Question aux profs de maths sur l'apprentissage initial de la multiplication

A la question de Mowgli : traduisez vous 2 + 2 + 2 par 2 x 3 ou par 3 x 2 ?
J'ai répondu 3 fois 2 et 3x2=2+2+2.
J'aurais du répondre 3 fois 2 et 2x3=2+2+2.
Je n'ai pas enseigné en primaire et j'ai pris la mauvaise habitude de confondre "fois" et "multiplié par"; le chant des tables de ma lointaine école ne raisonne plus...
Ce qui peut être accepté au collège (?) mais pas en primaire où la multiplication est introduite.
Je suppose que cette question a souvent été abordée dans les didactactiques du primaire.
Par exemple, 2 x 3cm et 3 x 2cm traduisent des opérations différentes.
Un nombre opère sur une mesure de grandeur...

A propos de décimaux, fractions...
Des programmes en FLASH qui sont peut-être utilisables :
http://rdassonval.free.fr/flash/decimaux.html
http://rdassonval.free.fr/flash/fractions_M.html

Quelques programmes de cette page sont peut-être utilisables en primaire :
http://rdassonval.free.fr/flash/flash.html

Gratuit, sans pub, modifiable, adaptable...

dasson a écrit:A la question de Mowgli : traduisez vous 2 + 2 + 2 par 2 x 3 ou par 3 x 2 ?
J'ai répondu 3 fois 2 et 3x2=2+2+2.
J'aurais du répondre 3 fois 2 et 2x3=2+2+2.Je n'ai pas enseigné en primaire et j'ai pris la mauvaise habitude de confondre "fois" et "multiplié par"; le chant des tables de ma lointaine école ne raisonne plus...
Ce qui peut être accepté au collège (?) mais pas en primaire où la multiplication est introduite.
Je suppose que cette question a souvent été abordée dans les didactactiques du primaire.
Par exemple, 2 x 3cm et 3 x 2cm traduisent des opérations différentes.
Un nombre opère sur une mesure de grandeur...

Me voilà rassurée !

dasson a écrit:A propos de décimaux, fractions...
Des programmes en FLASH qui sont peut-être utilisables :
http://rdassonval.free.fr/flash/decimaux.html
http://rdassonval.free.fr/flash/fractions_M.html

Quelques programmes de cette page sont peut-être utilisables en primaire :
http://rdassonval.free.fr/flash/flash.html

Gratuit, sans pub, modifiable, adaptable...

Quand tu as donné l'adresse de ton site dans un autre topic il y a quelques semaines, je l'ai communiquée à mes élèves et certains se régalent avec !
Beaucoup de "jeux" de 6ème sont utilisables pour des CM2, voire des CM1, à part en géométrie, où c'est costaud par rapport au programme du CM.

Padre P. Lucas a écrit:

Clarinette a écrit:
Quant aux décimaux, c'est sûr que c'est un sacré changement de paradigme, comme y disent les chercheurs. Les fractions, qui précèdent les nombres décimaux, sont encore plus difficiles à avaler, pour certains...

Pas le temps de développer mais pour les décimaux et les fractions il faut s'appuyer assez tôt sur l'écriture usuelle des mesures, des poids et des prix : l''enfant qui mesure 1,30 m, le bébé qui pèse 3,500 kg ; le livre qui coûte 12,75 euros ...

C'est sûr que, dans la mesure du possible, il faut s'appuyer sur ce qu'ils fréquentent depuis leur plus jeune âge, mais ce n'est pas pour autant que cela fait réellement sens, notamment chez les élèves en difficulté.
J'en veux pour preuve, par exemple, les fameux km/h, pour lesquels ils semblent découvrir au CM qu'il s'agit de diviser le premier terme par le 2ème.

Questions intéressantes ! Mais j'avoue que je ne fais pas attention au sens de lecture de 3 x 2
Moi, j'attends comme écriture : 2 + 2 + 2 = 3 x 2 dans le sens "3 fois 2"

D'ailleurs, pour le collège, est ce que vous faites la distinction multiplicande/multiplicateur ou est ce que vous n'utilisez que facteur ?

Tinkerbell a écrit:
Sinon mufab, il est sympa ton IEN mais il vous a proposé quelles alternatives pendant la formation ?

"aborder la muliplication par les quadrillages" (mais je me demande ce que ça change).

Sinon, chais pas. Le tableau, oui, je veux bien. Mais je ne suis pas certaine que cela rende service à mes Ce2, que de passer par 57x10 = 50 diz et 70 unités. (Je serai de toute façon obligée d'automatiser ce zéro à droite lors de la technique opératoire à 2 chiffres).
Faut voir.

Je ne te parle pas des unités de mesure ? Non ? Bon d'accord, je ne t'en parle pas...

Tu parles de ce que tu veux, DC, au contraire !
Et je vois bien l'intérêt de manipuler ce tableau (d'ailleurs je le fais en numération, quand on cherche le nombre de dizaines dans un nombre par exemple...)

Mais ma question portait au départ sur la multiplication à 2 chiffres, style 57x24... Et c'est cette histoire de zéro à droite dont j'ai besoin et auquel je n'aurais plus droit qui me turlupine.

Autrefois on mettait un point, et basta. Mais ce n'est pas une solution non plus, parce que je souhaite vraiment qu'il fasse le lien entre 57x24 et (57x2x10) + (57x4)

Moi on m' a dit de mettre un zéro pointe alors c'est ce que je faisais car je suis (bête et) disciplinée

Mufab, je tape "ma" méthode et je la mets en ligne d'ici quelques minutes.

doublecasquette a écrit:Je ne te parle pas des unités de mesure ? Non ? Bon d'accord, je ne t'en parle pas...

Ça m'intéresse ! Je pourrais peut-être comprendre du même coup l'intérêt de voir les unités de mesures par "valeur" (décalitre, décagramme, décamètre) plutôt que par famille, comme je l'ai toujours vu (et fait).

Voilà ! J'espère que ça te sera utile.

1° leçon (CE1, 3° trimestre ; Reprise CE2, janvier)

Multiplication par 10, 100, 1 000

Exercice. Trouver la longueur 10 fois, 100 fois, 1 000 fois plus grande que 5 mètres.

La longueur donnée est 5 m.
La longueur 10 fois plus grande est 5 dam ou 50 mètres.
La longueur 100 fois plus grande est 5 hm ou 500 mètres.
La longueur 1 000 fois plus grande est 5 km ou 5 000 mètres.

Problèmes :
1) Un mètre de ce tissu vaut 15 euros, combien valent 10
mètres du même tissu ?
‐ 10 mètres, c’est dix fois un mètre donc 10 mètres valent
dix fois plus que 15 euros.
‐ 15 dizaines d’euros c’est aussi dix fois plus que 15 euros,
donc 10 mètres de tissus valent 15 dizaines d’euros :
15 € x 10 = 150 €

2) Chacun de ces clous pèse 2 grammes. Combien pèse une
boîte de 100 clous ? Une boîte de 1000 clous ?
‐ 100 clous pèsent 100 fois 2 grammes, 1 000 clous pèsent 1 000 fois 2 grammes.
‐ 2 hectogrammes valent aussi 100 fois 2 grammes, 2 kilogrammes valent aussi 1 000 fois 2 grammes, donc : 100 clous pèsent 200 g, 1 000 clous pèsent 2 000 g :

2 g x 100 = 200 g
2 g x 1 000 = 2 000 g

Règle. Pour multiplier un nombre par 10, par 100 ou par 1 000, on écrit 1, 2 ou 3 zéros à sa droite.

2° leçon (CE1 3° trimestre, CE2, janvier)

Multiplication : le multiplicateur est composé d’un chiffre suivi de
zéros

Problème : Un pâtissier confectionne des truffes au chocolat qu’il vend par boîtes de 125 g. Il en prépare 30 boîtes par semaine. Quel poids total de truffes doit‐il prévoir pour remplir ces 30 boîtes ?

30 boîtes, c’est 10 fois 3 boîtes.
125 g x 3 = 375 g : 3 boîtes pèsent 375g.

30 boîtes pèsent dix fois plus : 375 g x 10 = 3 750 g
Le pâtissier préparera 3750 grammes de truffes.

125 x 3 = 375
125 x 30 = 3 750

Pour les fêtes de Noël, il prévoit d’en vendre 400 boîtes.
Quel poids de truffes doit‐il alors préparer ?

400 boîtes, c’est 100 fois 4 boîtes.
125 g x 4 = 500 g : 4 boîtes pèsent 500 g

400 boîtes pèsent 100 fois plus : 500 g x 100 = 50 000 g ou 50 kg

Le pâtissier préparera 50 kilogrammes de truffes.

125 x 4 = 500
125 x 400 = 50 000

Quand on multiplie le multiplicateur par 10, 100, 1 000… , on multiplie le résultat
par 10, 100, 1 000 ….

Troisième leçon (CE2 : janvier ou février)

Multiplication : deux chiffres au multiplicateur

Problème : Un pharmacien vend du tilleul par sachet de 25 g. Il reçoit un carton de 24 sachets, quel poids de tilleul contient ce carton ?

4 sachets contiennent :
25 g x 4 = 100 g

20 sachets contiennent :
25 g x 20 = 500 g

24 sachets contiennent :
100 g + 500 g = 600 g

Le carton contient 600 g de tilleul.

2 5
x 2 4
1 0 0
5 0 0
6 0 0

Pour poser l’opération en une seule fois :
‐ on calcule le produit du multiplicande par le chiffre des unités.
‐ on place le produit du multiplicande par le chiffre des dizaines, le chiffre de droite étant un chiffre de dizaines (on peut compléter par un zéro à droite pour
aller aux unités)
‐ on ajoute les deux produits partiels.

Pour multiplier un nombre par un multiplicateur de 2 chiffres :
‐ on multiplie ce nombre par le chiffre des unités du multiplicateur ;
‐ on multiplie ce nombre par le chiffre des dizaines du multiplicateur en plaçant le chiffre de droite dans la colonne des dizaines ;
‐ on ajoute les deux produits partiels.

Nous aussi, on parle "d'écrire un, deux ou trois zéros à droite". Ton IEN ne serait pas content.

Je fais pareil pour la multiplication avec un multiplicateur à 2 chiffres et ça passe comme une lettre à la poste pour le zéro.

phi a écrit:Moi on m' a dit de mettre un zéro pointe alors c'est ce que je faisais car je suis (bête et) disciplinée

Spoiler:

D'acc' avec toi, DC ! Il me semble essentiel de faire le lien entre numération de position et techniques opératoires. Si on veut dire qu'il n'y a aucune unité et aucune dizaine, on met deux zéros, et non deux points. Qu'un IEN essaie de venir me démontrer le contraire !

Clarinette a écrit:Peut-être peux-tu utiliser le tableau de numération pour faire "circuler" les nombres : les zéros apparaissent ou disparaissent ainsi naturellement.
Au CM2, j'utilise encore beaucoup le tableau de numération. Ca évite qu'ils retiennent des astuces en ayant oublié le cheminement qui y a conduit.
Quant aux décimaux, c'est sûr que c'est un sacré changement de paradigme, comme y disent les chercheurs. Les fractions, qui précèdent les nombres décimaux, sont encore plus difficiles à avaler, pour certains...

Juste une question sur ce sujet:
L'écriture décimale est une écriture fractionnaire, l'argument est mathématiquement imparable.. Mais il me semble que vouloir imposer cet ordre est un non sens: ils savent parfaitement manipuler l'argent et cela bien avant de manipuler les fractions. Et si on construisait du simple vers le compliqué?

Tout cela me rappelle l'époque des "maths modernes au collège": idéologiquement incontestable mais hors de toute réalité dans les faits. Maintenant je parle de ce que je ne connais pas.... doit bien y avoir des PE par ici

Evariste a écrit:

Clarinette a écrit:Peut-être peux-tu utiliser le tableau de numération pour faire "circuler" les nombres : les zéros apparaissent ou disparaissent ainsi naturellement.
Au CM2, j'utilise encore beaucoup le tableau de numération. Ca évite qu'ils retiennent des astuces en ayant oublié le cheminement qui y a conduit.
Quant aux décimaux, c'est sûr que c'est un sacré changement de paradigme, comme y disent les chercheurs. Les fractions, qui précèdent les nombres décimaux, sont encore plus difficiles à avaler, pour certains...

Juste une question sur ce sujet:
L'écriture décimale est une écriture fractionnaire, l'argument est mathématiquement imparable.. Mais il me semble que vouloir imposer cet ordre est un non sens: ils savent parfaitement manipuler l'argent et cela bien avant de manipuler les fractions. Et si on construisait du simple vers le compliqué?


Tout cela me rappelle l'époque des "maths modernes au collège": idéologiquement incontestable mais hors de toute réalité dans les faits. Maintenant je parle de ce que je ne connais pas.... doit bien y avoir des PE par ici

Je suis PE en CM1 et vis dans une contrée où l'argent n'a pas de virgule (les poids et mesures oui, mais ils sont moins manipulés), alors, pas de questionnement jusque là, je passe par les fractions avant, et ça se passe très bien. Le parcours balisé, c'est multiplication-multiples-division-fractions-décimaux.
A vrai dire, je ne vois pas trop comment classer ou comparer les décimaux sans avoir compris les concepts de "dixièmes, centièmes..." ou de fractions d'unité. Je ne suis pas une fanatique du sens, mais là, pour moi, la logique prend le pas sur "allons du connu à l'inconnu".

Je me souviens que durant ma formation, les fractions n'étaient pas à la mode, et on abordait les décimaux en passant par les bases. Une horreur absolue (je n'ai toujours pas compris...).
Dans "Activités mathématiques CM1" chez Nathan de 1978, on passe ainsi par la base 4 pour basculer ensuite sur les décimaux. J'ai le souvenir d'une telle leçon menée de façon expérimentale dans un CM1 par un groupe de normaliens; il fallait passer de la base 7 aux décimaux. Le plantage avait été flagrant, la critique professorale acerbe, et ledit prof avait refusé de nous dire comment il fallait s'y prendre (forcément), avant de nous coller un devoir sur le sujet...

Donc, on a dû chercher d'autres façons de faire, mais visiblement aujourd'hui, on en est revenu aux fractions puis décimaux (et ça me soulage !). Mais si quelqu'un a d'autres pistes ...

Clarinette a écrit:Voilà ! J'espère que ça te sera utile.

Merci, Clarinette. Je leur fait écrire la même chose systématiquement, sauf que l'on met quelques temps en 2ème ligne : x 2 x 10

Mufab a écrit:

Clarinette a écrit:Peut-être peux-tu utiliser le tableau de numération pour faire "circuler" les nombres : les zéros apparaissent ou disparaissent ainsi naturellement.
Au CM2, j'utilise encore beaucoup le tableau de numération. Ca évite qu'ils retiennent des astuces en ayant oublié le cheminement qui y a conduit.

Oui, j'ai pensé au tableau, mais ça reviendra au même, non ?
Comment leur faire comprendre que 58x10 = 580 dans le tableau de numération ?
Imaginons 58x10. On est obligé de faire 58x10 = 50d + 80u, de les mettre dans le tableau, de re calculer...
Je ne sais pas si ça va leur apporter grand chose/décimaux.

Mais une fois que l'on a fait ça 5 ou 6 fois, ça va quand même plus vite d'ajouter direct' le zéro, non ? Sinon, pour la multiplication à 2 ou 3 chiffres, on n'est pas rendu à Loches (comme on dit chez moi).

:lol!:

Iota a écrit:

Evariste a écrit:

Clarinette a écrit:Peut-être peux-tu utiliser le tableau de numération pour faire "circuler" les nombres : les zéros apparaissent ou disparaissent ainsi naturellement.
Au CM2, j'utilise encore beaucoup le tableau de numération. Ca évite qu'ils retiennent des astuces en ayant oublié le cheminement qui y a conduit.
Quant aux décimaux, c'est sûr que c'est un sacré changement de paradigme, comme y disent les chercheurs. Les fractions, qui précèdent les nombres décimaux, sont encore plus difficiles à avaler, pour certains...

Juste une question sur ce sujet:
L'écriture décimale est une écriture fractionnaire, l'argument est mathématiquement imparable.. Mais il me semble que vouloir imposer cet ordre est un non sens: ils savent parfaitement manipuler l'argent et cela bien avant de manipuler les fractions. Et si on construisait du simple vers le compliqué?


Tout cela me rappelle l'époque des "maths modernes au collège": idéologiquement incontestable mais hors de toute réalité dans les faits. Maintenant je parle de ce que je ne connais pas.... doit bien y avoir des PE par ici

Je suis PE en CM1 et vis dans une contrée où l'argent n'a pas de virgule (les poids et mesures oui, mais ils sont moins manipulés), alors, pas de questionnement jusque là, je passe par les fractions avant, et ça se passe très bien. Le parcours balisé, c'est multiplication-multiples-division-fractions-décimaux.
A vrai dire, je ne vois pas trop comment classer ou comparer les décimaux sans avoir compris les concepts de "dixièmes, centièmes..." ou de fractions d'unité. Je ne suis pas une fanatique du sens, mais là, pour moi, la logique prend le pas sur "allons du connu à l'inconnu".

Je me souviens que durant ma formation, les fractions n'étaient pas à la mode, et on abordait les décimaux en passant par les bases. Une horreur absolue (je n'ai toujours pas compris...).
Dans "Activités mathématiques CM1" chez Nathan de 1978, on passe ainsi par la base 4 pour basculer ensuite sur les décimaux. J'ai le souvenir d'une telle leçon menée de façon expérimentale dans un CM1 par un groupe de normaliens; il fallait passer de la base 7 aux décimaux. Le plantage avait été flagrant, la critique professorale acerbe, et ledit prof avait refusé de nous dire comment il fallait s'y prendre (forcément), avant de nous coller un devoir sur le sujet...

Donc, on a dû chercher d'autres façons de faire, mais visiblement aujourd'hui, on en est revenu aux fractions puis décimaux (et ça me soulage !). Mais si quelqu'un a d'autres pistes ...

C'est drôle, moi, c'est cette histoire de fractions décimales qui me paraît compliquée pour les élèves.
Là, au CE2, ils digèrent sans aucun problème "1 mètre et 25 centimètres = 1,25 m", "3 € et 5 c = 3,05 €" parce qu'ils le voient autour d'eux sur leurs carnets de santé, sur les dépliants publicitaires.
Je suppose qu'ils digéreront tout aussi bien "1 kg et 555 g = 1,555 kg" parce qu'ils ont compris la logique du truc : comme le centimètre est cent fois plus petit que le mètre, il se retrouve deux chiffres après la virgule, exactement comme le nombre 100 qui a deux zéros parce qu'il est cent fois plus grand que l'unité ; du coup, pour le gramme et le kilogramme, c'est trois chiffres après la virgule ou trois zéros, puis qu'ils sont l'un mille fois plus grand et l'autre mille fois plus petit.

En revanche, quand j'avais des CM, les fractions décimales, je trouvais que ça passais bien en soi, de même que les nombres décimaux, mais que le lien entre les deux, et le passage de l'un à l'autre était toujours un peu "fabriqué" chez certains élèves qui ne faisaient le rapport entre les deux que parce qu'on leur disait qu'ils devaient le faire. C'est même l'une des raisons pour lesquelles, quand nous avons gagné la troisième classe, j'ai choisi de garder les petits de l'élémentaire : ces leçons de maths pendant lesquelles les tracteurs passaient en rangs serrés dans certains regards, ça me minait le moral !

Ce qui fait que j'adhère parfaitement à l'argument d'Evariste.
Pour les décimaux, on commence par ce qu'ils connaissent, les mesures et la monnaie. Ils apprennent à les manipuler, additions, soustractions, multiplications et divisions par un entier. C'est tout bête, les euros sont des euros, les centimes sont des centimes : quand on partage un euro en quatre ou obtient forcément des centimes, quand on multiplie des centimes et que l'on dépasse 100, cela s'appelle des euros. N'importe quel élève de CE2 peut y arriver.
Parallèlement à cela, on commence à visualiser les fractions, avec l'heure, les parts de tarte, les carreaux de chocolat... et les unités de mesures. Un dixième de mètre, c'est un décimètre, un centième, c'est un centimètre, un millième, c'est un millimètre... Du coup lorsqu'on a 15 dm, on a 15 dixièmes de mètres qui peut s'écrire 15/10, mais comme on sait que 10 dm = 1 m, on peut aussi écrire que 15/10 m = 1 m + 5/10 m, et ainsi de suite.

Ce n'est qu'ensuite, lorsque le concret des nombres décimaux est bien installé, que l'abstrait des écritures fractionnaires est devenu banal, qu'on va pouvoir faire le lien entre les deux.
15 dm = 1,5 m ; 15 dm = 15/10 m = 1 m + 5/10 m... Bon sang, mais c'est bien sûr !
1,5 = 1 + 5/10...
Le premier chiffre après la virgule représente un dixième de l'unité, le deuxième, un centième, le troisième, un millième !... Ça repart "à l'envers" !... Grandiose !

doublecasquette a écrit:
Parallèlement à cela, on commence à visualiser les fractions, avec l'heure, les parts de tarte, les carreaux de chocolat... et les unités de mesures. Un dixième de mètre, c'est un décimètre, un centième, c'est un centimètre, un millième, c'est un millimètre... Du coup lorsqu'on a 15 dm, on a 15 dixièmes de mètres qui peut s'écrire 15/10, mais comme on sait que 10 dm = 1 m, on peut aussi écrire que 15/10 m = 1 m + 5/10 m, et ainsi de suite.

Oui, on monte les deux piliers en même temps à partir de l'usage courant :
- pour les décimaux : monnaie, mesures, poids ...
- pour les fractions : demi-pomme, quart de pomme, tiers de tarte, demi-baguette, demi-litre ... (et aussi : double/moitié ; triple/tiers, quadruple/quart ...)
on attaque la courbure avec l'écriture fractionnaire (0,1 c'est 1/10 ; un demi c'est1/2 ...) et on pose la clef de voûte qui permet de relier les deux piliers. Et si tout s'écroule, on recommence à zéro.

Padre P. Lucas a écrit:

doublecasquette a écrit:
Parallèlement à cela, on commence à visualiser les fractions, avec l'heure, les parts de tarte, les carreaux de chocolat... et les unités de mesures. Un dixième de mètre, c'est un décimètre, un centième, c'est un centimètre, un millième, c'est un millimètre... Du coup lorsqu'on a 15 dm, on a 15 dixièmes de mètres qui peut s'écrire 15/10, mais comme on sait que 10 dm = 1 m, on peut aussi écrire que 15/10 m = 1 m + 5/10 m, et ainsi de suite.

Oui, on monte les deux piliers en même temps à partir de l'usage courant :
- pour les décimaux : monnaie, mesures, poids ...
- pour les fractions : demi-pomme, quart de pomme, tiers de tarte, demi-baguette, demi-litre ... (et aussi : double/moitié ; triple/tiers, quadruple/quart ...)
on attaque la courbure avec l'écriture fractionnaire (0,1 c'est 1/10 ; un demi c'est1/2 ...) et on pose la clef de voûte qui permet de relier les deux piliers. Et si tout s'écroule, on recommence à zéro.

Meuh non, ça ne s'écroulera pas !

Parce qui dit piliers dit socle et chez nous le socle est sous les piliers et non au-dessus comme chez certains et c'est un socle solide et des piliers néo-classiques, pas de la daube en plâtre moulé pour faire joli !

Merci pour ces explications, Double Casquette, c'est passionnant d'avoir d'autres points de vue que le sien.
Bon, tout ça me fait comprendre pourquoi j'ai fui les CE 1 et 2 à toutes jambes... je dois être formatée CM ou amoureuse des fractions
En fait, sans la rigueur des fractions, je ne me vois pas du tout leur faire deviner que 1 kg et 555 g c'est 1,555 kg. Et mes élèves n'ont, pour la plupart, jamais vu un euro...
Ce qui compte, c'est que ça fonctionne, et que la logique de l'ensemble convienne à l'instit.
Sur le passage fractions décimales/décimaux (qui me ravit personnellement, parce que je la trouve brillante, l'idée de Stevin de Bruges), en décomposant bien la démarche et en accrochant aux aspects les plus bassement techniques les tracteurs les plus lents, ça passe normalement...

Quand on les mesure, tes élèves, on n'écrit pas 1,42 m ? Tu crois qu'ils ne seraient pas capables de comprendre tout seuls que c'est 1 mètre et 42 centimètres ? Et donc 1 mètre et 42 centièmes de mètre ?

Sans doute, la plupart retiendront que les centièmes de mètres sont les centimètres, mais l'avantage des fractions, c'est d'être au clair quand on parle de centièmes, et je me sens plus à l'aise avec ça.