Maths : livres scolaires au collège déconcertants, élèves perdus

La première remarque que tu fais à propos de la priorité de la multiplication sur l'addition était l'objet de mon tout premier cours (c'était en 5ème, en stage de "pratique accompagnée") sous l’œil médusé de "l'accompagnateur" et m'avait valu une volée de bois vert à l'IUFM car "d'un point de vue strictement formel on aurait pu choisir la convention contraire". O tempora, o mores.

Merci pour ces liens, notamment www.instruire.fr.

On peut donc estimer que l’arithmétique, au sens des calculs avec les quatre opérateurs usuels, et la géométrie élémentaire forment un socle de base sur lequel reposera tout enseignement de mathématique... qu’il aboutisse sur l’arithmétique modulaire, le calcul tensoriel, et la géométrie riemannienne, ... ou non.

D'accord. J'avais d'ailleurs comme projet de commencer chaque cours de la sixième à la troisième par un calcul : une division, multiplication, addition ou soustraction. Au tableau, en 1 minute. Avec un livret reprenant des calculs donnés pour l'année, au format PDF, téléchargeable sur mon site Internet (en construction).

Anaxagore a écrit:La première remarque que tu fais à propos de la priorité de la multiplication sur l'addition était l'objet de mon tout premier cours (c'était en 5ème, en stage de "pratique accompagnée") sous l’œil médusé de "l'accompagnateur" et m'avait valu une volée de bois vert à l'IUFM car "d'un point de vue strictement formel on aurait pu choisir la convention contraire". O tempora, o mores.

Très drôle :lol: L'accompagnateur faisait probablement référence à l'homme contrarien de Little Big Man, qui marche à l'envers, possède une femme et six chevaux et se lave dans la poussière. Tout est une question de conventions. C'est théoriquement possible   . Toutefois, attention que ces remarques sont parfois destinées à nous tester.

kellogs a écrit:

Anaxagore a écrit:La première remarque que tu fais à propos de la priorité de la multiplication sur l'addition était l'objet de mon tout premier cours (c'était en 5ème, en stage de "pratique accompagnée") sous l’œil médusé de "l'accompagnateur" et m'avait valu une volée de bois vert à l'IUFM car "d'un point de vue strictement formel on aurait pu choisir la convention contraire". O tempora, o mores.

Très drôle :lol: L'accompagnateur faisait probablement référence à l'homme contrarien de Little Big Man, qui marche à l'envers, possède une femme et six chevaux et se lave dans la poussière. Tout est une question de conventions. C'est théoriquement possible   . Toutefois, attention que ces remarques sont parfois destinées à nous tester.

Quelle fraîcheur, quel optimisme. C'est beau.

Salut, l'équivalence ax=b <=> x=b/a que tu proposes est enseignée en primaire. Elle s'appelle définition de la division. Par définition, le quotient b/a est le nombre par lequel il faut multiplier a pour obtenir b. En particulier, c'est à partir de cette définition que tu peux (dois...) expliquer pourquoi diviser par zéro n'a pas de sens. En sixième, tu peux dire "pour trouver le facteur inconnu dans un produit, on divise le produit par le facteur connu".
Une autre remarque : au collège, la pratique dominante est de travailler à partir de nombreux exemples, sans dégager explicitement une règle générale, ce qui est fort regrettable à mon sens.
Enfin, une dernière remarque : pour construire l'abstraction, en sixième il est possible d'utiliser cette petite astuce : tu écris au tableau que 54928*79584441=4371414175248, et tu demandes aux élèves de calculer de tête 4371414175248/54928.
Le fait que les nombres en jeu soient (pour une fois !) des nombres à plusieurs chiffres permet de les percevoir comme des entités distinctes, mieux à mon avis que sur les exemples usuels et trop familiers 2*3=6 donc 6/3=2.

kellogs a écrit:Je suis en train de préparer des cours de sixième. L'analyse comparée des livres scolaires et des programmes depuis 1930 montre qu'on a toujours enseigné l'addition, la soustraction, la multiplication et la division successivement. Ainsi, au collège, on apprend aux enfants que "par convention", les multiplications s'effectuent en priorité dans l'expression : "5+2x7". J'ai lu un cours et plusieurs manuels et c'est ainsi qu'on a toujours enseigné le calcul, sans jamais expliquer "pourquoi" (mais certain nombre de profs le font, j'imagine).

Tu as le "jamais" et le "toujours" faciles. Ce qui implique une contradiction avec la phrase entre parenthèses. Pourquoi dire "jamais" alors ?
Question : et si les enseignants qui expliquent pourquoi la multiplication est prioritaire sur l'addition étaient bien moins nombreux que tu sembles l'affirmer ?

ben2510 a écrit:Salut, l'équivalence ax=b <=> x=b/a que tu proposes est enseignée en primaire. Elle s'appelle définition de la division. Par définition, le quotient b/a est le nombre par lequel il faut multiplier a pour obtenir b. En particulier, c'est à partir de cette définition que tu peux (dois...) expliquer pourquoi diviser par zéro n'a pas de sens. En sixième, tu peux dire "pour trouver le facteur inconnu dans un produit, on divise le produit par le facteur connu".
Une autre remarque : au collège, la pratique dominante est de travailler à partir de nombreux exemples, sans dégager explicitement une règle générale, ce qui est fort regrettable à mon sens.

Le quotient pour des petits élèves c'est le résultat d'une division. Et une division cela fonctionne en se posant la question "dans machin combien de fois truc".

Pour des élèves du primaire, "1/5 pomme" c'est une pomme coupée en 5 et "4/5 pomme" c'est 4 fois un cinquième de pomme.

Le lien entre les deux, était très bien fait par Lebossé-Hemery en cinquième.

La version (dans le BO) "Par définition, le quotient b/a est le nombre par lequel il faut multiplier a pour obtenir b." fait très algèbre commutative. Fabriquons les solutions d'une équation qui jusque là n'en n'a pas...un beau mur conceptuel.

Pour l'histoire de dégager les règles générales...j'ose espérer que cela se fait.

kellogs a écrit:Ainsi, au collège, on apprend aux enfants que "par convention", les multiplications s'effectuent en priorité dans l'expression : "5+2x7". J'ai lu un cours et plusieurs manuels et c'est ainsi qu'on a toujours enseigné le calcul, sans jamais expliquer "pourquoi" (mais certain nombre de profs le font, j'imagine). De mon côté, il me semble primordial d'expliquer aux enfants pourquoi la multiplication a priorité sur l'addition : c'est parce qu'une multiplication contient plusieurs additions.

Et est-ce que cet argument arrive à convaincre les collégiens ?
Personnellement, l'explication ne m'éclaire pas beaucoup : l'emploi du verbe "contenir" me semble tellement imagé qu'il en devient bancal ; et même en mettant de côté ma psychorigidité de profs de maths, je ne vois pas très bien en quoi "contenir des additions" ferait que la multiplication serait naturellement prioritaire sur elles. J'ai un peu l'impression que c'est en définitive un argument d'autorité dissimulé.

Non mais l'idée de fond est que la multiplication (externe au début, sur des grandeurs) est la puissance (généralisée au fur et à mesure) de l'addition, et qu'en ce sens il est assez naturel que les "paquets" d'additions n'aient pas besoin d'être systématiquement signalés comme "paquets" prioritaires.

une multiplication contient plusieurs additions.

On mesure la limite de cette proposition si on désire expliquer de cette façon 4,35 x 3,1.

Restreignons-nous donc aux nombres naturels. C'est alors surtout déplacer le problème.
Comme écrit ailleurs, seul le doublement d'un nombre peut s'appréhender aisément, dès qu'on multiplie par plus de deux, les choses se corsent.

Si j'écris 4+4+4 = 3 x 4, je fais de nombreux sous-entendus.
Par exemple : 4+4+4 ne veut rien dire si j'ignore que (4+4)+4 = 4+(4+4) = 4+4+4 mais alors il faudrait expliquer d'abord pourquoi l'addition est associative, c'est-à-dire poser la question de l'ordre dans les opérations mais à un niveau encore plus primitif (comme toujours en mathématiques).

Enfin, définir 3x4 comme étant 4+4+4 pose un problème autrement plus grave : pourquoi 3x3 = 4x3 ? puisqu'alors cela signifie que 4+4+4 = 3+3+3+3. Généralisez à axb=bxa, et là, je vous souhaite bien du courage pour expliquer cela.

Tout ceci étant dit, rien n'empêche, en première explication, de passer par de tels développements 4+4+4 = 3 x 4, sinon on plonge directement dans les mathématiques modernes (le produit de a par b est le cardinal du produit cartésien d'un ensemble de cardinal a par un ensemble de cardinal b : j'ai trois pantalons différents et quatre t-shirts différents, je peux composer 3x4 ensembles "pantalon et t-shirt" différents.)

Question subsidiaire : comment expliquer, sans passer par la démonstration utilisant le système unaire, que a+b=b+a pour tous naturels a et b ?

JPhMM a écrit:(...)
Enfin, définir 3x4 comme étant 4+4+4 pose un problème autrement plus grave : pourquoi 3x4 = 4x3 ? (...)

Question subsidiaire : comment expliquer, sans passer par la démonstration utilisant le système unaire, que a+b=b+a pour tous naturels a et b ?

ça je sais. ça se démontre en collant l'oreille droite sur l'épaule droite, tout en maintenant le torse droit.

    oooo
    oooo
    oooo

a+b=b+a

xxxxooo
oooxxxx
Les deux lignes ont la même longueur. Si si...

wanax a écrit:xxxxooo
oooxxxx
Les deux lignes ont la même longueur. Si si...

Sans utiliser le système unaire ai-je écrit.
Démontrer cette petite chose formellement est une horreur.

wanax a écrit:

JPhMM a écrit:(...)
Enfin, définir 3x4 comme étant 4+4+4 pose un problème autrement plus grave : pourquoi 3x4 = 4x3 ? (...)

Question subsidiaire : comment expliquer, sans passer par la démonstration utilisant le système unaire, que a+b=b+a pour tous naturels a et b ?

ça je sais. ça se démontre en collant l'oreille droite sur l'épaule droite, tout en maintenant le torse droit.

    oooo
    oooo
    oooo

:lol:

(Oui)

(Ici la définition par additions successives et celle par le cardinal de l'ensemble produit se rejoignent)

JPhMM a écrit:

une multiplication contient plusieurs additions.

On mesure la limite de cette proposition si on désire expliquer de cette façon 4,35 x 3,1.

Pourquoi? Déjà parlons de 4,35 x (3,1 m).
On prend (4 fois 3,1 m) plus (3 fois un dixième de 3,1 m) plus (5 fois un centième de 3,1 m).

On prend la grandeur un nombre entier de fois plus un nombre entier de fois des parties décimales de cette grandeur.

JPhMM a écrit:
Restreignons-nous donc aux nombres naturels. C'est alors surtout déplacer le problème.

Il faut commencer par le début avant de généraliser.

JPhMM a écrit:
Comme écrit ailleurs, seul le doublement d'un nombre peut s'appréhender aisément, dès qu'on multiplie par plus de deux, les choses se corsent.

Si j'écris 4+4+4 = 3 x 4, je fais de nombreux sous-entendus.

Ce pourquoi il ne faut pas commencer par là.

JPhMM a écrit:
Par exemple : 4+4+4 ne veut rien dire si j'ignore que (4+4)+4 = 4+(4+4) = 4+4+4 mais alors il faudrait expliquer d'abord pourquoi l'addition est associative, c'est-à-dire poser la question de l'ordre dans les opérations mais à un niveau encore plus primitif (comme toujours en mathématiques).

Enfin, définir 3x4 comme étant 4+4+4 pose un problème autrement plus grave : pourquoi 3x3 = 4x3 ? puis qu'alors cela signifie que 4+4+4 = 3+3+3+3. Généralisez à axb=bxa, et là, je vous souhaite bien du courage pour expliquer cela.

Au départ on parle d'opérations avec une conception dynamique de ce qui se passe, pas de lois de compositions internes. Le fait que 3x(4 bonbons)=4x(3 bonbons) est assez généralement bien intégré au fur et à mesure, éventuellement à l'aide de schémas, mais il ne faut pas en faire un passage obligé au début à mon avis, c'est un "à côté". Les élèves de Doublecasquette y arrivent tranquillement.

JPhMM a écrit:

Tout ceci étant dit, rien n'empêche, en première explication, de passer par de tels développements, sinon on plonge directement dans les mathématiques modernes.

Question subsidiaire : comment expliquer, sans passer par la démonstration utilisant le système unaire, que a+b=b+a pour tous naturels a et b ?

Les questions que tu soulèves n'étaient vraiment abordées sous un angle plus général qu'à partir du cours de cinquième (et encore bien gentiment).

Oui oui, j'évoquais l'idée de Kellogs qu'il faudrait TOUT expliquer. Comme toujours en mathématiques, cela impliquerait d'aller TRES loin.

Par exemple :

Anaxagore a écrit:

JPhMM a écrit:

une multiplication contient plusieurs additions.

On mesure la limite de cette proposition si on désire expliquer de cette façon 4,35 x 3,1.

Pourquoi? Déjà parlons de 4,35 x (3,1 m).
On prend (4 fois 3,1 m) plus (3 fois un dixième de 3,1 m) plus (5 fois un centième de 3,1 m).

On prend la grandeur un nombre entier de fois plus un nombre entier de fois des parties décimales de cette grandeur.

Mais c'est le serpent qui se mord la queue, ici, puisque l'écriture décimale des nombres décimaux utilise les propriétés de la multiplication et de l'addition.

4,35 = 4 + 3 x (1/10) + 5 x (1/100). Ouroboros.
Comme tu le dis, il faut d'abord travailler sur les naturels, et dégager les explications sur eux. Mais dès qu'on va plus loin, ces explications sont bien plus complexes.

Quand tu écris On prend (4 fois 3,1 m) plus (3 fois un dixième de 3,1 m) plus (5 fois un centième de 3,1 m), tu utilises la distributivité. On en sort pas.

Autre exemple connu : comment justifier la validité de la multiplication posée sans utiliser la distributivité ?

La multiplication prioritaire sur l'addition tu reviens au niveau cinquième.

Tu n'as pas besoin d'aller chercher un exemple avancé pour dire qu'il est "naturel" (je n'ai pas dit autre chose) que:
5+(3x4)=5+4+4+4 s'écrive plus simplement 5+3x4 en revenant au sens primitif (exposant entier de la loi + dans la grandeur) de 3x4 où 3 agit sur la grandeur des nombres "abstraits".

L'enseignement ne prétendait pas respecter purement un ordre logique de construction, mais suivre un chemin "éclairant", lié à l'intuition, au développement de l'intuition, tout en ne perdant pas de vue que l'objectif est d'acquérir des notions théoriques et qu'il faut finir par dépasser les intuitions primitives.

JPhMM a écrit:Oui oui, j'évoquais l'idée de Kellogs qu'il faudrait TOUT expliquer. Comme toujours en mathématiques, cela impliquerait d'aller TRES loin.

Par exemple :

Anaxagore a écrit:

JPhMM a écrit:
On mesure la limite de cette proposition si on désire expliquer de cette façon 4,35 x 3,1.

Pourquoi? Déjà parlons de 4,35 x (3,1 m).
On prend (4 fois 3,1 m) plus (3 fois un dixième de 3,1 m) plus (5 fois un centième de 3,1 m).

On prend la grandeur un nombre entier de fois plus un nombre entier de fois des parties décimales de cette grandeur.

Mais c'est le serpent qui se mord la queue, ici, puisque l'écriture décimale des nombres décimaux utilise les propriétés de la multiplication et de l'addition.

4,35 = 4 + 3 x (1/10) + 5 x (1/100). Ouroboros.
Comme tu le dis, il faut d'abord travailler sur les naturels, et dégager les explications sur eux. Mais dès qu'on va plus loin, ces explications sont bien plus complexes.

Quand tu écris On prend (4 fois 3,1 m) plus (3 fois un dixième de 3,1 m) plus (5 fois un centième de 3,1 m), tu utilises la distributivité. On en sort pas.

Autre exemple connu : comment justifier la validité de la multiplication posée sans utiliser la distributivité ?

Distributivité si on peut dire car on agit de manière externe sur une grandeur.

La question de ce qui n'est pas explicité est omniprésente. Et le travail à long terme est pour certains points de les expliciter...au moment où l'on peut saisir cette explicitation.

C'est pourquoi Michel Delord s'est fatigué à répondre aux gens qui mettent de "l'explicite" à toutes les sauces.

Oui oui bien sûr.

Ce qui me gêne (mais je n'ai pas de solution, hein) est que nous soyons obligés d'utiliser des propriétés que nous n'avons pas encore enseignées, par exemple la distributivité quand je pose une multiplication, ou le produit de deux fractions (ici décimales), quand j'écris 4,35 x 3,1.

Anaxagore a écrit:La question de ce qui n'est pas explicité est omniprésente. Et le travail à long terme est pour certains points de les expliciter...au moment où l'on peut saisir cette explicitation.

C'est pourquoi Michel Delord s'est fatigué à répondre aux gens qui mettent de "l'explicite" à toutes les sauces.

Exactement. Cela est gênant du point de vue du mathématicien, disons, mais il est nécessaire de ne pas tout expliciter, d'autant qu'il me semble que c'est tout simplement impossible parfois.

Anaxagore a écrit:Tu n'as pas besoin d'aller chercher un exemple avancé pour dire qu'il est "naturel" (je n'ai pas dis autre chose) que:
5+(3x4)=5+4+4+4 s'écrive plus simplement 5+3x4 en revenant au sens primitif (exposant entier de la loi + dans la grandeur) de 3x4 où 3 agit sur la grandeur des nombres "abstraits".

Ouais mais en écrivant 5+3x4, ne serait-il pas aussi "naturel" de penser que la loi + qui est le fondement de tout calcul sur des entiers est par conséquent prioritaire sur toute forme d'exposant ?
Moi j'avais plutôt l'impression que c'est quand on veut manipuler la distributivité que la convention de priorité de la multiplication sur l'addition montre sa pertinence car elle est plus commode à l'usage que toute autre convention.

Ce message a été posté tout à l'heure et il n'est pas passé car écrit en même temps que celui de kellog. Et je suis parti précipitamment du poste sans vérifier.

Ben2510 a écrit:La classe de septième est le CM2, la huitième est le CM1, etc.

Primaire CP CE1 CE2 CM1 CM2

Secondaire
(Lycée) 11e 10e 9e 8e 7e 6e 5e 4e 3e 2nde 1e Tale

Dans le témoignage de retraitée, le "petit lycée" accolé au lycée de centre-ville était-il une école primaire (faisant partie du système primaire) ou réellement un petit lycée faisant partie du système secondaire ?

PS 1 : la discussion sur l'origine de l'éventuelle baisse de niveau doit en passer par là pour vérifier l' "élitisme" des programmes, manuels, formations, enseignements d'avant, mais il va p-ê falloir déplacer ces remarques vers un autre sujet (p-ê ici : https://www.neoprofs.org/t83524p60-lieux-communs-de-la-pedagogie-innovante#2791843 ) pour se concentrer sur l'enseignement des maths.

PS 2 : Avant le collège : Laurent Lafforgue, Michel Delord, J-P Demailly, R Bkouche, R Brissiaud, (voir liens donnés par Anaxagore) etc. ont proposé des explications pour la baisse du niveau de maths en primaire. (des sujets ont déjà été ouverts dans la section Primaire/Mathématiques). Mais pour le coup ce problème de l'enseignement des maths au primaire a une influence profonde sur la suite.

Moonchild a écrit:

Anaxagore a écrit:Tu n'as pas besoin d'aller chercher un exemple avancé pour dire qu'il est "naturel" (je n'ai pas dis autre chose) que:
5+(3x4)=5+4+4+4 s'écrive plus simplement 5+3x4 en revenant au sens primitif (exposant entier de la loi + dans la grandeur) de 3x4 où 3 agit sur la grandeur des nombres "abstraits".

Ouais mais en écrivant 5+3x4, ne serait-il pas aussi "naturel" de penser que la loi + qui est le fondement de tout calcul sur des entiers est par conséquent prioritaire sur toute forme d'exposant ?
Moi j'avais plutôt l'impression que c'est quand on veut manipuler la distributivité que la convention de priorité de la multiplication sur l'addition montre sa pertinence car elle est plus commode à l'usage que toute autre convention.

En effet, indépendamment de l'idée des "paquets", la nécessité de cette convention qui permet d'alléger les écritures ne se fait sentir que lorsqu'on se met au calcul "avancé" en cinquième et que l'on explicite la distributivité.

C'était une école primaire dans les mêmes locaux, mais je n'irais pas le jurer : je ne l'ai découvert qu'en arrivant moi-même dans ce lycée comme enseignante : un bâtiment, faisant partie de la même construction que le lycée ( un pâté de maisons à lui seul) dont l'entrée donnait sur une autre rue que l'entrée principale du lycée, portait au fronton : Petit lycée. Je tâcherai de me renseigner. En tout cas, certains de mes collègues l'ont fréquenté, comme je l'ai indiqué plus haut. Je crois que certains instituteurs enseignaient aussi en 6e, voire au-delà.

En tout cas mon père, instituteur, n'est jamais passé par le lycée : école élémentaire, cours complémentaire, École Normale, brevet supérieur à la place du bac, puis instituteur.

J'ai déjà mentionné cette anecdote : un vieux collègue agrégé de maths et prof en Spé, une fois retraité, a voulu s'inscrire en Droit, parce qu'il faisait partie du bureau de plusieurs associations. Voilatipa qu'on lui refuse l'inscription, au motif qu'il n'avait pas le bac ! Après l'ÉN, il avait fait Saint-Cloud, eu l'agrégation etc !

Enfin, il s'est quand même inscrit après intervention d'un administratif moins borné!

Ceci dit, quand j'ai passé l'oral de l'Agrégation interne, en 96, les jeunes gens qui examinaient les documents exigés ( des Normaliens, m'a-t-on dit ) ont ouvert des yeux énormes devant mon diplôme de licence , très grand, calligraphié, mentionnant mes certificats de licence, signé Peyrefitte !

Ok, donc ça avait le goût de l'école primaire, l'odeur de l'école primaire, mais c'était un petit lycée.
C'était la réponse à ma question pas très claire. Merci encore une fois.

je vais me renseigner pour savoir ce qu'il en était exactement !