Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ?

Bonsoir ycombe.
Comme je sais faire une soustraction et que ton age est affiché, je sais que tu as subi les maths modernes en tant qu’élève, mais pas à leur maximum d'intensité au collège et au lycée.

Je crois que tu te fais des idées fausses sur ce qui se passait avant.

Personne n'aurait émis l'idée que les points sont égaux, et d'ailleurs personne n'aurait posé la question.
C'est typiquement une question qui vient de l'approche « logique » issue des maths modernes.
À l'époque on restait dans un flou assez désagréable.

Ceci étant dit, je suis vraiment d'accord avec toi pour un enseignement de la géométrie euclidienne dès le collège.
Et je suis également d'accord pour ne pas citer l'axiome de Pasch. On peut considérer que c'est évident et, à ma connaissance, il n'a jamais été au programme du collège.
Mais ce n'est pas une raison pour dire « égal » à la place de congru ( si tu préfères ce terme à isométrique ou à superposable).
Même le vocabulaire peut faire des progrès.

Et c'est une erreur de croire que  

C'était, pour ceux qui l'ignorent, une idée de l'OCDE pour faire des économies.

peut-être un peu, mais si tu as des sources fiables pour appuyer cette affirmation, merci de les donner.

Il y avait un vrai problème pour l'enseignement de la géométrie : trop d'implicite.

Et dire « Elle utilise son propre vocabulaire » est une très mauvaise solution.
Autant que possible le vocabulaire mathématique doit être univoque.
Sinon je peut écrire 2=3 sous prétexte que c'est presque pareil par rapport à 10⁹⁹

verdurin a écrit:
Et c'est une erreur de croire que  

C'était, pour ceux qui l'ignorent, une idée de l'OCDE pour faire des économies.

peut-être un peu, mais si tu as des sources fiables pour appuyer cette affirmation, merci de les donner.

Il y a des références là-bas: http://micheldelord.info/march.pdf
C'était aussi une des réponses au choc du Spoutnik, je l'avais oublié.

verdurin a écrit:
Personne n'aurait émis l'idée que les points sont égaux, et d'ailleurs personne n'aurait posé la question.
C'est typiquement une question qui vient de l'approche « logique » issue des maths modernes.

Je ne l'ai cité que pour illustrer la notion d'égalité des figures avec deux cas triviaux (points et droites) et faciles à visualiser, pas pour qu'on en fasse quelque chose d'essentiel. Je ne sais pas pourquoi tout le monde semble se focaliser sur l'idée que les points sont égaux. Les point sont égaux en géométrie comme les hommes et les femmes sont égaux en droit.

L'égalité des figures géométriques se trouve déjà dans les traductions d'Euclide: Les choses qui se conviennent mutuellement sont égales entre elles.

ycombe a écrit:Si le mot "égal" vous ennuie, Hilbert emploie "congru". Vous pouvez parler de triangles congrus. À mon avis, si "égal" a été choisi, c'est parce qu'il est plus clair pour les élèves.

Je crois que c'est justement l'élément central sur lequel repose la discussion et, sur ce point, je me rangerai plutôt du côté de Verdurin en considérant qu'une distinction du vocabulaire constitue ici plutôt un "progrès" pédagogique (avec personnellement une petite préférence pour "superposable" qui est sans doute le terme le plus explicite pour un collégien) et, comme Jaybe, il me semble que pouvoir bénéficier du formalisme est tout de même un atout précieux de l'écriture mathématique (il me semblerait étrange à moi aussi de pouvoir dire que "A est égal à B" sans pouvoir écrire A=B).

ycombe a écrit:

verdurin a écrit:
Personne n'aurait émis l'idée que les points sont égaux, et d'ailleurs personne n'aurait posé la question.
C'est typiquement une question qui vient de l'approche « logique » issue des maths modernes.

Je ne l'ai cité que pour illustrer la notion d'égalité des figures avec deux cas triviaux (points et droites) et faciles à visualiser, pas pour qu'on en fasse quelque chose d'essentiel. Je ne sais pas pourquoi tout le monde semble se focaliser sur l'idée que les points sont égaux. Les point sont égaux en géométrie comme les hommes et les femmes sont égaux en droit.

Je crois qu'on se focalise là-dessus parce qu'en géométrie affine, deux points distincts ne sont pas égaux. Comme aurait pu dire Coluche, "tous les points naissent libres et égaux, mais certains sont plus égaux que d'autres".
Plus basiquement, cela pose problème car l'idée que lorsque deux choses sont égales on peut en toute situation substituer l'une à l'autre se retrouve quand même entravée dans certaines écritures courantes : par exemple, le point B serait toujours égal au point C, mais lorsqu'on parle du segment AB on ne peut pas toujours substituer C à B, et cela indépendamment de l'usage ou non du symbole =.

ycombe a écrit:L'égalité des figures géométriques se trouve déjà dans les traductions d'Euclide: Les choses qui se conviennent  mutuellement sont égales entre elles.

En même temps, il faudrait préciser la définition de "se convenir mutuellement" parce qu'on pourrait prendre un ton sentencieux et déclarer que les choses qui sont égales entre elles se conviennent mutuellement sans avoir perdu beaucoup d'information ni avoir clarifié quoi que ce soit.

ycombe a écrit:Vouloir définir la géométrie dans le cadre de la théorie des ensemble est intéressant, mais quel intérêt cela peut-il avoir au collège?

Si on pose la question de cette manière, on pourrait être spontanément tenté de répondre qu'il n'y en a aucun ; mais ce n'est pas sous cet angle je j'aurais abordé le problème.

Premièrement, on peut observer que la théorie des ensembles est devenue incontournable dans l'enseignement des mathématiques dans le supérieur. Deuxièmement, dès le lycée, quelques rudiments de théorie des ensembles permettraient de clarifier certaines notions (je pense en particulier à la définition de ce qu'est une fonction, en ne la restreignant pas à une fonction numérique de la variable réelle puisque dans les sujets de Bac on voit parfois apparaître des fonctions de variable complexe sans que le concept n'ait jamais vraiment été défini ; et il pourrait parfois être intéressant de pouvoir parler d'ensemble image d'un intervalle par une fonction par exemple dans les applications du TVI). Troisièmement, lorsqu'on aborde les probabilités - dès le collège maintenant - on est très vite amené à utiliser le formalisme de la théorie des ensembles.
Partant de ces trois constatations, je trouve qu'il est dommage de se priver d'enseigner les notions élémentaires de la théorie des ensembles (en gros, celles que j'ai listées dans un message antérieur) et la question que je me pose est plutôt : comment articuler au mieux l'enseignement de la géométrie avec cet enseignement ?
On peut bien sûr préférer l'approche "classique" et décider, pour le collège, de laisser la géométrie en dehors de toute considération ensembliste, mais ce serait se priver de son apport pour justement illustrer et mieux comprendre la théorie des ensembles (les notions d'appartenance, d'inclusion, d'intersection apparaissent très naturellement dans un contexte géométrique, de même que les notions d'images et d'antécédents par des transformations auxquelles on pourrait aussi rajouter d'autres applications comme les projections que j'avais étudiées en sixième ou en cinquième). Et puis, dès qu'on aborde la géométrie analytique, le formalisme ensembliste est tout de même assez commode pour décrire et comprendre les objets étudiés (derrière la notion d'équation de droite, il y a tout de même l'idée d'un sous-ensemble du plan caractérisé par une propriété particulière qui ici est algébrique).

Bien sûr, ces arguments perdent leur poids dans le cadre d'un collège du socle commun puisque finalement peu d'élèves seront réellement amenés à une poursuite d'étude avec un contenu mathématiques dépassant l'application du calcul dans un domaine quelconque. Pour tous les autres, il ne sert à rien d'étudier les notions élémentaires de la théorie des ensembles ; mais soyons honnêtes, pour eux, l'intérêt de la géométrie euclidienne reste finalement assez limité et se réduit tout au plus aux problèmes élémentaires de calculs de longueurs, d'aires, de volumes ou d'angles (comme l'a rappelé AndréC, à l'époque de la géométrie "classique" au collège, celui-ci était encore très sélectif).

Moonchild a écrit:
[...] les notions d'images et d'antécédents par des transformations auxquelles on pourrait aussi rajouter d'autres applications comme les projections que j'avais étudiées en sixième ou en cinquième).

Entièrement d'accord, les projections sont très utilisées dans le monde d'aujourd'hui, ne serait-ce qu'au travers des écrans 2D sur lesquels on projète des images 3D.

PauvreYorick a écrit:(Certes, Verdurin. Ma question se borne vraiment à un point de détail tout bête, je vais la reposer dans la mesure où j'ai le sentiment qu'on y cherche un implicite qui n'y est pas. Est-ce que l'on a des chances de rencontrer la suite de mots " ..., dans la mesure où ces deux expressions sont égales, ..." dans, par exemple, une démonstration? Autrement dit, est-ce que chez vous, mathématiciens [par opposition à: philosophes, logiciens, etc.], "égal" est un adjectif qui s'applique couramment à des expressions? Je ne demande pas quel sens il aurait alors, je m'en doute un peu , mais je demande si cette convention a effectivement cours.)

Lorsqu'on ne sous-entend pas une égalité entre polynômes formels ou fractions rationnelles ou... on dit cela lorsqu'on a une identité, c'est-à-dire lorsqu'on a une égalité dans une proposition universelle, mais bon.

Moonchild a écrit:

ycombe a écrit:Si le mot "égal" vous ennuie, Hilbert emploie "congru". Vous pouvez parler de triangles congrus. À mon avis, si "égal" a été choisi, c'est parce qu'il est plus clair pour les élèves.

Je crois que c'est justement l'élément central sur lequel repose la discussion et, sur ce point, je me rangerai plutôt du côté de Verdurin en considérant qu'une distinction du vocabulaire constitue ici plutôt un "progrès" pédagogique.

Je ne suis pas d'accord, et même pas du tout. Les mots peuvent avoir plusieurs sens, et tenter de supprimer cette "difficulté" ne risque pas d'aider les élèves à s'approprier les subtilités de la langue.

Des mots qui ont plusieurs sens en science, il y en a beaucoup. Tenter de les remplacer crée des difficultés, parce qu'à un moment ou à un autre, les élèves vont rencontrer les sens usuels et il n'y seront pas habitués.

On a l'expérience en mathématiques de ce genre de remplacement. Qu'avons-nous gagné à virer la valeur absolue pour la remplacer par une distance à zéro? Les applications linéaires sont devenues fonctions linéaires, les polynômes sont devenus expressions littérales. Et les élèves sont de plus en plus dans le brouillard. Ce qui se cache derrière, ce n'est pas un changement de vocabulaire, c'est un allègement des concepts enseignés. Si le vocabulaire est important pour moi, c'est parce que les concepts le sont.

Le mot "hypothèse" a en mathématiques, vu depuis le collège, le sens opposé de celui du langage courant. Il faut le faire disparaître aussi? Soyons sérieux deux minutes. Le vocabulaire n'est pas une difficulté: c'est un moyen. En sciences, on définit ce dont on parle et on explique les termes. Enrichir le vocabulaire de nos élèves de mots nouveaux et d'acceptions nouvelles pour des mots connus fait partie de l'enseignement. Expliquer que le mot égalité a un sens précis en géométrie n'est plus difficile qu'expliquer que le mot "hypothèse" désigne ce que l'on sait d'une situation au départ d'un raisonnement, ni que le mot contre-exemple désigne un exemple qui prouve que quelque chose est faux.

Le progrès pédagogique ne consiste pas à supprimer les difficultés. Il consiste à y confronter les élèves.

PauvreYorick a écrit:(Certes, Verdurin. Ma question se borne vraiment à un point de détail tout bête, je vais la reposer dans la mesure où j'ai le sentiment qu'on y cherche un implicite qui n'y est pas. Est-ce que l'on a des chances de rencontrer la suite de mots " ..., dans la mesure où ces deux expressions sont égales, ..." dans, par exemple, une démonstration? Autrement dit, est-ce que chez vous, mathématiciens [par opposition à: philosophes, logiciens, etc.], "égal" est un adjectif qui s'applique couramment à des expressions? Je ne demande pas quel sens il aurait alors, je m'en doute un peu , mais je demande si cette convention a effectivement cours.)

Vu un peu plus loin, une expression littérale n'est qu'un cas particulier de fonction que l'on n'aurait pas encore nommée. Parler d'égalité d'expressions littérales, pour un matheux, ce n'est pas plus étrange que de parler d'égalité de fonctions.

Deux fonctions f et g sont égales lorsque pour tout x,   f(x) = g(x). L'égalité des nombres f(x) et g(x) permet de définir l'égalité des fonctions, et on n'a aucun problème pour parler de l'égalité de deux fonctions. On va même faire des calculs avec les fonctions, additionner, multiplier les fonctions entre elles. On va même inventer des opérations qui n'existent pas sur les nombres avec les fonctions (produit de convolution par exemple). En faisant ça, on considère les fonctions comme des objets sur lesquels on peut faire des calculs comme on fait des calculs sur des nombres. Parler d'égalité d'expressions littérales n'est pas autre chose qu'un petit pas dans cette direction.

Tu connais le calcul des propositions. A quoi rime le mot calcul dans ce contexte? On a cherché (et trouvé) des règles qui permettent de manipuler les propositions logiques comme on pourrait manipuler des nombres. L'idée est un peu la même, et le résultat étant que l'étude de la logique est passée du pré carré des philosophes à celui des mathématiciens.

ycombe a écrit:

PauvreYorick a écrit:(Certes, Verdurin. Ma question se borne vraiment à un point de détail tout bête, je vais la reposer dans la mesure où j'ai le sentiment qu'on y cherche un implicite qui n'y est pas. Est-ce que l'on a des chances de rencontrer la suite de mots " ..., dans la mesure où ces deux expressions sont égales, ..." dans, par exemple, une démonstration? Autrement dit, est-ce que chez vous, mathématiciens [par opposition à: philosophes, logiciens, etc.], "égal" est un adjectif qui s'applique couramment à des expressions? Je ne demande pas quel sens il aurait alors, je m'en doute un peu , mais je demande si cette convention a effectivement cours.)

Vu un peu plus loin, une expression littérale n'est qu'un cas particulier de fonction que l'on n'aurait pas encore nommé. Parler d'égalité d'expressions littérales, pour un matheux, ce n'est pas plus étrange que de parler d'égalité de fonctions.

OK, c'est bien la question que je posais, et à laquelle Anaxagore vient aussi de répondre. Merci à tous deux.

ycombe a écrit: Tu connais le calcul des propositions. A quoi rime le mot calcul dans ce contexte? On a cherché (et trouvé) des règles qui permettent de manipuler les propositions logiques comme on pourrait manipuler des nombres. L'idée est un peu la même, et le résultat étant que l'étude de la logique est passée du pré carré des philosophes à celui des mathématiciens.

Oui, c'est précisément dans la mesure où je connais et où j'enseigne ce calcul que je posais la question purement factuelle ci-dessus (à titre de purs faits, il faut sans doute corriger un peu la dernière phrase pour dire qu'en réalité les logiciens se sont largement constitués en catégorie indépendante à la fois des philosophes et des mathématiciens: en France, du moins, c'est assez flagrant; dans d'autres pays on tend à enseigner un peu plus systématiquement que chez nous la logique dans les cursus de mathématiques, et dans d'autres encore c'est surtout dans les cursus de philosophie qu'elle est expressément enseignée --- il faut dire que ce sont des pays où l'enseignement de la philosophie est assez différent de ce qu'il est souvent en France, mais nous vivons une époque de transition où il est difficile de proposer des descriptions générales à la fois brèves et justes).

Merci, je referme ma petite question du coup, qui avait valeur, largement, de pure parenthèse dans ce fil.

ycombe a écrit:

Moonchild a écrit:

ycombe a écrit:Si le mot "égal" vous ennuie, Hilbert emploie "congru". Vous pouvez parler de triangles congrus. À mon avis, si "égal" a été choisi, c'est parce qu'il est plus clair pour les élèves.

Je crois que c'est justement l'élément central sur lequel repose la discussion et, sur ce point, je me rangerai plutôt du côté de Verdurin en considérant qu'une distinction du vocabulaire constitue ici plutôt un "progrès" pédagogique.

Je ne suis pas d'accord, et même pas du tout. Les mots peuvent avoir plusieurs sens, et tenter de supprimer cette "difficulté" ne risque pas d'aider les élèves à s'approprier les subtilités de la langue.

Des mots qui ont plusieurs sens en science, il y en a beaucoup. Tenter de les remplacer crée des difficultés, parce qu'à un moment ou à un autre, les élèves vont rencontrer les sens usuels et il n'y seront pas habitués.

On a l'expérience en mathématiques de ce genre de remplacement. Qu'avons-nous gagné à virer la valeur absolue pour la remplacer par une distance à zéro? Les applications linéaires sont devenues fonctions linéaires, les polynômes sont devenus expressions littérales. Et les élèves sont de plus en plus dans le brouillard. Ce qui se cache derrière, ce n'est pas un changement de vocabulaire, c'est un allègement des concepts enseignés. Si le vocabulaire est important pour moi, c'est parce que les concepts le sont.

Le mot "hypothèse" a en mathématiques, vu depuis le collège, le sens opposé de celui du langage courant. Il faut le faire disparaître aussi? Soyons sérieux deux minutes. Le vocabulaire n'est pas une difficulté: c'est un moyen. En sciences, on définit ce dont on parle et on explique les termes. Enrichir le vocabulaire de nos élèves de mots nouveaux et d'acceptions nouvelles pour des mots connus fait partie de l'enseignement. Expliquer que le mot égalité a un sens précis en géométrie n'est plus difficile qu'expliquer que le mot "hypothèse" désigne ce que l'on sait d'une situation au départ d'un raisonnement, ni que le mot contre-exemple désigne un exemple qui prouve que quelque chose est faux.

Le progrès pédagogique ne consiste pas à supprimer les difficultés. Il consiste à y confronter les élèves.

Je suis assez d'accord avec le propos général et avec les exemples que tu donnes... à l'exception justement de celui qui est l'objet de ce fil.

Tout d'abord, je dirais que dans le cas présent l'objectif est moins d'aider les élèves à s'approprier les subtilités de la langue en conservant le même terme dans deux situations mathématiques distinctes que de les aider à s'approprier les subtilités des concepts mathématiques en utilisant pour cela une variante de vocabulaire afin de distinguer les deux notions. Pour ce qui est des subtilités de la langue, il y a plein d'autres occasions de les aborder et on n'est pas forcément obligés de systématiquement les cumuler avec d'autres subtilités dès que l'occasion s'en présente. Sinon, à chaque fois qu'on est en présence d'une relation d'équivalence autant l'appeler "égalité", charge à l'élève ou à l'étudiant de comprendre, selon le contexte, de quelle "égalité" il s'agit.

Ensuite, tu disais toi-même en première page que "au niveau logique, deux objets sont égaux si on peut substituer l'un à l'autre partout" donc si on considère que tous les points sont égaux (ce qui est une trivialité selon la définition des figures égales en géométrie), alors dans la phrase "le segment délimité par les points A et B a pour longueur 3 cm" on devrait pouvoir remplacer les points A et B par n'importe quels autres points sans changer la valeur de vérité de cette affirmation ; et comme il existe certainement un segment de longueur 3 cm alors tous les segments auraient pour longueur 3 cm et là c'est le drame, non seulement pour les mathématiciens, mais aussi pour les ébénistes, les architectes, les astronomes... le bon côté des choses c'est que ça permettrait de me mettre à égalité avec les champions olympiques de course.
Bref, cette convention d'égalité des figures, si on la pousse dans ses retranchements, oblige donc à remettre en cause la conception logique de l'égalité en restreignant l'idée de "partout".

On peut bien sûr contourner le problème en confinant l'égalité des figures uniquement à celles qui nous intéressent, comme les triangles ; mais on doit forcément en passer par l'égalité des segments superposables. A vrai dire, adopter ce point de vue au collège ne pose aucun problème de cohérence tant qu'on reste dans le cadre de la géométrie euclidienne ; mais il arrivera bien un moment - quelque part entre le lycée et le supérieur - où des élèves (peut-être pas tous, à cause de l'orientation) seront confrontés à une approche ensembliste de la géométrie dans laquelle des segments qui étaient jusqu'alors égaux pour eux ne le seront plus. Je veux bien que les mots puissent avoir plusieurs sens dans des contextes différents, mais dans ce cas cela signifie que la géométrie euclidienne et la géométrie affine n'auraient finalement rien à voir l'une avec l'autre et qu'il faudrait à cette étape dire aux élèves concernés : "oubliez ce que vous avez appris, maintenant la géométrie n'est plus du tout ce que vous aviez cru". Heureusement, si on ne leur en parle pas pendant quelques années, la plupart d'entre eux aura déjà spontanément oublié cette histoire de segments égaux vue au collège et l'incohérence entre les deux géométries ne perturbera que les meilleurs et les plus sérieux.
La réforme des mathématiques modernes a commis l'erreur de vouloir faire table rase du passé mais, bien que je sois connu pour être un indécrottable réactionnaire, il ne me semble pas moins litigieux de vouloir aujourd'hui faire comme si la formalisation mathématique opérée à la fin du siècle dernier n'avait jamais eu lieu. Dans le but d'assurer un minimum de cohérence entre les différentes branches des mathématiques, il n'est peut-être quand même pas totalement inenvisageable d'ajuster quelques termes de vocabulaire de la géométrie "classique"... à moins de la vénérer comme une sorte de vache sacrée.

ycombe a écrit:Le mot "hypothèse" a en mathématiques, vu depuis le collège, le sens opposé de celui du langage courant. Il faut le faire disparaître aussi? Soyons sérieux deux minutes.

On ne peut pas éviter les conflits entre l'interprétation de mots dans le langage courant et le cadre mathématique, mais ce n'est pas la même chose que d'autoriser qu'il y ait un conflit interne aux mathématiques, ce qui est le cas ici. D'ailleurs certains prennent encore moins de gants : on peut trouver dans le rapport Kahane (edit : en fait celui consacré à la géométrie) en page 15 une "interdiction" de l'utilisation du mot égalité.

(Zut, compulsivement je vais encore poser une question. Pourquoi dire que le sens du mot hypothèse en mathématiques diffère du sens courant?)

PauvreYorick a écrit:(Zut, compulsivement je vais encore poser une question. Pourquoi dire que le sens du mot hypothèse en mathématiques diffère du sens courant?)

On apprend aux élèves (j'ai envie de dire qu'on apprenait aux élèves, vu les nouveaux programmes), que dans une démonstration, ce que l'on sait sur une figure avant de commencer à raisonner, autrement dit ce qui est dans l'énoncé, s'appelle les hypothèses (l'hypothèse, dans un majestueux singulier qui appelle presque une majuscule, chez Hadamard).

Alors qu'en français, faire une hypothèse, c'est supposer quelque chose sans être sûr que c'est vrai.

En math, hypothèse: ce qui est connu comme vrai sur une situation.
Dans le reste du monde, hypothèse: ce qui est supposé vrai à un moment donné, sans certitude.

Ces deux sens sont mis en avant dans le TLFI:
http://www.cnrtl.fr/lexicographie/hypoth%C3%A8se

1. PHILOS. et domaine des sciences
a) Proposition reçue, indépendamment de sa valeur de vérité, et à partir de laquelle on déduit un ensemble donné de propositions
b) Proposition (ou ensemble de propositions) avancée, provisoirement, comme explication de faits, de phénomènes naturels et qui doit être, ultérieurement, contrôlée par la déduction ou par l'expérience.
2. MATH. Proposition fournie comme donnée d'un problème, ou qui, sans avoir besoin d'être démontrée, sert de base à la démonstration d'un théorème par voie logique.

Il faut pas mal d'année de mathématiques pour se rendre compte qu'en fait, c'est la même chose.

jaybe a écrit:

ycombe a écrit:Le mot "hypothèse" a en mathématiques, vu depuis le collège, le sens opposé de celui du langage courant. Il faut le faire disparaître aussi? Soyons sérieux deux minutes.

On ne peut pas éviter les conflits entre l'interprétation de mots dans le langage courant et le cadre mathématique, mais ce n'est pas la même chose que d'autoriser qu'il y ait un conflit interne aux mathématiques, ce qui est le cas ici. D'ailleurs certains prennent encore moins de gants : on peut trouver dans le rapport Kahane (edit : en fait celui consacré à la géométrie) en page 15 une "interdiction" de l'utilisation du mot égalité.

Je cite Kahane:

Bien entendu, le mot égalité est à proscrire. On peut dire, par exemple, cas d’isométrie, ou de congruence.

Et c'est tout. un argument d'autorité ("Bien entendu") balancé en une ligne et demi dans une note de bas de page. On ne saura pas pourquoi. Pas d'arguments. Rien. C'est comme ça, vous dis-je! Il n'y a pas à discuter. j'ai l'impression que Kahane ne veut pas perdre de temps à défendre le vocabulaire. Peut-être se dit-il que c'est sans intérêt et concède-t-il le mot pour obtenir le reste ?

Je suis d'accord, cette attitude est expéditive et péremptoire... tout autant que celle qui consiste à nier les difficultés soulevées ici à plusieurs endroits

ycombe a écrit:

PauvreYorick a écrit:(Zut, compulsivement je vais encore poser une question. Pourquoi dire que le sens du mot hypothèse en mathématiques diffère du sens courant?)

On apprend aux élèves (j'ai envie de dire qu'on apprenait aux élèves, vu les nouveaux programmes), que dans une démonstration, ce que l'on sait sur une figure avant de commencer à raisonner, autrement dit ce qui est dans l'énoncé, s'appelle les hypothèses (l'hypothèse, dans un majestueux singulier qui appelle presque une majuscule, chez Hadamard).

Alors qu'en français, faire une hypothèse, c'est supposer quelque chose sans être sûr que c'est vrai.

En math, hypothèse: ce qui est connu comme vrai sur une situation.
Dans le reste du monde, hypothèse: ce qui est supposé vrai à un moment donné, sans certitude.

Ces deux sens sont mis en avant dans le TLFI:
http://www.cnrtl.fr/lexicographie/hypoth%C3%A8se

1. PHILOS. et domaine des sciences
a) Proposition reçue, indépendamment de sa valeur de vérité, et à partir de laquelle on déduit un ensemble donné de propositions
b) Proposition (ou ensemble de propositions) avancée, provisoirement, comme explication de faits, de phénomènes naturels et qui doit être, ultérieurement, contrôlée par la déduction ou par l'expérience.
2. MATH. Proposition fournie comme donnée d'un problème, ou qui, sans avoir besoin d'être démontrée, sert de base à la démonstration d'un théorème par voie logique.

Il faut pas mal d'année de mathématiques pour se rendre compte qu'en fait, c'est la même chose.

L'hypothèse est le point de départ du raisonnement.

Diantre !
Moi qui ai toujours cru que c'était le côté opposé à l'angle droit

Moonchild a écrit:
Plus basiquement, cela pose problème car l'idée que lorsque deux choses sont égales on peut en toute situation substituer l'une à l'autre se retrouve quand même entravée dans certaines écritures courantes : par exemple, le point B serait toujours égal au point C, mais lorsqu'on parle du segment AB on ne peut pas toujours substituer C à B, et cela indépendamment de l'usage ou non du symbole =.

Cela donnerait :

Comme tous les points sont égaux, A = B. Donc [AB] = [AA].

Non ?

ben2510 a écrit:Diantre !
Moi qui ai toujours cru que c'était le côté opposé à l'angle droit

Nan, ça c'est l'hypothalamus.

PauvreYorick a écrit:(Zut, compulsivement je vais encore poser une question. Pourquoi dire que le sens du mot hypothèse en mathématiques diffère du sens courant?)

ycombe a écrit: Il faut pas mal d'années de mathématiques pour se rendre compte qu'en fait, c'est la même chose.

Anaxagore a écrit: L'hypothèse est le point de départ du raisonnement.

OK, c'est bien ce qu'il me semblait : effectivement il y a des usages plus ou moins propres du terme "hypothèse" qui peuvent parasiter l'usage qui en est fait en mathématiques, mais c'est plus une question de manque d'approfondissement (de tous les côtés d'ailleurs) qu'une véritable polysémie. En fait, tout ce que ça veut dire, c'est qu'en mathématiques on continue à appeler hypothèse(s) quelque chose dont par ailleurs on ne souligne pas, au niveau élémentaire du moins, le caractère justement hypothétique, non? (Et également, que l'usage courant du terme est un peu plus spécifique que l'usage technique, ce qui vaut d'être remarqué, parce que ce n'est pas si fréquent, mais bon, en mathématiques et en logique on a l'habitude, ai-je envie de dire, du réflexe qui consiste à comprendre davantage que ce qui est précisément dit et donc à comprendre trop.)

Merci

jaybe a écrit:Je comprends mieux ce point de vue à la lecture de cet article de Bkouche : ici.

Merci, c'est passionnant et me convainc de faire comme le dit ycombe.

jaybe a écrit:
Pour autant, je ne suis pas d'accord avec le fait de ramener le "conflit" à une simple lecture "ensembliste" des objets géométriques ; un élève perçoit sur sa règle que ce qui se trouve entre les graduations 0 et 1 définit un espacement situé à un autre endroit que celui entre les graduations 2 et 3,

Ben non justement, lorsque les professeurs des écoles ont respecté les programmes de cycle 2 et 3, ils ont travaillé les longueurs par superposition, je cite :

Le travail mené doit en priorité s’appuyer sur la manipulation d’objets réels pour « percevoir »
les différentes grandeurs étudiées :
• de simples baguettes, ficelles ou encore bandelettes de papier permettent de donner du
sens à la notion de longueur ;

http://eduscol.education.fr/cid101461/ressources-maths-cycle-3.html

Je ne comprends pas ton "non justement" : on est bien d'accord sur le fait que la manipulation permet de travailler la notion de longueur et qu'il n'y a aucun problème à parler d'égalité de longueurs.

jaybe a écrit:Je ne comprends pas ton "non justement" : on est bien d'accord sur le fait que la manipulation permet de travailler la notion de longueur et qu'il n'y a aucun problème à parler d'égalité de longueurs.

Pour un élève de cycle 3 (ou 4 d'ailleurs), lui dire que la matière plastique entre les graduations 0 et 1 n'est pas la même que celle entre les graduations 1 et 2 n'est en rien trivial.
Il dira que si c'est du plastique. et si vous lui dites le morceau de plastique qui est là n'est pas là-bas, il va vous répondre que c'est encore du plastique.

On peut ajouter une marque, par exemple un petit trait quelque part entre le 0 et le 1. Normalement la même marque n'apparaît pas spontanément ailleurs simultanément

PauvreYorick a écrit:

PauvreYorick a écrit:(Zut, compulsivement je vais encore poser une question. Pourquoi dire que le sens du mot hypothèse en mathématiques diffère du sens courant?)

ycombe a écrit:  Il faut pas mal d'années de mathématiques pour se rendre compte qu'en fait, c'est la même chose.

Anaxagore a écrit: L'hypothèse est le point de départ du raisonnement.

OK, c'est bien ce qu'il me semblait : effectivement il y a des usages plus ou moins propres du terme "hypothèse" qui peuvent parasiter l'usage qui en est fait en mathématiques, mais c'est plus une question de manque d'approfondissement (de tous les côtés d'ailleurs) qu'une véritable polysémie. En fait, tout ce que ça veut dire, c'est qu'en mathématiques on continue à appeler hypothèse(s) quelque chose dont par ailleurs on ne souligne pas, au niveau élémentaire du moins, le caractère justement hypothétique, non? (Et également, que l'usage courant du terme est un peu plus spécifique que l'usage technique, ce qui vaut d'être remarqué, parce que ce n'est pas si fréquent, mais bon, en mathématiques et en logique on a l'habitude, ai-je envie de dire, du réflexe qui consiste à comprendre davantage que ce qui est précisément dit et donc à comprendre trop.)

Merci

On va même jusqu'à expliquer que ce n'est pas hypothétique, justement, mais on ne le dit pas comme ça.

jaybe a écrit:On peut ajouter une marque, par exemple un petit trait quelque part entre le 0 et le 1. Normalement la même marque n'apparaît pas spontanément ailleurs simultanément

Alors, l'élève va faire un grand sourire et vous dire « Si » en déplaçant sa règle pour que la marque qui était à un endroit précis sur son cahier soit désormais pile poil à l'endroit de l'autre.