"En cheminant vers Kakeya", livre gratuitement téléchargeable, à destination des lycéens, étudiants et curieux qui s'intéressent aux mathématiques contemporaines

par JPhMM Lun 7 Nov 2011 - 19:15

La question de Kakeya : Quelle est la plus petite surface à l’intérieur de laquelle il est possible de déplacer une aiguille de manière à la retourner complètement ?

Découvrez ou redécouvrez les grandes idées qui font la force des mathématiques en suivant l'incroyable destinée de la question de Kakeya. Ou comment une devinette apparemment enfantine a pu croître et se ramifier jusqu'à se transformer en un véritable défi lancé aux plus grands cerveaux de notre temps ?

Conçu comme une pérégrination autour de la question de Kakeya ce livre expose clairement et concrètement le pourquoi et le comment des résultats mathématiques, les grandes idées y sont progressivement présentées au gré des rebondissements de l'histoire. L'accent est mis sur la dérivation et le calcul intégral qui posent tant de problèmes aux lycéens et aux étudiants. Présentées en contexte, ces notions incontournables deviennent enfin évidentes et donnent accès au génie de leurs découvreurs.

Ce livre est destiné aux lycéens et aux étudiants désireux de saisir davantage le sens réel des notions qui leur sont enseignées, il conviendra également à toutes les personnes ayant un bagage scientifique ou technique qui voudraient comprendre la portée des mathématiques, il s'adresse plus généralement à tous les esprits curieux qui souhaitent voir les mathématiques sous un jour différent.

Par Vincent Borrelli.
http://math.univ-lyon1.fr/~borrelli/

Le livre :
http://math.univ-lyon1.fr/~borrelli/Kakeya/En_cheminant_avec_Kakeya.pdf

par doctor who Ven 11 Nov 2011 - 13:07

Merci pour ce lien. Je viens de finir. Le moins qu'on puisse dire, c'est que c'est clair et passionnant, même pour un ancien L, comme moi.
Je découvre enfin le pourquoi du comment des dérivées et des intégrales. Dire qu'on ne m'a jamais parlé de "pente" pour les premières ni "d'aire" pour les secondes !

par JPhMM Ven 11 Nov 2011 - 19:21

Oui, c'est en effet très clair et passionnant.
Il est très regrettable qu'on ne parle parfois pas de pente pour les dérivées ni d'aire pour les intégrales, d'autant que ce ne sont pas des perspectives nouvelles, ces deux notions sont nées il y a environ trois siècles de cette façon. Leurs prémices apparaissent avec la méthode par exhaustion, sans doute inventée par Eudoxe et très utilisée par Archimède, et les problèmes des calcul des pentes, des aires et volumes ont été résolus par dérivées et intégrales, avec la découverte au passage que l'une était l'application réciproque de l'autre (pour le dire vite).

par John Ven 11 Nov 2011 - 19:28

Pour moi, la dérivée, c'est l'expression de la vitesse quand on parcourt une distance, et la dérivée seconde c'est l'expression de l'accélération. C'est bien ça ?

par JPhMM Ven 11 Nov 2011 - 19:37

Oui, c'est bien cela, mais cela vient bien du fait que c'est la pente d'une courbe.

Si on trace une courbe représentant la position d'un mobile par rapport au temps, la pente de la courbe en un point est la vitesse instantanée du mobile à cet instant.

De même, si maintenant on trace une courbe représentant la vitesse instantanée d'un mobile par rapport au temps, la pente de la courbe en un point est l'accélération du mobile à cet instant.

Mieux, supposons que tu sois dans un hélicoptère et tu vois une voiture se déplacer sur un route sinueuse. Si le conducteur lâche soudain volant et accélérateur, la trajectoire et la vitesse du véhicule correspond alors au vecteur vitesse du véhicule (aux frottements près). Einstein explique cela très bien dans

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sans doute l'un des meilleurs ouvrages de vulgarisation en physique.

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