Re: Rédaction particulière Pythagore

par NéoTiT Sam 16 Sep 2017 - 18:24

Très bien : merci William Foster.

J'ai eu un parcours universitaire classique : le master en 5 ans et le concours.

par Aphrodissia Sam 16 Sep 2017 - 20:15

William Foster a écrit:

Aphrodissia a écrit:Comment devrait-on faire, autrement, pour prouver que le triangle n'est pas rectangle?

Tu mesures l'angle avec un rapporteur, ou bien tu regardes avec une équerre, ou un coin de feuille à défaut.

Oui, mais alors, merci William Foster, mais je voulais dire dans le cadre d'une démonstration puisque celle que présentait NeoTit ne nous paraissait pas déraisonnable. En bref, quelle est la démonstration attendue?

par Chomp Sam 16 Sep 2017 - 20:19

Soit ABC un triangle tel que AB = 3 cm, BC = 4 cm et AC = 6 cm.
Le triangle ABC est-il rectangle ?
------------
AC est le côté le plus long.
AC² = 36 ||||| AB² + BC² = 9 + 16 = 25
AC² =/= AB² + BC²
Donc, d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle ABC n'est pas rectangle.

par mathmax Sam 16 Sep 2017 - 20:35

William Foster a écrit:

Aphrodissia a écrit:Comment devrait-on faire, autrement, pour prouver que le triangle n'est pas rectangle?

Tu mesures l'angle avec un rapporteur, ou bien tu regardes avec une équerre, ou un coin de feuille à défaut.

6ème a écrit:Alors j’ai posé mon équerre et j’ai bien vu que l’angle n’est pas droit :fille:

par neo-fit Sam 16 Sep 2017 - 21:36

William Foster a écrit:

Chomp a écrit:

William Foster a écrit:
2) Si la question est ouverte ET que le triangle n'est pas rectangle, tu peux utiliser l'absurde.
Si la question est ouverte ET que le triangle est rectangle, tu ne peux pas utiliser l'absurde. Il faut la réciproque.

Je ne comprends pas pourquoi ? Si on part du principe que le triangle n'est pas rectangle donc AB² =/= AC² + BC² et qu'on trouve après calcul l'égalité, le raisonnement par l'absurde tient tout autant, non ?

Oui, ce que tu écris est juste (en faisant gaffe aux noms des points).
Si tu pars de ABC pas rectangle et que c'est absurde, c'est qu'il est rectangle.
Si tu pars de ABC rectangle et que c'est absurde, c'est qu'il n'est pas rectangle.
A chaque fois, l'hypothèse que tu rajoutes est contraire à ta conclusion.

Ce qui serait faux, ce serait de partir de "ABC rectangle", ne pas trouver d'absurdité et d'en conclure "ABC rectangle".

Edit : Utiliser la contraposée dans un raisonnement par l'absurde, juste pour un pauvre triangle rectangle, ça me paraît inutilement compliqué

"Si le triangle n'est pas rectangle alors AB² =/= AC² + BC²" est la contraposée de la réciproque.
Supposer que le triangle n'est pas rectangle, trouver après calcul l'égalité, conclure à une absurdité, c'est en fait, faire un raisonnement par contraposée (cas particulier d'un raisonnement par l'absurde) sur la contraposée de la réciproque, et cela revient à utiliser la réciproque (d'où l'edit de William Foster), quoiqu'il arrive, William a raison, il la faut.

par William Foster Sam 16 Sep 2017 - 23:59

neo-fit a écrit:(...) quoiqu'il arrive, William a raison(...)

Je vais garder ce morceau :lol:

par neo-fit Dim 17 Sep 2017 - 8:53

William Foster a écrit:

neo-fit a écrit:(...) quoiqu'il arrive, William a raison(...)

Je vais garder ce morceau :lol:

:aaq: ben oui forcément :aaq:

par dasson Dim 17 Sep 2017 - 9:50

Chomp a donné la rédaction généralement conseillée.
A la place de
"Donc, d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle ABC n'est pas rectangle."
j'écrirais plutôt
"Donc, d'après le théorème de Pythagore, le triangle ABC n'est pas rectangle.
En effet, si le triangle était rectangle BC²serait égal à BA²+AC²."
L'utilisation de mots comme "par contraposition" ou "par l'absurde" ne me semble pas nécessaire au collège. Pour ne pas mettre de la friture dans les comprennettes...
Dans les programmes précédents (2008 ??), il n'était même plus question de réciproque ! Je crois qu'il était demandé d'écrire
"le triangle ... est donc rectangle d'après la relation de Pythagore"
ou bien
"le triangle ... n'est donc pas rectangle d'après la relation de Pythagore".
On est heureusement revenu aux deux théorèmes mais il est peut-être préférable de ne pas y ajouter de la contraposition ?
(j'ai utilisé la contraposition pendant de longues années...)
Le questionneur aura peut-être la bonté de me dire si le lien que j'ai donné fonctionne ?
Et pourra admirer dans la foulée cette perle :
https://www.youtube.com/watch?v=wS9FDXOqj70

par William Foster Dim 17 Sep 2017 - 10:46

dasson a écrit:(...) admirer dans la foulée cette perle :
https://www.youtube.com/watch?v=wS9FDXOqj70

:aaq:

Surtout qu'au final, on s'en fiche de démontrer qu'un triangle est rectangle, puisque tous les triangles sont équilatérals pingouin

par Chomp Dim 17 Sep 2017 - 11:16

dasson a écrit:L'utilisation de mots comme "par contraposition" ou "par l'absurde" ne me semble pas nécessaire au collège. Pour ne pas mettre de la friture dans les comprennettes...

En effet, c'est parce que j'utilise le théorème de Pythagore avec mes classes de 2nde pour la géométrie repérée et c'est un bon moyen de parler de contraposée. D'ailleurs, au moins la moitié de mes élèves connaissent le mot contraposée du collège mais ils sont incapables de me sortir un terme aussi simple que "moyenne"...

par Prezbo Dim 17 Sep 2017 - 13:57

dasson a écrit:
Et pourra admirer dans la foulée cette perle :
https://www.youtube.com/watch?v=wS9FDXOqj70

Merci de me rappeler pourquoi, à l'inverse de certains collègues, je ne conseille jamais à mes élèves de réviser en regardant des vidéos sur internet.

Enfin, en plus du fait qu'il serait plus efficace de commencer par être concentré en cours, et de retravailler son cours chez soi au lieu de passer du temps sur un écran.

Et que le format "capsule vidéo" est terriblement monocorde.

Les commentaires sont bien aussi.

Linklu13 :
Grosse erreur, me théorème de pythagore ne sert pas à prouver que le triangle est rectangle mais calculer quand il est rectangle, tu confonds avec la réciproque.

Ilias Ouali :
Non il a raison, c'est toi qui confond avec la réciproque.

Laoura Dj :
Ilias Ouali non , il a bien raison ^^

Les didactitiens seront contents : les élèves auront été mis en débat. - Rédaction particulière Pythagore - Page 2 1665347707

- Rédaction particulière Pythagore - Page 2 1665347707

par VinZT Dim 17 Sep 2017 - 14:48

élève éperdu de reconnaissance a écrit:merci grâce a vous j ai comprit j ai 14 ans et j ai demande a ma profs de math et je ne comprend jamais et la grasse a vous je viens de comprendre merci

par dasson Dim 17 Sep 2017 - 15:04

@Prezbo.
Et la perle a plus de 94000 vues !
Retraité, j'ai le temps de voyager sur le NET et vu quelques vidéos de collègues qui mériteraient de ne pas être déconseillées.
A commencer par la mienne Smile

https://www.youtube.com/watch?v=be_PXZZAZds&t=23s
avec 39 vues !
Mais il ne s'agit pas de "capsules" comme disent les canadiens depuis longtemps, mais de présentations de programmes interactifs en FLASH.
Du basique pour les élèves comme ici ou des thèmes moins classiques que les profs peuvent utiliser avec leurs élèves...
Un inconvénient par les temps qui courent, le FLASH ne fonctionne pas sur tablette (merci à ce pauvre Job), doit être installé et parfois autorisé sur PC, est refusé par des administrateurs réseaux frileux.
Ya des qui prennent leur ordinateur personnel pour faire de la vidéoprojection...

par Proton Dim 17 Sep 2017 - 16:44

Le flash est en train de disparaître ... et pose des problèmes de sécurité.
C'est idiot de s'entêter à l'utiliser.

Sinon, un cours recopié dans un cahier, c'est pas mal pour apprendre.

par dasson Lun 18 Sep 2017 - 3:42

"Le flash est en train de disparaître ... et pose des problèmes de sécurité."
Merci pour l'info, je ne savais pas...
"Sinon, un cours recopié dans un cahier, c'est pas mal pour apprendre."
Merci pour le conseil, j'avais oublié mes premières années de prof où nous utilisions le "Lebossé et Hémery", c'était mieux avant...

Merci de me donner l'occasion de dire aux autres lecteurs que la vidéo peut être utilisée sans ouvrir le programme en Flash présenté.
Comme d'autres vidéos faites par d'autres et que tu ignores ignorer ?

par GaussGauss Lun 18 Sep 2017 - 10:07

mathmax a écrit:

William Foster a écrit:

Aphrodissia a écrit:Comment devrait-on faire, autrement, pour prouver que le triangle n'est pas rectangle?

Tu mesures l'angle avec un rapporteur, ou bien tu regardes avec une équerre, ou un coin de feuille à défaut.

6ème a écrit:Alors j’ai posé mon équerre et j’ai bien vu que l’angle n’est pas droit :fille:

Rien ne me prouve que l'équerre (voire toutes les équerres du monde) est bien constituée et donc mesure bien un angle droit. Donc pour que le raisonnement soit valable, il faut avoir démontré auparavant l'angle droit de l'équerre. C'est le serpent qui se mord la queue.

Sur les grandes distances, on peut facilement faire des triangles "quasi" rectangle (qui ont 89.999999997°)

par e1654d Lun 18 Sep 2017 - 10:59

Ce n'est pas le serpent qui se mord la queue parce que le triangle physique constitué par l'équerre n'est a priori pas le même que celui qui est étudié dans la question : on peut avoir préalablement établi la rectitude de son angle (par exemple en accolant 4 équerres identiques et en constatant qu'on a fait un tour complet).

Au fond, sans nier bien sûr ni l'intérêt ni l'importance d'apprendre à utiliser le théorème de Pythagore, je trouve que, s'agissant d'un triangle concret, le procédé de construction puis de mesure concrète des angles (via l'équerre) est assez probant. Par contre ça nécessite de réaliser la figure avec une très grande minutie, et c'est peut-être à ça que peut « servir » le théorème dans l'esprit de l'élève : éviter de se fatiguer à construire précisément un triangle pour se rendre compte après qu'il ne convient pas (dans l'hypothèse où on souhaite avoir un triangle rectangle).

La preuve par construction et mesure est probante, mais elle est fastidieuse.

par Anaxagore Lun 18 Sep 2017 - 11:14

Si nous sommes au-delà du primaire et que nous travaillons dans un espace affine, nous attendons un discours logique sur des objets mathématiques. On peut cultiver une certaine intuition en liaison avec le fait que l'on a ici une certaine manière modéliser l'espace, mais cette intuition est mathématique et abstraite par rapport à une intuition sensible.

Je ne vois pas ce que viennent faire les manipulations que vous évoquez, à part pour illustrer le fait que la prédiction théorique de notre modèle paraît efficace dans la réalité.

Rien ne remplace le travail théorique mathématique.

par GaussGauss Lun 18 Sep 2017 - 11:16

Je n'avais pas pensé à coller les équerres. Au temps pour moi.

En tout cas je voulais signaler que "juste constater à l'équerre" ne démontrait rien a priori (sauf faire confiance au constructeur).

Ceci-dit le constat est évident pour les dimensions de ce triangle, mais on peut construire des triangles non rectangle pour lesquels l'équerre se trompera (à cause de l'épaisseur du trait par exemple).

Mais je ratiocine.

par e1654d Lun 18 Sep 2017 - 11:23

Je ne comprends pas très bien ce que vous dites.

Si on considère la géométrie affine formelle comme complètement indépendante de la géométrie physique, alors il ne faut jamais construire de figure.

Sinon, si on considère qu'il existe un lien d'abstraction entre les figures qu'on trace et les concepts qu'on manipule, je ne vois pas pourquoi on refuserait, lorsque c'est possible, de déduire une propriété sur une abstraction particulière (le triangle conceptuel de l'exemple) d'une réalisation suffisamment précise de cette abstraction.

Dans le cas d'espèce, il s'agit de montrer que la mesure de tel angle n'est pas 90°. Je suis d'accord qu'aucune construction physique n'est suffisante pour déterminer la valeur exacte d'un angle, car on construit et mesure toujours à epsilon près. Cependant, pour epsilon suffisamment petit, il est possible d'établir que la mesure de l'angle ne vaut pas 90° (c'est-à-dire appartient à R prive de 90, qui est un ouvert).

Je n'ai pas dit, et ne dirai pas, qu'on peut assurer la rectitude d'un triangle, même concret, par construction, car il s'agirait de vérifier que la mesure de tel angle vaut 90° (ie. appartient à un ensemble d'intérieur vide).

par GaussGauss Lun 18 Sep 2017 - 11:26

Anaxagore a écrit:Si nous sommes au-delà du primaire et que nous travaillons dans un espace affine, nous attendons un discours logique sur des objets mathématiques.

Pas moi : j'attends une démonstration convaincante et le plus possible auto-suffisante. Pour moi, ce sont ces deux critères l'essence des maths, et certainement pas les objets en eux-même. Je préfère mille-fois une démonstration simple qui utilise des objets simples (dans le sens plus simples que le niveau appris) qu'une démonstration faisant appel aux notions enseignées à l'instant "t".

En clair, s'il n'y avait pas eu le problème de l'imprécision du trait, j'aurais préféré la démonstration "je vérifie à l'équerre". Si on voulait absolument que l'élève ne vérifie pas à l'équerre, il aurait fallu donner des valeurs intraçables (par exemple 5.789756445891221378 cm).

Mais là encore, je ratiocine Smile

par Anaxagore Lun 18 Sep 2017 - 11:38

Encore une fois, cultiver une certaine intuition des objets mathématiques, par exemple en se souvenant que certains objets sont des idéalités qui sont issues d'une certaine manière de percevoir et de décrire la réalité phénoménale, n'est pas un problème. C'est souvent inspirant.

Le problème est lorsqu'on se met à confondre les objets mathématiques et la réalité, ou même pire les objets mathématiques avec la perception sensible que l'on arrive à avoir de la réalité.

par William Foster Lun 18 Sep 2017 - 11:50

Mon post initial avec l'équerre était une simple galéjade et n'avait pas pour but de soulever une discussion technique Razz

par GaussGauss Lun 18 Sep 2017 - 11:51

Mais les objets mathématiques ont été créés (au moins au départ) pour formaliser la représentation sensible.

Si je vais jusqu'au bout de votre raisonnement, aucun résultat de la géométrie euclidienne ne devrait être appliqué dans la réalité. Or, si on a construit cette géométrie, c'est bien pour l'appliquer.

Je ne pense pas qu'il faille à tout prix décorréler l'univers mathématique de l'univers sensible, car il ne s'agit là que d'un débat "philosophico-metaphysique", et ça a pour conséquence de rendre les mathématiques incompréhensibles aux yeux du plus grand nombre.

Dire à quelqu'un qui a mesuré un angle pour montrer que le triangle n'est pas rectangle qu'il a tord car il faut se placer dans la géométrie affine est contre productif pour cette personne. Il vaut mieux lui dire qu'il a raison, mais que d'une part ça aurait pu être plus simple, et que d'autres part, il ne pourra pas reproduire cette idée tout le temps.

par Anaxagore Lun 18 Sep 2017 - 11:52

William Foster a écrit:Mon post initial avec l'équerre était une simple galéjade et n'avait pas pour but de soulever une discussion technique

Je l'avais pris comme cela.

par BrindIf Lun 18 Sep 2017 - 12:30

GaussGauss a écrit:Si je vais jusqu'au bout de votre raisonnement, aucun résultat de la géométrie euclidienne ne devrait être appliqué dans la réalité. Or, si on a construit cette géométrie, c'est bien pour l'appliquer.

La question ne me parait pas être pourquoi cette géométrie a-t-elle été construite, mais pourquoi est-elle étudiée en collège. Je ne dis pas à mes élèves qu'il est essentiel qu'ils sachent appliquer Pythagore car ils pourront se retrouver dans des situations où ils auront besoin de montrer qu'un triangle est rectangle sans pouvoir utiliser d'équerre. Ce serait faux d'ailleurs.
Je dis à mes élèves que s'entraîner à raisonner correctement sur des problèmes simples, sans épaisseur, leur servira toute leur vie face à des problèmes autrement plus complexes.
Et l'équerre ne répond pas à la question de "montrer" qu'un triangle est rectangle ou pas, elle permet tout au plus de le "vérifier". Dans l'idée de montrer, il y a le fait de raisonner de manière irréfutable, donc d'utiliser ses capacités logiques sur des objets abstraits, peu m'importe sur le coup leur application concrète (même si elle est intéressante également).