 - 20:18
Bonjour Ben, voici une proposition (qui s'adapte aussi à l'espace) :
Les rotations du plan vectoriel euclidien sont définies à partir de la notion d'angle orienté de vecteurs supposée connue.
(1) On vérifie qu'une rotation vectorielle r conserve les angles donc le produit scalaire. On montre alors avec le produit scalaire que r(u+v)-r(u)-r(v) est orthogonal à tout vecteur donc est nul. La relation r(ku)=kr(u) se démontrant de façon élémentaire, la linéarité de r est établie.
Orientons le plan et munissons-le d'une base orthonormée (i,j) directe.
(2) On est maintenant en mesure de caractériser analytiquement le quart de tour direct pour prouver, par composition avec r, l'expressions des coordonnées de r(j).
(3) Des coordonnées de r(i) et r(j) on déduit par linéarité l'expression analytique de r.

Pré-requis : bilinéarité du produit scalaire défini par la formule avec le cosinus, en fait seulement pour pouvoir écrire  [r(u+v)-r(u)-r(v)].w = r(u+v).w - r(u).w - r(v).w
Un petit inconvénient est ce passage un peu astucieux. Il y a peut-être plus naturel…

@ben2510 a écrit:C'est là que je me pose une question, en fait ; comment justifier une matrice de rotation (éventuellement dans l'espace) sans utiliser le fait que chaque vecteur colonne donne les coordonnées dans la base canonique de l'image d'un vecteur de cette même base par l'endomorphisme ?

Edit : j'ai lu trop rapidement ta question pour le cas des rotations dans l'espace, je croyais que tu parlais de la linéarité et pas de la forme de la matrice… mais comment parler de matrices de transformations sans donner leur définition / caractérisation immédiate que tu cites ?
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par ben2510 le Ven 31 Juil 2020 - 19:08
@Clp a écrit:Bonjour Ben, voici une proposition (qui s'adapte aussi à l'espace) :
Les rotations du plan vectoriel euclidien sont définies à partir de la notion d'angle orienté de vecteurs supposée connue.
(1) On vérifie qu'une rotation vectorielle r conserve les angles donc le produit scalaire. On montre alors avec le produit scalaire que r(u+v)-r(u)-r(v) est orthogonal à tout vecteur donc est nul. La relation r(ku)=kr(u) se démontrant de façon élémentaire, la linéarité de r est établie.
C'est plus ou moins ce que j'avais l'intention de faire, mais à un niveau plus élémentaire, en utilisant Al-Kashi pour montrer que A'B'=AB (puisque OAB et OA'B' ont un angle au centre identique dont les côtés sont respectivement égaux), puis pour montrer la conservation des angles et des p.s. (ma préférence allant à la forme polaire, qui n'utilise pas de cosinus).
@Clp a écrit:Orientons le plan et munissons-le d'une base orthonormée (i,j) directe.
(2) On est maintenant en mesure de caractériser analytiquement le quart de tour direct pour prouver, par composition avec r, l'expression des coordonnées de r(j).
Malin !
Je pensais plus directement utiliser cos(a+b) et sin(a+b) avec a=pi/2, c'est l'occasion de reprendre ces formules (et de les appliquer aux diverses symétries du cercle trigo, un rappel certainement utile).
@Clp a écrit:(3) Des coordonnées de r(i) et r(j) on déduit par linéarité l'expression analytique de r.
Pré-requis : bilinéarité du produit scalaire défini par la formule avec le cosinus, en fait seulement pour pouvoir écrire  [r(u+v)-r(u)-r(v)].w = r(u+v).w - r(u).w - r(v).w
Un petit inconvénient est ce passage un peu astucieux. Il y a peut-être plus naturel…
Ici je pensais faire tourner une configuration de Thalès ; je m'aperçois que je raisonne beaucoup plus dans le cadre euclidien que dans le cadre vectoriel !
@Clp a écrit:
@ben2510 a écrit:C'est là que je me pose une question, en fait ; comment justifier une matrice de rotation (éventuellement dans l'espace) sans utiliser le fait que chaque vecteur colonne donne les coordonnées dans la base canonique de l'image d'un vecteur de cette même base par l'endomorphisme ?

Edit : j'ai lu trop rapidement ta question pour le cas des rotations dans l'espace, je croyais que tu parlais de la linéarité et pas de la forme de la matrice… mais comment parler de matrices de transformations sans donner leur définition / caractérisation immédiate que tu cites ?

Pour l'espace, j'ai l'intention de me limiter à une rotation autour d'un axe, histoire que les élèves aient déjà vu des sev supplémentaires stables.
Eventuellement, un petit travail sur la composition de deux rotations pour parler de latitude et longitude.

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par BR le Sam 1 Aoû 2020 - 11:27
@ben2510 a écrit:Je définis d'abord une rotation (autour de l'origine) classiquement, par son angle.
Ensuite il reste à prouver que (x';y') s'écrit linéairement en fonction de (x;y)...

Si r est la rotation d' angle θ, les coordonnées de M′ = r(M) dans le repère tourné d’un angle θ sont les coordonnées de M dans le repère (O,ı⃗,ȷ⃗) donc :

OM′⃗ = xu⃗(θ) + yu⃗(θ+π/2)

en notant u⃗(θ) le vecteur unitaire d'angle polaire θ. Un dessin ne serait pas superflu, en dessinant le point M, le repère (O,ı⃗,ȷ⃗) d'une couleur, le point M', le repère (O, u⃗(θ), u⃗(θ+π/2)) d'une autre.

Par définition du sinus et du cosinus :

u⃗(θ) = cos(θ)ı⃗ + sin(θ)ȷ⃗

Les coordonnées de u⃗(θ+π/2) dans le repère tourné d’un angle π/2 sont les coordonnées de u⃗(θ) dans le repère (O,ı⃗,ȷ⃗). Le repère tourné d’un angle π/2 est le repère (O,ȷ⃗,−ı⃗), donc :

u⃗(θ+π/2) = cos(θ)ȷ⃗ + sin(θ) (-ı⃗) = cos(θ)ȷ⃗ - sin(θ)ı⃗

Un dessin serait ici fort utile, en dessinant d'une couleur le vecteur u⃗(θ) et  le repère (O,ı⃗,ȷ⃗), d'une autre le vecteur u⃗(θ+π/2) et  le repère (O,ȷ⃗,-ı⃗).

Puisque OM′⃗ = xu⃗(θ) + yu⃗(θ+π/2), en remplaçant u⃗(θ) et u⃗(θ+π/2) par leur expression en fonction de ı⃗ et ȷ⃗ et en regroupant convenablement les termes, nous pouvons conclure que :

OM′⃗ = (xcos(θ) − ysin(θ)) ı⃗ + (xsin(θ) + ycos(θ)) ȷ⃗
BR
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par BR le Sam 1 Aoû 2020 - 11:44
Faut il justifier que les coordonnées de M′ = r(M) dans le repère tourné d’un angle θ sont les coordonnées de M dans le repère (O,ı⃗,ȷ⃗) ?

À mon avis, un bon dessin est une preuve suffisante pour des Lycéens. La géométrie au Collège et au Lycée n'est pas définie de façon rigoureuse : une fois fait un dessin, cette propriété est à mon avis suffisamment évidente pour qu'elle se passe de commentaire.

Si on a des scrupules, on peut argumenter en expliquant
  1. que les rotations préservent les distances (là encore, il faudrait démontrer cette propriété, qui est une évidence géométrique : attrapez un objet, faites le tourner : il est clair que les distances entre deux points de l'objet sont préservées). D'après le théorème d'Al Kashi, on en déduit que les produits scalaires sont préservés.
  2. que les coordonnées dans un repère orthonormé se calculent avec des produits scalaires (cela se déduit de la formule : u⃗·v⃗ = xx' + yy').
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