Théorème point fixe terminale

Bonjour,
Comment rédigez vous le théorème du point fixe dans votre cours ?
En effet, pas deux manuels qui le rédigent de la même manière !
Et si vous pouviez de donner un exemple d’utilisation et de rédaction, ce serait apprécié.
Merci bonne soiree

Bonsoir

Donne déjà ta façon de le rédiger ce fameux théorème
Après, on verra si celle-ci est correcte ou pas
Surtout, il y a un mot important à ne pas oublier dedans.
A suivre.

soit une fonction f continue sur un intervalle i et soit une suite (un) telle que pour tout n, un appartient à I et un+1= f(un).
Si (un) converge vers l alors l vérifie f(l) = l.
Voila la version que je retiens. Mais j'en ai trouve de nombreuses autres !
Et je ne trouve que très peu d'exercices types rédigés pour apprendre a l'utiliser !

brac a écrit:soit une fonction f continue sur un intervalle i et soit une suite (un) telle que pour tout n, un appartient à I et un+1= f(un).
Si (un) converge vers l alors l vérifie f(l) = l.
Voila la version que je retiens. Mais j'en ai trouve de nombreuses autres !
Et je ne trouve que très peu d'exercices types rédigés pour apprendre a l'utiliser !

Ça ne me semble pas faux, mais un peu maladroit.

Je préférerais "Soit f une fonction continue définie d'un intervalle I dans I et (u_n) une suite définie par u₀ appartient à I et pour tout entier naturel n, u_n+1=f(u_n). Si (un) tend vers une limite finie l alors l vérifie f(l) = l.

Supposer que f va de I dans I permet de s'assurer facilement que pour tout entier naturel n, u_n appartient à I.

Le fait que u_n+1=f(u_n) me semble dans l'esprit de ce genre d'exercice être la définition de la suite et non une propriété vérifiée par la suite.

On travaille désormais (hélas) très peu la rédaction en terminale.

Prezbo a écrit:

brac a écrit:soit une fonction f continue sur un intervalle i et soit une suite (un) telle que pour tout n, un appartient à I et un+1= f(un).
Si (un) converge vers l alors l vérifie f(l) = l.
Voila la version que je retiens. Mais j'en ai trouve de nombreuses autres !
Et je ne trouve que très peu d'exercices types rédigés pour apprendre a l'utiliser !

Ça ne me semble pas faux, mais un peu maladroit.

Je préférerais "Soit f une fonction continue définie d'un intervalle I dans I et (u_n) une suite définie par u₀ appartient à I et pour tout entier naturel n, u_n+1=f(u_n). Si (un) tend vers une limite finie l alors l vérifie f(l) = l.

Supposer que f va de I dans I permet de s'assurer facilement que pour tout entier naturel n, u_n appartient à I.

Le fait que u_n+1=f(u_n) me semble dans l'esprit de ce genre d'exercice être la définition de la suite et non une propriété vérifiée par la suite.

On travaille désormais (hélas) très peu la rédaction en terminale.

Il y a quand même une petite subtilité à ajouter : la limite l doit appartenir à l'intervalle I comme le montre le contre-exemple en lien ci-dessous :
https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~daniel.perrin/CAPES/analyse/Suites/Contrexpointfixe.pdf

Quant à la manière de rédiger une application de ce théorème en terminale, je n'ai pas de réponse satisfaisante et, en pratique, j'en suis rendu à me contenter d'une mention de la relation de récurrence u_n+1=f(u_n) et de la continuité de la fonction f avec éventuellement l'expression "par passage à la limite"... de toute façon, un élève ordinaire d'une classe de terminale ordinaire ne peut pas vraiment avoir le bagage qui lui permettrait de comprendre la pertinence de tous les éléments d'une rédaction correcte exhaustive (si on tient compte de ma remarque précédente).

Je ne voudrais pas avoir l'impression de chercher la petite bête, mais la seule condition nécessaire pour f est la continuité en l.

-> Soit f une fonction définie d'un intervalle i dans i et (u_n) une suite définie par u₀ appartient à i et pour tout entier naturel n, u_n+1=f(u_n). Si (u_n) converge vers l, et si f est continue en l, alors l est un point fixe de f.

Outre que les fonctions qui ne sont pas continues partout sont fréquentes, rechercher un point fixe de telles fonctions l'est aussi (de l'électricité à l'économie).

Enfin même sans chercher à exhiber des exemples sophistiqués, on peut trouver facilement des fonctions continues en un point qui est un point fixe et qui sont discontinues ailleurs, y compris dans un voisinage.
L'exemple le plus simple qui me vient à l'esprit est f(x) = x pour x rationnel, et f(x)=0 sinon. 0 est bien un point fixe et f est continue en 0.

Après il y a la réalité actuelle soulignée par Moonchild qui fait qu'on ne peut plus expliquer proprement cela en terminale de nos jours et que la formulation de Prezbo y est plus adaptée.

Je vois effectivement des énoncés ou il est simplement écrit :
Si (un) définie par un+1=f(un), que (un) converge vers une limite l et que f est continue en l, alors l vérifie f(l)=l.
J'ai l'impression que ça passe en terminale mais qu'il manque la condition que f doit être à valeurs dans son ensemble de définition. Quelque part, on suppose que la suite définie dans l'exercice par Un+1 = f(Un) existe bel et bien pour tout n !!!

Moonchild a écrit:

Il y a quand même une petite subtilité à ajouter : la limite l doit appartenir à l'intervalle I comme le montre le contre-exemple en lien ci-dessous :
https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~daniel.perrin/CAPES/analyse/Suites/Contrexpointfixe.pdf

Quant à la manière de rédiger une application de ce théorème en terminale, je n'ai pas de réponse satisfaisante et, en pratique, j'en suis rendu à me contenter d'une mention de la relation de récurrence u_n+1=f(u_n) et de la continuité de la fonction f avec éventuellement l'expression "par passage à la limite"... de toute façon, un élève ordinaire d'une classe de terminale ordinaire ne peut pas vraiment avoir le bagage qui lui permettrait de comprendre la pertinence de tous les éléments d'une rédaction correcte exhaustive (si on tient compte de ma remarque précédente).

Mince tu as raison. Je suis vraiment rouillé.  

Oui, en définitive, Guz a raison, la seule condition nécessaire et suffisante est que f soit continue en l. Le problème étant de prouver cette continuité si on ne connaît pas l a priori.

brac a écrit:Je vois effectivement des énoncés ou il est simplement écrit :
Si (un) définie par un+1=f(un), que (un) converge vers une limite l et que f est continue en l, alors l vérifie f(l)=l.
J'ai l'impression que ça passe en terminale mais qu'il manque la condition que f doit être à valeurs dans son ensemble de définition. Quelque part, on suppose que la suite définie dans l'exercice par Un+1 = f(Un) existe bel et bien pour tout n !!!

C'est une autre difficulté souvent passée sous silence à mon sens : avec un énoncé de ce type, le fait que (u_n) est définie est implicite (et le fait qu'elle soit définie implique que ses termes appartiennent à I).

Préciser que f est à valeur dans son ensemble de définition permet de s'assurer que la suite est bien définie. Cela dit, c'est une condition suffisante simple, compromis raisonnable je pense en terminale, mais pas nécessaire.

Si je considère la fonction f définie sur I=[1;+inf[ par f(x)=racine(2x-1) et la suite définie par u₀>=1 et u_n+1=f(u_n), la fonction f n'est pas à valeur dans I car f(1)=0, mais on peut montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, u_n est défini et supérieur ou égal à 1.

Nouvelle proposition d'énoncé : "Soit f une fonction définie d'un intervalle I dans I et (un) une suite définie par u0 appartient à I et pour tout entier naturel n, un+1=f(un). Si (un) tend vers une limite finie l et f continue en l, alors l vérifie f(l) = l."

Mais avec cette définition, je crains que dans une résolution d'exercice niveau terminale, on évite de justifier rigoureusement que f est bien continue en l, en se limitant à une affirmation (parce que c'est le mot qu'il faut mettre dans la rédaction pour avoir tous les points).

Edit : je viens de rejeter un œil à quelques énoncés de bac, et dans la majeure partie des cas, on prouve que la suite est majorée ou minorée, et on prouve sa convergence par un théorème de convergence dominée. On peut donc en déduire une majoration ou minoration de la limite, qui permet de veiller à ce qu'on reste sur un intervalle où f est bien continue : utiliser l'énoncé ci-dessus puis justifier la continuité en l par le fait que l appartient à un intervalle sur lequel f est continue doit suffire dans la grande majorité des cas.