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Définition d'une expression littérale Empty Définition d'une expression littérale

par Rwan le Ven 3 Juil 2020 - 22:04
Tirée d'une autre discussion, débat sur la question "qu'est ce qu'une expression littérale" (et celle, subsidiaire, "une égalité peut-elle être considérée comme une expression littérale").

Je propose "ma" définition. Si on considère trois ensembles de symboles disjoints E "les objets considérés", A "l'alphabets" et O "les opérateurs".

On suppose qu'à tout * de O on puisse associer une unique fonction E x E dans E.

1 - On définit de manière récursive
a -> Pour tout x de E, x est une expression.
b -> Pour toute x, y expressions, pour tout * de O, l'enchaînement de symbole (x*y) est une expression.

Je m'embête pas avec les priorités, ça ne change pas le raisonnement. Il faudrait aussi élargir pour les opérateurs qui ne sont pas de E² dans E, comme la division.

Remarque : à toute expression on peut associer un unique élément de E.

2 - Pour définir une expression littérale:
-> On associe à un nombre quelconque de symboles de A a1, a2, ..., an des sous-ensembles, de E E1, E2, ..., En
Alors, on peut appeler expression littérale tout enchaînement de symboles vérifiant:
a -> Les symboles utilisés peuvent uniquement être a1, a2, ..., an, des éléments de E, des éléments de O.
b -> Pour toute combinaisons e1, e2, ..., en de E1 x E2 x ... En, l'enchaînement de symbole obtenu par substitution de a1, a2, .., an par e1, e2, ..., en est une expression.

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par ainah le Ven 3 Juil 2020 - 22:12
Avec ta définition, une égalité ne peut pas être une expression littérale, car l'opérateur "=" n'agit pas de ExE dans E, mais de ExE dans {vrai faux} par exemple. Il ne peut donc pas appartenir à O.
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par Rwan le Ven 3 Juil 2020 - 22:17
Oui effectivement. Après, il faudrait peut-être élargir la définition d'opérateur ; on a des opérateurs de R x R^n dans R^n (produit par un scalaire), de R^n x R^n dans R (le produit scalaire)...

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par ainah le Ven 3 Juil 2020 - 22:23
@Rwan a écrit:Oui effectivement. Après, il faudrait peut-être élargir la définition d'opérateur ; on a des opérateurs de R x R^n dans R^n (produit par un scalaire), de R^n x R^n dans R (le produit scalaire)...

Oui je sais bien. 
Mais le principe de ta définition est de dire que tout élément de E est une expression. Et que l'utilisation d'un opérateur sur deux éléments de E envoi dans E, et donc, définit également une expression. 
Ce qui ne fonctionne pas avec =. 
A moins que je comprenne mal ta définition Définition d'une expression littérale 1482308650
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par ainah le Ven 3 Juil 2020 - 22:26
@Rwan a écrit:

1 - On définit de manière récursive
a -> Pour tout x de E, x est une expression.
b -> Pour toute x, y expressions, pour tout * de O, l'enchaînement de symbole (x*y) est une expression.
Ca ne peut fonctionner par récurrence que si à l'étape 2, tu dis que l'enchainement de symbole (x*y) appartient à E. Sinon tu ne pourras pas appliquer ton opérateur sur ton nouvel objet.
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Flo44
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par Flo44 le Ven 3 Juil 2020 - 22:28
Je n'ai pas de définition, mais une "explication". Enfin, c'est ce à quoi je pense pour différencier une expression numérique d'autre chose.
Une expression numérique, ça a une valeur (numérique), on peut l'évaluer (en calculant...). Contrairement à une égalité numérique, qui n'a pas de valeur (enfin, elle a une valeur booléenne, mais comme on s'adresse à des collégiens, laissons tomber). L'égalité, on peut juste déterminer si elle est vraie ou fausse, elle n'a donc pas de valeur numérique.
Une expression littérale, ça s'évalue également, si on connaît la valeur de chaque "lettre" (j'ai fait exprès de ne pas dire variable, car il peut y avoir des constantes, comme Pi...). Alors, on substitue la lettre par sa valeur, puis on calcule, et on obtient une valeur numérique. Si on a une égalité d'expressions littérales : soit on connaît la valeur de la variable, et on veut savoir si l'égalité est vraie ou fausse (on teste l'égalité pour une valeur donnée de la variable). Soit on cherche à  trouver les valeurs de la variable pour lesquelles elle est vraie (on résoud l'équation).

Bon, sinon Rwan, je ne vois pas de faille dans ta définition.

Ma fausse définition me servira tout de même plus au niveau collège Wink . Et puis on peut voir le lien avec la programmation.
Ça me donne une idée...:
Tiens d'ailleurs, je me demande si dans Scratch on peut évaluer une égalité..

Dites-moi si je me trompe, ça m'intéresse.
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par ainah le Ven 3 Juil 2020 - 22:34
Alors Flo44 ce que je disais sur l'autre poste se rapproche de ce que tu dis : pour moi, la question est de définir une expression mathématique, avant de définir une expression littérale. Car une expression littérale est définie comme étant une expression mathématique comportant des lettres. 
Et de ce que j'ai pu lire et voir dans les différentes ressources (mais c'est vraiment difficile de trouver une vraie définition), j'aurais tendance à dire qu'une expression mathématique est une expression, une écriture, d'un nombre (2*3, ou 4+2, etc...) . Donc une égalité ne serait pas une expression mathématique, dans le sens où ce n'est pas une écriture d'un nombre, mais une écriture de l'objet "vrai" ou "faux".
Mais bon, je me trompe peut être complètement ?
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par Rwan le Ven 3 Juil 2020 - 22:36
Oui je sais bien.
Mais le principe de ta définition est de dire que tout élément de E est une expression. Et que l'utilisation d'un opérateur sur deux éléments de E envoi dans E, et donc, définit également une expression.
Ce qui ne fonctionne pas avec =.
Oui oui. Mais c'est vrai aussi qu'on ne peut pas "empiler" les égalités :  "7 = 2" est faux, mais "7 = 2 = 2+2" n'est pas évaluable, vu que = n'est pas une loi de composition interne.

Une égalité, soit il y en a une, soit il n'y en a pas, c'est donc quelque chose de plus "simple" que la vision de l'expression comme "pile" d’opération.

Après, on pourrait définir une expression de manière beaucoup beaucoup plus générale
E est un ensemble d'expression s'il existe une fonction évaluer de E dans F.
On aurait donc E les expressions et évaluer la syntaxe.

ça correspondrait plus à une vision intuitive, où l'on appelle "expression" tout ce qui "a un résultat". Résultat qui est un nombre pour des élèves, mais qui pour des matheux pourrait être n'importe quoi.

Edit @flo44 : du coup on est d'accord, pour les collégiens on se limite au cas où évaluer est à valeur dans R, et on ne s'occuper pas de fonction évaluer  à valeurs dans {vrai ; faux}.

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par Flo44 le Ven 3 Juil 2020 - 22:38
Oui, ainah, j'ai mis trèèès longtemps à écrire et relire mon post, ce qui fait que je n'avais pas lu tes explications.
Mais en fait, on est d'accord. C'est bien le résultat de l'évaluation qui dit que c'est une expression ou pas. Si c'est un booléen, ce n'est pas une expression.
C'est marrant, je viens de rechercher dans un cours de prépa (en ligne, ma progéniture ayant embarqué le mien), il n'y a aucune définition de ce qu'est une expression littérale.
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par ainah le Ven 3 Juil 2020 - 22:40
@Flo44 a écrit:
C'est marrant, je viens de rechercher dans un cours de prépa (en ligne, ma progéniture ayant embarqué le mien), il n'y a aucune définition de ce qu'est une expression littérale.
C'est ça  Définition d'une expression littérale 3854100262 Je me rends simplement compte que jamais, dans mon cursus, on ne m'a définit clairement la notion d'expression mathématique et d'expression littérale  abi
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par Simeon le Ven 3 Juil 2020 - 22:41
https://fr.wikipedia.org/wiki/Expression_(informatique) a écrit:Dans les langages de programmation, une expression est un élément de syntaxe qui combine un ensemble de lexèmes retournant une valeur.

C'est une combinaison de littéraux, de variables, d'opérateurs, et de fonctions qui est évaluée (ou calculée) en suivant les règles de priorité et d'associativité du langage de programmation pour produire (ou retourner) une nouvelle valeur.

Par exemple, 2+3 est une expression arithmétique qui vaut 5. Une variable est une expression car elle représente une valeur contenue en mémoire, donc y+6 est une expression.

Ssshhh, il n'y a pas de lien entre maths et informatique.
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par Rwan le Ven 3 Juil 2020 - 22:44
@Simeon a écrit:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Expression_(informatique) a écrit:Dans les langages de programmation, une expression est un élément de syntaxe qui combine un ensemble de lexèmes retournant une valeur.

[...]

Ssshhh, il n'y a pas de lien entre maths et informatique.

@Rwan a écrit:Après, on pourrait définir une expression de manière beaucoup beaucoup plus générale
E est un ensemble d'expression s'il existe une fonction évaluer de E dans F.
On aurait donc E les expressions et évaluer la syntaxe.
abi

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par Prezbo le Ven 3 Juil 2020 - 22:44
@Rwan a écrit:Tirée d'une autre discussion, débat sur la question "qu'est ce qu'une expression littérale" (et celle, subsidiaire, "une égalité peut-elle être considérée comme une expression littérale").

Je propose "ma" définition. Si on considère trois ensembles de symboles disjoints E "les objets considérés", A "l'alphabets" et O "les opérateurs".

On suppose qu'à tout * de O on puisse associer une unique fonction E x E dans E.

1 - On définit de manière récursive
a -> Pour tout x de E, x est une expression.
b -> Pour toute x, y expressions, pour tout * de O, l'enchaînement de symbole (x*y) est une expression.

Je m'embête pas avec les priorités, ça ne change pas le raisonnement. Il faudrait aussi élargir pour les opérateurs qui ne sont pas de E² dans E, comme la division.

Remarque : à toute expression on peut associer un unique élément de E.

2 - Pour définir une expression littérale:
-> On associe à un nombre quelconque de symboles de A a1, a2, ..., an des sous-ensembles, de E E1, E2, ..., En
Alors, on peut appeler expression littérale tout enchaînement de symboles vérifiant:
a -> Les symboles utilisés peuvent uniquement être a1, a2, ..., an, des éléments de E, des éléments de O.
b -> Pour toute combinaisons e1, e2, ..., en de E1 x E2 x ... En, l'enchaînement de symbole obtenu par substitution de a1, a2, .., an par e1, e2, ..., en est une expression.

Si je comprend bien, dans ta deuxième définition, tu définis une expression littérale comme une expression dans laquelle certains éléments de E sont remplacés par des lettres. C'est peut-être plus proche dans l'esprit de ce qui se fait en collège, mais inutilement compliqué à mon avis.

Mes vieux livres de logiques sont au fond d'un placard, mais je procéderais grosso-modo (avec des adaptations selon ce qu'on veut considérer comme une expressions valide ou non) de la façon suivante.

On se donne trois ensembles :
-E "les objets considérés"
-A "l'alphabet"
-O "les opérateurs".

Les expressions littérales le  sous-ensemble de l'ensemble des mots (chaînes de caractères le longueur finie) formés avec des éléments de E U A U O défini de la manière suivante :
-Tout élément de E ou de A est une expression littérale
-Si x et y sont des expressions littérales et * un élément de O, x*y est une expression littérale.

Alternativement, on peut définir les expressions littérales comme le plus petit sous-ensemble contenant E UA et tel que si x et y sont des expressions littérales et * un élément de O, x*y est une expression littérale.

Je n'ai parlé pour simplifier que du cas où on n'utilise que des opérateurs binaires, mais on pourrait avec une adaptation minime utiliser également des opérateurs unaire, comme (notation Latex) \sqrt...Est-ce que \sqrt{x+1} n'est pas une expression littérale ?

Notons que cette définition est purement syntaxique : une expression littérale n'est pas un élément de E mais uniquement une suite d'éléments de E, de lettres de l'alphabet, et de symboles de l'ensemble d'opérateur. Et en soit, il est possible qu'un de ses opérateurs soit le signe =, auquel cas x=3 peut être une expression littérale.

Edit Ah non, il y a problème que signale Rwan plus haut : si x=3 est une expression littérale, x=3=5 n'en est pas une. Il semble donc plus prudent de ne pas inclure le signe égalité dans l'ensemble des opérateurs.

Dans le cas où on associe à chaque élément de O un fontion définie d'une partie de E*E dans E, on peut associer à une expression littérale comportant n éléments de A une fonction définie sur une partie de E^n à valeur dans E, mais la détermination de l'ensemble de définition est alors un problème notoirement délicat.

Du point de vue pédagogique maintenant : il est évident que ces définitions s'adressent à des étudiants qui s'interrogent sur les fondements des mathématiques, et pas à des élèves de quatrième. Et de ce que je comprends (je n'ai plus fait de collège depuis longtemps), l'idée d'une expression littérale en quatrième, c'est "un calcul où certains nombres sont inconnus et remplacés par des lettres". Le problème est que donné une formulation rigoureuse et accessible à cette définition est délicat. Ce qui n'est pas une raison pour en donner une formulation fausse et incompréhensible, comme celles que je suis en train de trouver sur internet.

Pour en revenir au pourquoi du comment de ces interrogations : soit les concepteurs de programme sont capables de se mettre d'accord sans ambiguité sur la définition , même imparfaite, d'une expression littérale telle qu'elle doit être donnée en quatrième, et dans ce cas le rôle des IPR est de veiller à ce que celle-ci soit utilisée. Soit il y a ambiguité, et l'IPR qui chicane sur le sujet se place lui-même sur un terrain mouvant. (Mais il aura raison quand même, car il est IPR.)
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par ainah le Ven 3 Juil 2020 - 22:52
Prezbo j'allais te citer et j'ai vu ton édit. Finalement, et quelle que soit la définition, l'opérateur = pose effectivement problème.
Il est donc particulièrement maladroit selon moi de donner en exemple dans les livres les formules d'aires. Car il faut se dire que c'est uniquement le deuxième membre de l'égalité qui est une expression littérale, et pas l'égalité en elle même.
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par Avatar des Abysses le Sam 4 Juil 2020 - 11:02
De facon personnel j'ai un problème avec le symbole = vu comme "opérateur". Qu’appelez vous opérateur ? Que deviennent les relations d'équivalences?
Je crois que l'on a vite des problèmes avec l'infini d'ailleurs :
si l'on écrit une union infini d'ensemble An tout va bien, cela donne bien une expression littérale mais si l'on arrivai à l’écrire en entier jusqu’à l’infini cela ne serait plus une expression littérale mais qui serait quand même égale...
J'aurai bien poussé le bouchon, si l'on parle d'objet est-on dans les catégories ? diable
Bref effectivement si on admet un formalisme "fini", que l'on accepte que la théorie des ensembles c’est géniale ( ou pas Very Happy ) , on peut s'en sortir.
J'ai vraiment l'impression qu'on touche beaucoup à la méta mathématiques qui me parait moins universel que les mathématiques en elles mêmes.

@Prezbo a écrit:

Pour en revenir au pourquoi du comment de ces interrogations : soit les concepteurs de programme sont capables de se mettre d'accord sans ambiguïté sur la définition , même imparfaite, d'une expression littérale telle qu'elle doit être donnée en quatrième, et dans ce cas le rôle des IPR est de veiller à ce que celle-ci soit utilisée. Soit il y a ambiguité, et l'IPR qui chicane sur le sujet se place lui-même sur un terrain mouvant. (Mais il aura raison quand même, car il est IPR.)

Tout a fait d'accord !

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par Rwan le Sam 4 Juil 2020 - 11:19
Je pense qu'on pourrais définir opérateur simplement comme une fonction de E^n -> F, auquel cas "=" serait bien un opérateur.

Mais d'un point de vue des expressions littérales, c'est beaucoup plus intéressant que les opérateurs soient de E² -> E (cf ma première définition) pour pouvoir créer des expressions aussi complexe que l'on veut. Donc même si la phrase "l'égalité est une expression littérale" est acceptable d'un certain point de vue, ce n'est pas une option pertinente.

Et puis, il y a un autre problème qui n'a pas été soulevé à propos de ce fameux "=" : c'est sympa de dire (comme je l'ai fait) "c'est un opérateur", mais comment peut-on définir "="?
Parce que parler d'un objet sans le décrire, c'est un peu une solution de facilité. Encore plus si c'est parce qu'on n'arrive pas à le décrire...

J'imagine qu'on pourrait bricoler un truc ensembliste du genre "X=Y <=> ( pour tout x, x \in X <=> x \in Y)", mais je suis pas très satisfait.

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par Pat B le Sam 4 Juil 2020 - 15:29
Je pense que je n'arriverai jamais à concevoir qu'une égalité puisse être considérée comme une expression littérale.
Que ce soit une "expression" au sens de l'informatique, je veux bien (on peut calculer sa valeur boléenne) ; mais pas une expression littérale.
Ne serait-ce que parce que l'opérateur = n'en est pas un (ou alors il faut définir ce qu'est un opérateur, mais a priori c'est quelque chose qui permet d'obtenir un nouvel élément du même ensemble, ou d'un ensemble pus grand contenant le premier - exemple de la division dans N)

Moi, j'en suis toujours restée à ma définition de collège, où une expression littérale est un calcul dont certains nombres ont été remplacés par des lettres, qui les représentent, et dont la valeur peut varier.
Je n'arrive pas à la définir autrement.

Avec votre définition ensembliste, si les objets considérés sont des fonctions, alors la composée f o g serait une expression littérale ?
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Définition d'une expression littérale Empty Re: Définition d'une expression littérale

par Simeon le Sam 4 Juil 2020 - 15:44
Oui, soit on considère que le = s'évalue, par exemple 1+1 = 2 s'évalue comme vraie, et dans ce cas, ce n'est pas une expression numérique car vraie n'est pas un nombre. On peut chipoter et tenter de remplacer vraie/faux par des valeurs numériques mais dans ce cas, on ne fait plus des maths "classiques": (1=1)+(2=4) a du sens...

Soit on considère que le = ne s'évalue pas, et dans ce cas, on peut faire ce qu'on veut, ça ne sera pas une expression, car une expression est quelque chose qui s'évalue.
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par Rwan le Sam 4 Juil 2020 - 15:56
ou alors il faut définir ce qu'est un opérateur, mais a priori c'est quelque chose qui permet d'obtenir un nouvel élément du même ensemble
ça, c'est une loi de composition interne. Opérateur est un terme plutôt informatique pour dire "fonction notée de manière bizarre", "1+2" au lieu de "+(1, 2)" par exemple.

Mais oui, il vaut mieux en rester à la loi de composition interne, sinon on perd beaucoup de propriétés intéressantes.

Moi, j'en suis toujours restée à ma définition de collège, où une expression littérale est un calcul dont certains nombres ont été remplacés par des lettres, qui les représentent, et dont la valeur peut varier.
Je n'arrive pas à la définir autrement.
Pour le dire plus "rigoureusement" (ou au moins le tenter), j'en reviendrais à ma définition initiale : une expression littérale, c'est un enchaînement de symboles que l'on peut évaluer (ou calculer) si on remplace toute les lettres par des valeurs numériques biens choisies. (genre pas de division par 0...)
ça évite l’écueil des "lettres qui représente dont la valeur peut varier" qui est intuitif, mais difficilement exprimable rigoureusement.

Avec votre définition ensembliste, si les objets considérés sont des fonctions, alors la composée f o g serait une expression littérale ?
Si f et g sont de E -> E, j'aurait tendance à dire oui.

@Simeon Je ne comprend pas le lien que tu fais entre "évaluer" et "résultat numérique", pour moi le résultat d'une évaluation n'est pas forcément numérique.
Un programme informatique n'a aucun problème à évaluer "1=2", c'est faux. Certes "(1=2) + (8=1)" n'a pas de sens (enfin, dans certains langages si, mais c'est un autre problème), mais en quoi c'est dérangeant? Parce que, par exemple, "(1=2) ET (8=1)" est tout à fait évaluable.
En quoi la phrase "(1=2) ET (8=1) ou (pour tout x, x+x=2x)" ne serait pas une expression?

Le vrai nœud du problème, c'est de ne pas "mélanger les mondes". On a des expressions littérales "numériques", qui sont dans R, et les expression littérales
"booléennes" qui sont... dans l'espace des propositions.

EDIT
Je me suis mélangé les pinceaux.
En fait, l'égalité est un symbole du monde des propositions, donc "5 = 2" n'est pas une expression du monde numérique, c'est un élément du monde des propositions.

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par Monsieur_Tesla le Sam 4 Juil 2020 - 17:21
Discussion passionnante, je vais me replonger dans mes cours de logique ... je ne suis que physicien !

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par Simeon le Sam 4 Juil 2020 - 17:42
@Rwan a écrit:

@Simeon Je ne comprend pas le lien que tu fais entre "évaluer" et "résultat numérique", pour moi le résultat d'une évaluation n'est pas forcément numérique.


Si tu le relis mon post, tu verras que je dis que ce n'est pas une expression numérique mais que c'est une expression à partir du moment où on accepte d'évaluer =.

@Rwan a écrit:
On a des expressions littérales "numériques", qui sont dans R

Il y a une raison pour se limiter aux réels ?
jaybe
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Niveau 8

Définition d'une expression littérale Empty Re: Définition d'une expression littérale

par jaybe le Sam 4 Juil 2020 - 18:59
La question de savoir si une expression est évaluable est d'une autre nature que celle de savoir si elle est bien formée. Si je prends par exemple ln(-x^2), on sait immédiatement qu'elle n'est pas évaluable pour tout réel, mais on peut faire plus sophistiqué. Si je définis la constante c comme le plus petit entier [non nul] tel que l'algorithme de Syracuse ne termine pas sur 1 si un tel entier existe et 0 sinon, ai-je le droit d'écrire x/c ? Plus généralement, si tu veux pouvoir répondre à la question de l'évaluation pour pouvoir décider si une expres​sion(définie au sens récursif comme proposé au début de ce fil) est acceptable, tu as besoin de pouvoir calculer n'importe quel objet, et on sait que ce n'est pas possible ; c'est a priori une approche plus simple de se laisser le droit d'écrire des objets bien formés dont on ne sait pas initialement s'ils sont évaluables, et se poser dans un deuxième temps la question de leur définition.

Une plaisanterie mathématique sur ce thème : soit x un réel non calculable. Alors x-x ça fait... on n'en sait rien, on ne peut pas calculer !

_________________
Les mathématiciens ne sont pas des gens qui trouvent les mathématiques faciles ; comme tout le monde, ils savent qu'elles sont difficiles, mais ça ne leur fait pas peur !
NLM76
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Grand sage

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par NLM76 le Sam 4 Juil 2020 - 20:31
Qui a inventé l'expression "expression littérale" ?

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Pub:

Sites du grip :

  • http://instruire.fr
  • http://slecc.fr/GRIP.htm
  • https://grip-editions.fr

Mes « œuvres » complètes...

  • Bellum Gallicum, I
  • Amphitryon
  • Linguæ Latīnæ Libellus Prīmus
  • Dē amīcitiā
  • Premier cahier d'orthographe française: Homophones grammaticaux
  • Grammaire de la négation
  • Débat de Folie et d'Amour
  • Ab urbe conditā, I
  • www.lettresclassiques.fr

Prezbo
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par Prezbo le Sam 4 Juil 2020 - 21:59
@Avatar des Abysses a écrit:De facon personnel j'ai un problème avec le symbole = vu comme "opérateur". Qu’appelez vous opérateur ? Que deviennent les relations d'équivalences?
Je crois que l'on a vite des problèmes avec l'infini d'ailleurs :
si l'on écrit une union infini d'ensemble An tout va bien, cela donne bien une expression littérale mais si l'on arrivai à l’écrire en entier jusqu’à l’infini cela ne serait plus une expression littérale mais qui serait quand même égale...
J'aurai bien poussé le bouchon, si l'on parle d'objet est-on dans les catégories ? diable
Bref effectivement si on admet un formalisme "fini", que l'on accepte que la théorie des ensembles c’est géniale ( ou pas Very Happy ) , on peut s'en sortir.
J'ai vraiment l'impression qu'on touche beaucoup à la méta mathématiques qui me parait moins universel que les mathématiques en elles mêmes.

Non, il ne s'agit pas de métamathématiques, mais bien de mathématiques. C'est toute la démarche de la logique formelle, qui étudie les mathématiques elles-mêmes comme un objet mathématiques : en se plaçant dans le cadre de la théorie des ensemble, on peut définir formellement ce qu'est une expression algébrique, un énoncé mathématiques avec quantificateurs, une démonstration formelle (une suite d'énoncés respectant des règles d'inférences...). Cela débouche sur le théorème de Gödel, qui donne des limites à ce qu'il est possible de démontrer à partir d'un système d'axiomes mathématiques. On peut voir toute cette démarche, et la conclusion de Gödel, comme une formalisation mathématiques d'une réflexion métamathématiques.

(Et certains diraient que le rêve profond des logiciens étaient de transformer tous les énoncés mathématiques en simple énoncés respectant des règles sémantiques, sans se préocupper de leur sens, et toute démonstration en une simple application mécanique de règles d'inférences formelles.)

@jaybe a écrit:La question de savoir si une expression est évaluable est d'une autre nature que celle de savoir si elle est bien formée. Si je prends par exemple ln(-x^2), on sait immédiatement qu'elle n'est pas évaluable pour tout réel, mais on peut faire plus sophistiqué. Si je définis la constante c comme le plus petit entier [non nul] tel que l'algorithme de Syracuse ne termine pas sur 1 si un tel entier existe et 0 sinon, ai-je le droit d'écrire x/c ? Plus généralement, si tu veux pouvoir répondre à la question de l'évaluation pour pouvoir décider si une expres​sion(définie au sens récursif comme proposé au début de ce fil) est acceptable, tu as besoin de pouvoir calculer n'importe quel objet, et on sait que ce n'est pas possible ; c'est a priori une approche plus simple de se laisser le droit d'écrire des objets bien formés dont on ne sait pas initialement s'ils sont évaluables, et se poser dans un deuxième temps la question de leur définition.

Une plaisanterie mathématique sur ce thème : soit x un réel non calculable. Alors x-x ça fait... on n'en sait rien, on ne peut pas calculer !

Je crois que les choses s'éclairent beaucoup à partir du moment, encore une fois, où on sépare la syntaxe d'une expression et son sens.

Définir un expression algébrique syntaxiquement correcte, encore une fois, on sait faire : voir les propositions de définitions récursives données plus haut, éventuellement adaptables selon ce qu'on choisit d'accepter ou non comme syntaxiquement correct.

(Au passage, cette approche logique est aussi la base des langages de programmation informatique, dont un compilateur ou un interpréteur sait très bien vérifier la correction syntaxique.)

Le problème, c'est le sens que l'on donne ensuite à la formule.

Si on interprète les symboles d'opérateurs comme des applications d'une partie de E^k dans E, on peut interpréter une expression algébrique à n inconnues comme la définition d'une fonction d'une partie de E^n dans E, l'ensemble de définition n'étant pas nécessairement E^n, et même éventuellement vide.

(C'est ici d'ailleurs que se pose le problème de l'égalité : ce symbole n'étant pas interprété comme une fonction de E^2 dans E, mais plutôt de E^2 dans {Vrai; Faux}, il ne peut pas être appliqué de façon récursive : x=3 et y sont des expressions syntaxiquement correctes, mais il serait déraisonnable d'accepter (x=3)=y comme une expression syntaxiquement correcte. De ce point de vue, l'insistance de l'IPR d'Rwan a effectivement un fondement.)

Cela dit, cette vision des expressions algébriques comme manière de définir une fonction est très typique du lycée (et a exagérément tendance à faire penser aux lycées qu'une fonction est une formule, d'ailleurs).

En collège, au moment de l'introduction du calcul algébrique, il me semble qu'une inconnue est vue plutôt comme une lettre désignant un réel que l'on ne connaît pas...Dans ce cadre, dès lors que l'on donne une valeur numérique aux inconnues apparaissant dans une expression algébrique, on peut tenter de donner une réalisation numérique à l'expression...avec les mêmes problèmes qui ci-dessus : les expressions n'ont pas une réalisation numérique pour toutes les valeurs des inconnues qui y apparaissent. Par exemple, 1/x ou \sqrt{x} n'ont pas une valeur numérique définie dans R pour toutes les valeurs de x...

Ce problème de l'impossibilité d'associer une valeur numérique à une expression se pose d'ailleurs déjà pour les expressions strictement numériques : \sqrt{-1} ou 1/0 sont des expressions syntaxiquement correctes, mais auxquelles on ne peut pas associer de valeurs numériques dans R.

Pour en revenir au problème initial, je n'ai toujours pas trouvé de définition correcte d'une expression algébrique qui soit compréhensible au niveau quatrième. Je trouve soit des horreurs (des définitions que ne sont pas des définitions au sens strict mais des espèces d'explications fumeuses et souvent fausses) soit des cours qui font manipuler des expressions algébriques sans les avoir préalablement définies (ce qui est défendable pédagogiquement)...
cassiopella
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Niveau 9

Définition d'une expression littérale Empty Re: Définition d'une expression littérale

par cassiopella le Sam 4 Juil 2020 - 22:40
@Rwan, je n'ai pas encore lu les autres réponses. Une expression littérale est une expression mathématique qui... utilise les lettres. C'est aussi simple que cela.

Pour être plus précis c'est un polynôme. Et le polynôme standardisé c'est une somme des monômes standardisés.  Un monôme est une expression algébrique (littéral) dans laquelle les seules opérations à effectuer sur les variables sont des multiplications ou des élévations à une puissance (@Lebossé-Heméry). Un monôme standardisé commence par le coefficient numérique (un nombre), suivi par la partie littérale (les lettres apparaissent une fois et sont rangées dans l'ordre alphabétique) : -6x(m^3)(-1/2y)(x^6)(0.5ba^3) =  1.5(a^3)b(m^3)(x^7)y.
Pour les adeptes de Bourbakisme ce n'est pas "très mathématique" et "exacte", mais c'est très pédagogique et cela passe comme la crème. Razz

P.S. on peut aussi discuter de comment on définit le point. Mais au niveau du collège et lycée : un point est juste un point. Pas besoin d'autres explications et définitions.

EDIT après avoir lu les messages :

Quand j'étais enfant, on avait les "expressions littérales" (uniquement les opérations, pas de signe =, < et >) et les "identités" (qui comparait deux expressions à gauche et à droite du signe =, <, <=, > ou =>). Les "identités" pouvaient être soit vraies, soit fausses. Les exercices "prouver que l'identité est vraie/fausse".

@ainah a écrit:
@Flo44 a écrit:
C'est marrant, je viens de rechercher dans un cours de prépa (en ligne, ma progéniture ayant embarqué le mien), il n'y a aucune définition de ce qu'est une expression littérale.
C'est ça Définition d'une expression littérale 3854100262 Je me rends simplement compte que jamais, dans mon cursus, on ne m'a définit clairement la notion d'expression mathématique et d'expression littérale abi
Que veux tu dire par clairement? Avant les maths modernes on le définissait ainsi : manuel de 4e :
Variable : on appelle variable toute quantité qui peut prendre diverses valeurs.

Expression algébrique : c'est un ensemble de nombres données et de variables sur lesquels sont indiquées des opérations à effectuer.
Mais cette définition n'est peut-être plus à la porté des 4e parce qu'ils ne savent plus ce que c'est un nombre et ce que c'est un ensemble. Il faut attendre la classe de 2nd (nouvelle programme) pour avoir une idée claire des nombres.

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