Rapport jury Capes externe Maths 2012

Enjoy !

Marc

Le rapport du jury a écrit: Le jury a prêté une attention particulière aux compétences suivantes :
– nier une proposition (40% des candidats ayant composé ont répondu correctement à la question 1 du problème 1) ;
– élaborer une démonstration « faisant intervenir des  et des  » (64% des candidats ont traité
correctement au moins une des questions 2, 4.2, 5.1 et 8.1 du problème 1) ;
– écrire un algorithme (11% des candidats ont répondu correctement à la question 2 du problème 3) ;
– rédiger un raisonnement par récurrence (15% des candidats ont rédigé correctement au moins un
raisonnement par récurrence sur l’ensemble du sujet).

Je crois que ce paragraphe résume beaucoup de choses. Comment peut-il y avoir 85 % de candidats avec AUCUNE récurrence correcte ?

C'est quoi, une récurrence?

Une méthode de démonstration visant à établir la validité d'une propriété portant sur les entiers naturels. On aborde la démonstration par récurrence en terminale S.
Ce type de démonstration permet de démontrer des propriétés assez délicates, mais présente l'inconvénient de ne pas forcément mettre à jour la nature de la propriété démontrée.
La récurrence est l'un des outils de base du mathématicien (principe que l'on peut appliquer dans des domaines les plus variés).

C'était pas avant autrefois des fois? Ca m'dit quelque chose, mais j'étais pas en terminale S.
J'comprend pas tout, comment on démontre une propriété sans en démontrer la nature? c'est quoi, la nature d'une propriété?

Je viens de jeter un coup d'oeil sur le sujet, mon dieu c'est d'un niveau L1. C'est de mieux en mieux.

Pas très glorieux tout ça...

Justinien a écrit:C'était pas avant autrefois des fois? Ca m'dit quelque chose, mais j'étais pas en terminale S.
J'comprend pas tout, comment on démontre une propriété sans en démontrer la nature? c'est quoi, la nature d'une propriété?

Le terme de nature est peut être mal choisi, je voulais dire que la démonstration par récurrence ne fait pas appel à l'intuition, on peut par exemple démontrer un certain nombre d'identités combinatoires par récurrence sans justement avoir recours à un argument combinatoire éclairant sur l'origine de l'identité.

Sur l'esthétique de la preuve : http://sun.iwu.edu/~lstout/aesthetics.pdf

zina a écrit:Je viens de jeter un coup d'oeil sur le sujet, mon dieu c'est d'un niveau L1. C'est de mieux en mieux.

Voir Terminale S pour certaines parties. En même temps quel drôle d'idée que de vouloir enseigner les "mathématiques du citoyen".

zina a écrit:Je viens de jeter un coup d'oeil sur le sujet, mon dieu c'est d'un niveau L1. C'est de mieux en mieux.

En même temps, il me semble qu'avant on était admissible en faisant un tiers du devoir tellement il était long...
Là, on peut peut-être en faire un peu plus de la moitié.

Justinien a écrit:C'était pas avant autrefois des fois? Ca m'dit quelque chose, mais j'étais pas en terminale S.
J'comprend pas tout, comment on démontre une propriété sans en démontrer la nature? c'est quoi, la nature d'une propriété?

Je vais essayer de ne pas être trop technique, quitte à faire des raccourcis qui choqueraient certains mathématiciens.

Tu dois te souvenir de (je résume...) :
* La propriété est vraie au rang 0.
* Pour n quelconque, si la propriété est vraie au rang n, alors elle est vraie au rang n+1
* Donc la propriété est vrai pour tout n.

Typiquement : pour démontrer que toutes les marches d'un escalier infini sont rouges :
* Démontrer que la première marche est rouge.
* Démontrer que si une marche quelconque est rouge, alors la suivante est rouge.

(Comme tu l'auras compris, pour un philosophe, le principe de la démonstration par récurrence est fondée sur l'identité de l'infini potentiel avec l'infini actuel.)

Le défaut ici serait que la démonstration est "descriptive" ou "constatatrice", elle n'exhibe pas l'intimité de la raison de la couleur rouge des marches de l'escalier.

Il y a un exemple mathématique simple :
Pour tout n entier naturel, la somme de tous les nombres impairs 1 + 3 + 5 + ... + (2n+1) = (n+1)² et est donc un carré parfait.
En effet, on constate que :
1=1²
1+3=4=2²
1+3+5=9=3²
1+3+5+7=16=4²
1+3+5+7+9=25=5²
1+3+5+7+9+11=36=6²
Etc.

Mais ce n'est pas une démonstration, car on ne peut écrire qu'un nombre fini de cas. La démonstration par récurrence permet de démontrer la validité de ce "etc".

En effet :
* Rang n=0 : 2x0+1=1=(0+1)²
* Soit n un entier naturel quelconque, supposons que 1 + 3 + 5 + ... + (2n+1) = (n+1)²
Alors 1 + 3 + 5 + ... + (2n+1) + [2(n+1)+1] = 1 + 3 + 5 + ... + (2n+1) + [2n+3] = (n+1)² + [2n+3] = (n+1)² + 2x(n+1)x1 + 1² = (n+1+1)² = (n+2)²
Donc la propriété est vraie au rang n+1.

Ainsi donc, la propriété est démontrée, mais, en somme, la démonstration n'explique pas pourquoi la propriété "fonctionne" (PS : en fait, dans ce cas précis-là, la démonstration par récurrence donne tout de même un indice très fort : il suffit de la convertir en un simple dessin pour comprendre pourquoi toute somme des n premiers nombres impairs positifs est un carré parfait ).