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ben2510
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par ben2510 le Jeu 20 Déc 2018 - 0:28
@Balthazaard a écrit:
@ben2510 a écrit:Pourtant, ce qui n'est pas un minimum théorisé sera vite oublié, car peu compris.

mouais...c'est comme ça qu'on en vient à calculer delta pour factoriser x²-1  (avec un taux de réussite d'environ 50%)   ou pire -b/(2a) pour étudier les variations de f(x)=ax+b

Non.
Ce que tu décris est un manque de réflexion, ce n'est pas ce dont je parle.
Balthazaard
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par Balthazaard le Jeu 20 Déc 2018 - 0:43
Je ne comprends pas bien...peut-être l'heure.
Je sais, je ne sais pas comment et j'ignore depuis quand mais je sais..que dans un quotient de nombres positifs quand le diviseur augmente, le résultat diminue....est-ce d'avoir fait plein de divisions à l'école primaire? d'avoir fait joujou avec les premières calculatrices en 73? d'avoir joué à la dinette ou on partageait des gâteaux imaginaires quand je ne savais même pas ce qu'étaient les maths?..je ne me souviens pas, par contre je suis sur que ce n'est pas suite à une "démonstration" ou une "preuve" que l'on aurait exposée devant moi. Et si on l'a fait, cela n'a rien ajouté ni enlevé à ma conviction.
Du coup quand le diviseur est le plus grand possible, le résultat est le plus petit possible pour moi...
Je suis sur que 100% des élèves le savent en plus, mais que pour eux le bon sens n'existe plus en math, justement parce qu'il faut théoriser à tout crin.
On se plaint (moi aussi) que les élèves ne savent plus rien, mais si je devais choisir entre plus de rigueur et de connaissances ou plus de bon sens, je choisirai plus de bon sens en premier lieu (qu'on aille pas me dire que c'est nécessairement lié...ce n'est pas si sur)
neo-fit
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par neo-fit le Jeu 20 Déc 2018 - 16:28
Justement à propos de bon sens/théoriser à tout crin : les programmes indiquent qu’il faut faire une démonstration pour le sens de variation des fonctions carré, racine carrée, cube.
Or pour les valeurs positives de la variable, c’est du bon sens géométrique.
Dès lors, est-il vraiment judicieux, d’en passer par une démonstration algébrique surtout en 2°, où il s’agirait de redorer le blason de la démonstration ?
Même si bien sûr, c’est une bonne occasion de découvrir et mobiliser des méthodes importantes, n’est-ce pas un peu artificiel de le faire pour ces fonctions là ?
TFS
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par TFS le Jeu 20 Déc 2018 - 16:35
A mon sens, ce chapitre est en fait essentiel à plus d'un égard.
Tout d'abord, c'est l'occasion de justement rentrer dans un certain formalisme et de réaliser des démonstrations algébriques accessibles.
Par ailleurs, c'est vraiment le moment de faire comprendre ce que l'on entends vraiment par variations en effectuant une dissociation de l'observation des courbes.
Il est essentiel à la compréhension des formules de calcul des fonctions dérivées.
Enfin, cela permet d'instiller le sens de la composition de fonctions, que l'on retrouvera en Terminale avec les fonctions exp, ln et trigo.
Bref, on y plante des graines qu'il est nécessaire de faire germer ensuite...

neo-fit
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par neo-fit le Jeu 20 Déc 2018 - 17:06
@TFS a écrit:A mon sens, ce chapitre est en fait essentiel à plus d'un égard.
Tout d'abord, c'est l'occasion de justement rentrer dans un certain formalisme et de réaliser des démonstrations algébriques accessibles.
Par ailleurs, c'est vraiment le moment de faire comprendre ce que l'on entends vraiment par variations en effectuant une dissociation de l'observation des courbes.
Il est essentiel à la compréhension des formules de calcul des fonctions dérivées.
Enfin, cela permet d'instiller le sens de la composition de fonctions, que l'on retrouvera en Terminale avec les fonctions exp, ln et trigo.
Bref, on y plante des graines qu'il est nécessaire de faire germer ensuite...

Je le vois ainsi aussi, mais malheureusement sans pouvoir y consacrer assez de temps (par la pression d’autres gros chapitres), ça manque d’efficacité.
cassiopella
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par cassiopella le Jeu 20 Déc 2018 - 18:04
@Balthazaard a écrit:Les "tableaux" de variations (spécialité française parait-il)
Non, c'est pas une spécialité française. J'ai eu les mêmes à l'école en Russie. Par contre nous n'avions pas les tableaux pour résoudre les inéquations. Et à vrai dire je ne vois pas comment le tableau peut aider quand tu as à résoudre des choses comme (lg(x))^(1/2) < 1/2. Pour les inéquations avec des produits ou fractions algébriques on utilisaient la méthode des intervalles qui ressemble un peu au tableau des intervalles, mais plus rapide:
Spoiler:
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Moi et l'orthographe, nous ne sommes pas amis. Je corrige les erreurs dès que je les vois. Je m'excuse pour celles que je ne vois pas...
Mathador
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par Mathador le Jeu 20 Déc 2018 - 18:13
@cassiopella a écrit:Et à vrai dire je ne vois pas comment le tableau peut aider quand tu as à résoudre des choses comme (lg(x))^(1/2) < 1/2.

On réécrit en (lg(x))^(1/2) - 1/2 < 0
puis (lg(x)^(1/2)+1/2)/(lg(x)-1/4) < 0.
On s'est donc ramené à un signe de quotient que l'on peut déterminer à l'aide d'un tableau.

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par Anaxagore le Jeu 20 Déc 2018 - 18:19
@Balthazaard a écrit:Je ne comprends pas bien...peut-être l'heure.
Je sais, je ne sais pas comment et j'ignore depuis quand mais je sais..que dans un quotient de nombres positifs quand le diviseur augmente, le résultat diminue....est-ce d'avoir fait plein de divisions à l'école primaire? d'avoir fait joujou avec les premières calculatrices en 73? d'avoir joué à la dinette ou on partageait des gâteaux imaginaires quand je ne savais même pas ce qu'étaient les maths?..je ne me souviens pas, par contre je suis sur que ce n'est pas suite à une "démonstration" ou une "preuve" que l'on aurait exposée devant moi. Et si on l'a fait, cela n'a rien ajouté ni enlevé à ma conviction.
Du coup quand le diviseur est le plus grand possible, le résultat est le plus petit possible pour moi...
Je suis sur que 100% des élèves le savent en plus, mais que pour eux le bon sens n'existe plus en math, justement parce qu'il faut théoriser à tout crin.
On se plaint (moi aussi) que les élèves ne savent plus rien, mais si je devais choisir entre plus de rigueur et de connaissances ou plus de bon sens, je choisirai plus de bon sens en premier lieu (qu'on aille pas me dire que c'est nécessairement lié...ce n'est pas si sur)

@neo-fit a écrit:Justement à propos de bon sens/théoriser à tout crin : les programmes indiquent qu’il faut faire une démonstration pour le sens de variation des fonctions carré, racine  carrée, cube.
Or pour les valeurs positives de la variable, c’est du bon sens géométrique.
Dès lors, est-il vraiment judicieux, d’en passer par une démonstration algébrique surtout  en 2°, où il s’agirait de redorer le blason de la démonstration ?
Même si bien sûr, c’est une bonne occasion de découvrir et mobiliser des méthodes importantes, n’est-ce pas un peu artificiel de le faire pour ces fonctions là ?

C'est la sempiternelle question de l'intuition et du formalisme.

Comment cultive-t-on et comment développons-nous des intuitions à propos des concepts mathématiques?

Lorsqu'au GRIP, on a voulu faire re-découvrir la méthode intuitive au primaire, c'était justement pour retrouver cet enracinement intuitif des concepts mathématiques primitifs afin d'asseoir le processus d'abstraction sur des bases solides. À partir du collège, il est l'heure ensuite de commencer à envisager les mathématiques progressivement comme un édifice logique plus pur.

À tous les niveaux, l'intuition joue un rôle important, mais ce n'est plus une intuition primitive, c'est une intuition cultivée des concepts. Faire des mathématiques n'est pas réductible à des procédures à enchaîner et l'élaboration des raisonnements est liée à des intuitions, même si parfois ces intuitions sont en elles-mêmes appliquées à des objets assez abstraits.

On démontre pour établir la preuve formelle et on demontre aussi pour comprendre. À ce titre il y a des démonstrations plus éclairantes que d'autres.

Il n'est pas rare que je complète une preuve formelle par des idées sous-jacentes éclairantes ou que je m'éloigne carrément du formalisme le temps de quelques commentaires pour cultiver l'intuition que l'on doit avoir d'un résultat. Parfois c'est aussi par le biais d'une analogie.

Dans tout cela il n'y a rien de superflu.


Dernière édition par Anaxagore le Jeu 20 Déc 2018 - 18:27, édité 1 fois

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"De même que notre esprit devient plus fort grâce à la communication avec les esprits vigoureux et raisonnables, de même on ne peut pas dire combien il s'abâtardit par le commerce continuel et la fréquentation que nous avons des esprits bas et maladifs." Montaigne

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par Anaxagore le Jeu 20 Déc 2018 - 18:26
À propos des fonctions associées, je trouve que c'est un chapitre très important pour travailler justement le type d'intuition qu'il faut posséder lorsqu'on majore/minore/découpe, lorsqu'on fait de l'analyse pour de vrai, en cherchant, sans rester corseté à faire des enchainements scolaires d'inégalités pas à pas.

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par Prezbo le Jeu 20 Déc 2018 - 18:51
@TFS a écrit:A mon sens, ce chapitre est en fait essentiel à plus d'un égard.
Tout d'abord, c'est l'occasion de justement rentrer dans un certain formalisme et de réaliser des démonstrations algébriques accessibles.
Par ailleurs, c'est vraiment le moment de faire comprendre ce que l'on entends vraiment par variations en effectuant une dissociation de l'observation des courbes.
Il est essentiel à la compréhension des formules de calcul des fonctions dérivées.
Enfin, cela permet d'instiller le sens de la composition de fonctions, que l'on retrouvera en Terminale avec les fonctions exp, ln et trigo.
Bref, on y plante des graines qu'il est nécessaire de faire germer ensuite...


Le problème est que ce formalisme est, concrètement, actuellement disjoint du reste.

Définir les opérations sur les fonctions (la somme de deux fonctions, l'inverse d'une fonction...), cela aurait du sens si on avait donné une définition suffisament générale d'une fonction, et une idée de la notion d'opération interne à un ensemble. Dans le lycée actuel, on ne travaille qu'avec des fonctions définies sur des intervalles de R, la définition même d'une fonction est bien souvent nébuleuse dans les manuels de seconde, et l'étude des structures algébrique est remise à...on ne sait pas trop quand, puisqu'elle est même maltraitée en maths sup.

Quand aux démonstrations algébriques accessibles, les élèves n'y seront jamais confronté au bac depuis la disparition des ROC. Sauf si de temps en temps un concepteur de sujet s'énerve, mais dans ce cas d'opportunes consignes de correction permettront d'éviter d'avouer qu'ils n'y comprennent rien.

Il y a un moment où il aurait fallu choisir : soit on commence à se placer dans un cadre formel et axiomatique bien défini (c'était grosso-modo l'approche des maths modernes, et on ne peut pas dire que l'application ait laissé le souvenir d'un succès) soit on commence par développer un peu de pratique et d'intuition des objets mathématiques avant d'attendre le moment opportun pour formaliser  les notions que l'on emploie (l'entrée dans l'enseignement supérieure, pour les élèves suivant des études en sciences fondamentales, serait une bonne occasion). Tu auras compris que la seconde approche me semble plus réaliste.

Faute d'avoir choisi, les affaiblissements et supressions successifs des programmes font que le formalisme n'apparaît plus qu'à l'état de trace archéologique, comme les restes des murs et des fondations d'un château en ruine.

On fait planter des graines, mais on ne les arrose plus et on n'entretient plus la plante.

Dans ce contexte, définir des notions formelles ou faire des démonstrations algébriques revient généralement à faire une séance de stand-up devant un public qui ne comprend rien et dont la réaction va de l'incompréhension polie à la franche révolte. A moins que l'on enseigne pas au même endroit, où que tu parviennes à maintenir un niveau d'exigence que personnellement je n'arrive plus à maintenir seul.
neo-fit
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par neo-fit le Jeu 20 Déc 2018 - 20:40
@Anaxagore a écrit:
@Balthazaard a écrit:Je ne comprends pas bien...peut-être l'heure.
Je sais, je ne sais pas comment et j'ignore depuis quand mais je sais..que dans un quotient de nombres positifs quand le diviseur augmente, le résultat diminue....est-ce d'avoir fait plein de divisions à l'école primaire? d'avoir fait joujou avec les premières calculatrices en 73? d'avoir joué à la dinette ou on partageait des gâteaux imaginaires quand je ne savais même pas ce qu'étaient les maths?..je ne me souviens pas, par contre je suis sur que ce n'est pas suite à une "démonstration" ou une "preuve" que l'on aurait exposée devant moi. Et si on l'a fait, cela n'a rien ajouté ni enlevé à ma conviction.
Du coup quand le diviseur est le plus grand possible, le résultat est le plus petit possible pour moi...
Je suis sur que 100% des élèves le savent en plus, mais que pour eux le bon sens n'existe plus en math, justement parce qu'il faut théoriser à tout crin.
On se plaint (moi aussi) que les élèves ne savent plus rien, mais si je devais choisir entre plus de rigueur et de connaissances ou plus de bon sens, je choisirai plus de bon sens en premier lieu (qu'on aille pas me dire que c'est nécessairement lié...ce n'est pas si sur)

@neo-fit a écrit:Justement à propos de bon sens/théoriser à tout crin : les programmes indiquent qu’il faut faire une démonstration pour le sens de variation des fonctions carré, racine  carrée, cube.
Or pour les valeurs positives de la variable, c’est du bon sens géométrique.
Dès lors, est-il vraiment judicieux, d’en passer par une démonstration algébrique surtout  en 2°, où il s’agirait de redorer le blason de la démonstration ?
Même si bien sûr, c’est une bonne occasion de découvrir et mobiliser des méthodes importantes, n’est-ce pas un peu artificiel de le faire pour ces fonctions là ?

C'est la sempiternelle question de l'intuition et du formalisme.

Comment cultive-t-on et comment développons-nous des intuitions à propos des concepts mathématiques?

Lorsqu'au GRIP, on a voulu faire re-découvrir la méthode intuitive au primaire, c'était justement pour retrouver cet enracinement intuitif des concepts mathématiques primitifs afin d'asseoir le processus d'abstraction sur des bases solides. À partir du collège, il est l'heure ensuite de commencer à envisager les mathématiques progressivement comme un édifice logique plus pur.

À tous les niveaux, l'intuition joue un rôle important, mais ce n'est plus une intuition primitive, c'est une intuition cultivée des concepts. Faire des mathématiques n'est pas réductible à des procédures à enchaîner et l'élaboration des raisonnements est liée à des intuitions, même si parfois ces intuitions sont en elles-mêmes appliquées à des objets assez abstraits.

On démontre pour établir la preuve formelle et on demontre aussi pour comprendre. À ce titre il y a des démonstrations plus éclairantes que d'autres.

Il n'est pas rare que je complète une preuve formelle par des idées sous-jacentes éclairantes ou que je m'éloigne carrément du formalisme le temps de quelques commentaires pour cultiver l'intuition que l'on doit avoir d'un résultat. Parfois c'est aussi par le biais d'une analogie.

Dans tout cela il n'y a rien de superflu.
Complètement.
C'est pourquoi, je suis tiraillée dans l'étude du sens de variation de ces fonctions de référence.
D'un côté, les démonstrations algébriques (inégalités, signe de la différence ou du taux) sont formatrices et seront ré-investies.
C'est donc peut-être aussi bien de les rencontrer pour la 1ère fois dans des cas simples mais d'un autre côté, est-ce éclairant ?
En faisant ainsi, n'occulte-t-on pas trop l'origine géométrique du carré, de la racine et du cube ?
N'est-ce pas aussi bien de s'appuyer sur : si la longueur x1 est plus petite que la longueur x2, alors l'aire du carré de côté x1 est plus petite que celle du carré de côté x2 ? Et de passer ensuite à x1 et x2 négatifs.
Finalement, comment bien motiver ces démonstrations, on ne peut quand même pas se contenter d'un : "nous allons démontrer ou nous avons démontré cette "évidence"".
Je ne suis pas sûre que cela fasse bien percevoir aux élèves les enjeux des démonstrations.

Anaxagore
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par Anaxagore le Jeu 20 Déc 2018 - 20:54
Évidence ou pas rien ne remplace une démonstration dans une démarche de construction de la théorie.

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par neo-fit le Jeu 20 Déc 2018 - 21:22
Merci Anaxagore, pour le coup, je me sens moins tiraillée Very Happy
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par Anaxagore le Jeu 20 Déc 2018 - 22:07
Wink

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cassiopella
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par cassiopella le Ven 21 Déc 2018 - 9:40
Je m'excuse pour la question à côté...
@Mathador a écrit:
@cassiopella a écrit:Et à vrai dire je ne vois pas comment le tableau peut aider quand tu as à résoudre des choses comme (lg(x))^(1/2) < 1/2.

On réécrit en (lg(x))^(1/2) - 1/2 < 0
puis (lg(x)^(1/2)+1/2)/(lg(x)-1/4) < 0.
On s'est donc ramené à un signe de quotient que l'on peut déterminer à l'aide d'un tableau.
Je ne vois pas, pourrais-tu développer? Ce que je ne voit pas, c'est l'intérêt de faire le tableau. C'est plus rapide de résoudre directement:
(lg(x))^(1/2) < 1/2 n'est valide que pour lg(x)>=0, càd x>=1
Pour le reste
(lg(x))^(1/2) < 1/2
lg(x) < 1/4
x< 10^(1/4)
Et notre solution: ]1; 10^(1/4)[

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Moonchild
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par Moonchild le Ven 21 Déc 2018 - 13:07
@neo-fit a écrit:Justement à propos de bon sens/théoriser à tout crin : les programmes indiquent qu’il faut faire une démonstration pour le sens de variation des fonctions carré, racine  carrée, cube.
Or pour les valeurs positives de la variable, c’est du bon sens géométrique.
Dès lors, est-il vraiment judicieux, d’en passer par une démonstration algébrique surtout  en 2°, où il s’agirait de redorer le blason de la démonstration ?
Même si bien sûr, c’est une bonne occasion de découvrir et mobiliser des méthodes importantes, n’est-ce pas un peu artificiel de le faire pour ces fonctions là ?

Pour autant que je m'en souvienne, je crois que quand j'étais élève je ne m'étais pas vraiment appuyé sur du "bon sens géométrique" mais plutôt sur du "bon sens algébrique/numérique" : pour les carrés et les cubes des valeurs positives, je voyais ces résultats comme un cas particulier de la multiplication de deux inégalités de même sens entre nombres positifs (qui sur le plan numérique me semblait relever de l'évidence), mais c'était à une époque où les propriétés des inégalités était vraiment travaillées en tant que telles dès la seconde (je me souviens d'avoir fait plein d'exercices sur les encadrements) et peut-être même dès le collège (mais j'en suis moins sûr).
Ce que je reproche aux programmes actuels (et futurs) c'est que la plupart des quelques propriétés qui subsistent sur les inégalités y sont abordées sous l'angle des variations de fonctions ce qui, à mon avis, rend plus délicate leur compréhension car on fait un détour par une notion mal maîtrisée qui est totalement superflue puisque ces propriétés sont purement algébriques et pas analytiques.


@Prezbo a écrit:
@TFS a écrit:A mon sens, ce chapitre est en fait essentiel à plus d'un égard.
Tout d'abord, c'est l'occasion de justement rentrer dans un certain formalisme et de réaliser des démonstrations algébriques accessibles.
Par ailleurs, c'est vraiment le moment de faire comprendre ce que l'on entends vraiment par variations en effectuant une dissociation de l'observation des courbes.
Il est essentiel à la compréhension des formules de calcul des fonctions dérivées.
Enfin, cela permet d'instiller le sens de la composition de fonctions, que l'on retrouvera en Terminale avec les fonctions exp, ln et trigo.
Bref, on y plante des graines qu'il est nécessaire de faire germer ensuite...


Le problème est que ce formalisme est, concrètement, actuellement disjoint du reste.

Définir les opérations sur les fonctions (la somme de deux fonctions, l'inverse d'une fonction...), cela aurait du sens si on avait donné une définition suffisament générale d'une fonction, et une idée de la notion d'opération interne à un ensemble. Dans le lycée actuel, on ne travaille qu'avec des fonctions définies sur des intervalles de R, la définition même d'une fonction est bien souvent nébuleuse dans les manuels de seconde, et l'étude des structures algébrique est remise à...on ne sait pas trop quand, puisqu'elle est même maltraitée en maths sup.

Quand aux démonstrations algébriques accessibles, les élèves n'y seront jamais confronté au bac depuis la disparition des ROC. Sauf si de temps en temps un concepteur de sujet s'énerve, mais dans ce cas d'opportunes consignes de correction permettront d'éviter d'avouer qu'ils n'y comprennent rien.

Il y a un moment où il aurait fallu choisir : soit on commence à se placer dans un cadre formel et axiomatique bien défini (c'était grosso-modo l'approche des maths modernes, et on ne peut pas dire que l'application ait laissé le souvenir d'un succès) soit on commence par développer un peu de pratique et d'intuition des objets mathématiques avant d'attendre le moment opportun pour formaliser  les notions que l'on emploie (l'entrée dans l'enseignement supérieure, pour les élèves suivant des études en sciences fondamentales, serait une bonne occasion). Tu auras compris que la seconde approche me semble plus réaliste.

Faute d'avoir choisi, les affaiblissements et supressions successifs des programmes font que le formalisme n'apparaît plus qu'à l'état de trace archéologique, comme les restes des murs et des fondations d'un château en ruine.

On fait planter des graines, mais on ne les arrose plus et on n'entretient plus la plante.

Dans ce contexte, définir des notions formelles ou faire des démonstrations algébriques revient généralement à faire une séance de stand-up devant un public qui ne comprend rien et dont la réaction va de l'incompréhension polie à la franche révolte. A moins que l'on enseigne pas au même endroit, où que tu parviennes à maintenir un niveau d'exigence que personnellement je n'arrive plus à maintenir seul.

Je suis d'accord avec l'ensemble de cette analyse, toutefois je crois qu'attendre l'entrée dans le supérieur pour commencer la formalisation c'est un peu trop tard ; les étudiants risquent d'avoir été trop longtemps formatés à ne travailler qu'à l'intuition.

Une des erreurs de la réforme des mathématiques modernes est sans doute d'avoir adopté une approche "totalitaire" et d'avoir voulu absolument tout formaliser dès le début en détruisant la phase intuitive qui est initialement nécessaire pour aborder beaucoup de notions ; mais je pense que les problèmes que nous connaissons actuellement au lycée proviennent en partie d'un manque de formalisation au collège qui fait que, même chez ceux qui ont une bonne intuition, la nature des objets plus abstraits avec lesquels on travaille n'est pas du tout claire pour nos élèves (c'est le cas en particulier pour les fonctions, ou quand les élèves confondent une droite avec un de ses vecteurs directeurs ou avec son coefficient directeur ou avec la fonction affine qui lui serait associée).
Peut-être faut-il accepter quelques compromis selon les chapitres : il y a des notions qui peuvent être formalisées et démontrées dès le collège tandis que d'autres gagnent sans doute à être admises ou à n'être que partiellement démontrées (par exemple le critère de colinéarité en seconde : on peut faire passer l'idée en expliquant qu'il traduit la proportionnalité des coordonnées des deux vecteurs mais si on se lance dans une démonstration exhaustive avec implication et réciproque et étude de cas selon qu'une des coordonnées est nulle ou pas, alors on largue presque tout le monde).


@cassiopella a écrit:
@Balthazaard a écrit:Les "tableaux" de variations (spécialité française parait-il)
Non, c'est pas une spécialité française. J'ai eu les mêmes à l'école en Russie. Par contre nous n'avions pas les tableaux pour résoudre les inéquations. Et à vrai dire je ne vois pas comment le tableau peut aider quand tu as à résoudre des choses comme (lg(x))^(1/2) < 1/2. Pour les inéquations avec des produits ou fractions algébriques on utilisaient la méthode des intervalles qui ressemble un peu au tableau des intervalles, mais plus rapide:
Spoiler:
youtube

Que le tableau de signe soit totalement superflu pour résoudre l'inéquation (lg(x))^(1/2) < 1/2 ne signifie pas qu'il soit toujours inutile ; c'est même un moyen assez efficace pour traiter certains problèmes comme par exemple étudier le signe de :
(x²-7x-9)(e-x-6)(e3x-5).

La méthode proposée dans la vidéo de ton spoiler est certes plus rapide mais il s'agit en fait d'un algorithme de résolution qui permet d'occulter un tableau de signe qui lui-même n'est qu'un résumé du raisonnement intervalle par intervalle sur le signe de chacun des facteurs. Avec le tableau de signe, on perd sans doute en rapidité d'exécution mais on gagne en compréhension de la démarche. Et puis cet algorithme s'applique à des polynômes ou à des fractions rationnelles, mais permet-il d'étudier le signe de l'expression que je donne ci-dessus ?
Balthazaard
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par Balthazaard le Ven 21 Déc 2018 - 14:03
@Moonchild a écrit:
@neo-fit a écrit:Justement à propos de bon sens/théoriser à tout crin : les programmes indiquent qu’il faut faire une démonstration pour le sens de variation des fonctions carré, racine  carrée, cube.
Or pour les valeurs positives de la variable, c’est du bon sens géométrique.
Dès lors, est-il vraiment judicieux, d’en passer par une démonstration algébrique surtout  en 2°, où il s’agirait de redorer le blason de la démonstration ?
Même si bien sûr, c’est une bonne occasion de découvrir et mobiliser des méthodes importantes, n’est-ce pas un peu artificiel de le faire pour ces fonctions là ?

Pour autant que je m'en souvienne, je crois que quand j'étais élève je ne m'étais pas vraiment appuyé sur du "bon sens géométrique" mais plutôt sur du "bon sens algébrique/numérique" : pour les carrés et les cubes des valeurs positives, je voyais ces résultats comme un cas particulier de la multiplication de deux inégalités de même sens entre nombres positifs (qui sur le plan numérique me semblait relever de l'évidence), mais c'était à une époque où les propriétés des inégalités était vraiment travaillées en tant que telles dès la seconde (je me souviens d'avoir fait plein d'exercices sur les encadrements) et peut-être même dès le collège (mais j'en suis moins sûr).
Ce que je reproche aux programmes actuels (et futurs) c'est que la plupart des quelques propriétés qui subsistent sur les inégalités y sont abordées sous l'angle des variations de fonctions ce qui, à mon avis, rend plus délicate leur compréhension car on fait un détour par une notion mal maîtrisée qui est totalement superflue puisque ces propriétés sont purement algébriques et pas analytiques.

Désolé de m'en prendre à tous mes deux mais sans ironie, vous aviez vraiment l’esprit matheux...Quand on me dit que x^3 est croissante, l'un voit des solides dont le volume grandit et l'autre manipule de tête des inégalités...j'avoue que humblement quand on me disait cela, je crois me rappeler que je pensais à 2x2x2 et 3x3x3...
Mathador
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par Mathador le Ven 21 Déc 2018 - 14:16
@cassiopella a écrit:Je m'excuse pour la question à côté...
@Mathador a écrit:
@cassiopella a écrit:Et à vrai dire je ne vois pas comment le tableau peut aider quand tu as à résoudre des choses comme (lg(x))^(1/2) < 1/2.

On réécrit en (lg(x))^(1/2) - 1/2 < 0
puis (lg(x)^(1/2)+1/2)/(lg(x)-1/4) < 0.
On s'est donc ramené à un signe de quotient que l'on peut déterminer à l'aide d'un tableau.
Je ne vois pas, pourrais-tu développer? Ce que je ne voit pas, c'est l'intérêt de faire le tableau. C'est plus rapide de résoudre directement:
(lg(x))^(1/2) < 1/2 n'est valide que pour lg(x)>=0, càd x>=1
Pour le reste
(lg(x))^(1/2) < 1/2
lg(x) < 1/4
x< 10^(1/4)
Et notre solution: ]1; 10^(1/4)[
Les deux méthodes sont valables; par contre dans ta résolution tu as x≥1 (pour que les membres de l'inégalité aient du sens) donc 1 est aussi solution et l'intervalle solution est [1;10^(1/4)[.

_________________
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Sei tra le braccia di un Mathador,
Non indagare la colpa è del flamenco » (Dalida, Flamenco)
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par TFS le Ven 21 Déc 2018 - 14:20
@Prezbo a écrit:
@TFS a écrit:A mon sens, ce chapitre est en fait essentiel à plus d'un égard.
Tout d'abord, c'est l'occasion de justement rentrer dans un certain formalisme et de réaliser des démonstrations algébriques accessibles.
Par ailleurs, c'est vraiment le moment de faire comprendre ce que l'on entends vraiment par variations en effectuant une dissociation de l'observation des courbes.
Il est essentiel à la compréhension des formules de calcul des fonctions dérivées.
Enfin, cela permet d'instiller le sens de la composition de fonctions, que l'on retrouvera en Terminale avec les fonctions exp, ln et trigo.
Bref, on y plante des graines qu'il est nécessaire de faire germer ensuite...


Le problème est que ce formalisme est, concrètement, actuellement disjoint du reste.

Définir les opérations sur les fonctions (la somme de deux fonctions, l'inverse d'une fonction...), cela aurait du sens si on avait donné une définition suffisament générale d'une fonction, et une idée de la notion d'opération interne à un ensemble. Dans le lycée actuel, on ne travaille qu'avec des fonctions définies sur des intervalles de R, la définition même d'une fonction est bien souvent nébuleuse dans les manuels de seconde, et l'étude des structures algébrique est remise à...on ne sait pas trop quand, puisqu'elle est même maltraitée en maths sup.

Quand aux démonstrations algébriques accessibles, les élèves n'y seront jamais confronté au bac depuis la disparition des ROC. Sauf si de temps en temps un concepteur de sujet s'énerve, mais dans ce cas d'opportunes consignes de correction permettront d'éviter d'avouer qu'ils n'y comprennent rien.

Il y a un moment où il aurait fallu choisir : soit on commence à se placer dans un cadre formel et axiomatique bien défini (c'était grosso-modo l'approche des maths modernes, et on ne peut pas dire que l'application ait laissé le souvenir d'un succès) soit on commence par développer un peu de pratique et d'intuition des objets mathématiques avant d'attendre le moment opportun pour formaliser  les notions que l'on emploie (l'entrée dans l'enseignement supérieure, pour les élèves suivant des études en sciences fondamentales, serait une bonne occasion). Tu auras compris que la seconde approche me semble plus réaliste.

Faute d'avoir choisi, les affaiblissements et supressions successifs des programmes font que le formalisme n'apparaît plus qu'à l'état de trace archéologique, comme les restes des murs et des fondations d'un château en ruine.

On fait planter des graines, mais on ne les arrose plus et on n'entretient plus la plante.

Dans ce contexte, définir des notions formelles ou faire des démonstrations algébriques revient généralement à faire une séance de stand-up devant un public qui ne comprend rien et dont la réaction va de l'incompréhension polie à la franche révolte. A moins que l'on enseigne pas au même endroit, où que tu parviennes à maintenir un niveau d'exigence que personnellement je n'arrive plus à maintenir seul.

J'ai effectivement la chance de travailler dans un établissement particulier (lycée français de l'étranger) où je suis mes élèves sur l'ensemble du cycle terminal et souvent que j'ai eu précédemment en collège... Le nombre d'élèves est très faible (9 cette année...) et ils sont plutôt triés socialement en CSP+++. La relation est donc différente et je parviens donc effectivement à maintenir un niveau d'exigence, en continuant par exemple à évaluer des ROC à chaque devoir. Je dois ajouter que cela plait aussi pas mal aux élèves... du moins à un certain nombre non négligeable qui prennent vraiment du plaisir à tâter de la théorie et à jouer avec des concepts.
Je partage le reste de ton analyse, mais tant que je parviendrais à lutter un peu contre vents et tempêtes dans mon coin, je le ferais car je suis convaincu que c'est vraiment le cœur de notre discipline...
Moonchild
Moonchild
Expert spécialisé

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par Moonchild le Ven 21 Déc 2018 - 15:03
@Balthazaard a écrit:Désolé de m'en prendre à tous mes deux mais sans ironie, vous aviez vraiment l’esprit matheux...Quand on me dit que x^3 est croissante, l'un voit des solides dont le volume grandit et l'autre manipule de tête des inégalités...j'avoue que humblement quand on me disait cela, je crois me rappeler que je pensais à 2x2x2  et 3x3x3...

Alors tu devais avoir l'esprit aussi matheux que moi : quand je disais que la multiplication de deux inégalités de même sens entre nombres positifs me semblait relever de l'évidence sur le plan numérique, c'est justement parce qu'intuitivement je pensais certainement à des choses comme 2x3 et 5x7 qu'à force j'ai fini par systématiser en ac et bd. En revanche, je ne crois pas avoir jamais spontanément fait le détour par les figures géométriques pour les carrés et les cubes ; cette démarche me semble paradoxalement plus abstraite (et je me demande si actuellement, de manière générale, en misant autant sur l'étude graphique des fonctions élémentaires, on ne commet pas l'erreur d'augmenter sans le percevoir le degré d'abstraction pour palier les lacunes qu'on a laissé s'installer en calcul).

Cela dit, même si effectivement je suis persuadé que la compréhension de cette propriété sur la multiplication de deux inégalités repose bien plus sur l'intuition numérique que sur une justification algébrique en bonne et due forme, je pense cependant que sa démonstration ne serait pas complètement inutile - et, idéalement, serait accessible au niveau seconde à condition d'avoir préalablement bien préparé le terrain en travaillant les propriétés élémentaires des inégalités (transitivité et multiplication par un même nombre) - car elle permet de voir pourquoi ça se complique dès qu'on fait intervenir des nombres négatifs. Et puis si on élude toutes les démonstrations, alors on valide inévitablement l'idée que sur la base d'un nombre suffisant d'exemples concluants on peut toujours déduire une règle générale ; tôt ou tard ça posera problème.

En revanche, pour des choses comme les règles de calcul sur les fractions, je crois que toute tentative de démonstration est au mieux une pure perte de temps car la définition de a/b comme le nombre r tel que br=a est beaucoup trop alambiquée pour être employée comme argument de persuasion au niveau du collège ; dans ce cas, il me semble raisonnable d'admettre les règles générales comme une systématisation des calculs numériques effectués précédemment.
Balthazaard
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Sage

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par Balthazaard le Ven 21 Déc 2018 - 20:46
@Moonchild a écrit:
@Balthazaard a écrit:Désolé de m'en prendre à tous mes deux mais sans ironie, vous aviez vraiment l’esprit matheux...Quand on me dit que x^3 est croissante, l'un voit des solides dont le volume grandit et l'autre manipule de tête des inégalités...j'avoue que humblement quand on me disait cela, je crois me rappeler que je pensais à 2x2x2  et 3x3x3...

Alors tu devais avoir l'esprit aussi matheux que moi : quand je disais que la multiplication de deux inégalités de même sens entre nombres positifs me semblait relever de l'évidence sur le plan numérique, c'est justement parce qu'intuitivement je pensais certainement à des choses comme 2x3 et 5x7 qu'à force j'ai fini par systématiser en ac et bd. En revanche, je ne crois pas avoir jamais spontanément fait le détour par les figures géométriques pour les carrés et les cubes ; cette démarche me semble paradoxalement plus abstraite (et je me demande si actuellement, de manière générale, en misant autant sur l'étude graphique des fonctions élémentaires, on ne commet pas l'erreur d'augmenter sans le percevoir le degré d'abstraction pour palier les lacunes qu'on a laissé s'installer en calcul).

Cela dit, même si effectivement je suis persuadé que la compréhension de cette propriété sur la multiplication de deux inégalités repose bien plus sur l'intuition numérique que sur une justification algébrique en bonne et due forme, je pense cependant que sa démonstration ne serait pas complètement inutile - et, idéalement, serait accessible au niveau seconde à condition d'avoir préalablement bien préparé le terrain en travaillant les propriétés élémentaires des inégalités (transitivité et multiplication par un même nombre) - car elle permet de voir pourquoi ça se complique dès qu'on fait intervenir des nombres négatifs. Et puis si on élude toutes les démonstrations, alors on valide inévitablement l'idée que sur la base d'un nombre suffisant d'exemples concluants on peut toujours déduire une règle générale ; tôt ou tard ça posera problème.

En revanche, pour des choses comme les règles de calcul sur les fractions, je crois que toute tentative de démonstration est au mieux une pure perte de temps car la définition de a/b comme le nombre r tel que br=a est beaucoup trop alambiquée pour être employée comme argument de persuasion au niveau du collège ; dans ce cas, il me semble raisonnable d'admettre les règles générales comme une systématisation des calculs numériques effectués précédemment.

C'est toujours intéressant de confronter des points de vues et je ne suis pas tout à fait d'accord, du moins sur la base de cet exemple.
Je suis d'une époque ou absolument TOUT était démontré, il était impensable que le prof écrive une propriété au tableau et ne la prouve pas de  manière correcte. Quelques exceptions dans le programme, le théorème des accroissements finis  (et je ne vois pas trop pourquoi...) et l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev je crois...
En cinquième on construisait Z par symétrisation de N...pour dire (et je m'en souviens, comme quoi toute la classe n'était pas larguée...)  
Je crois fermement à cette approche!!!! comme toute personne croit à un traitement qui lui a réussi (et si ce n'est pas l'Argument, s'en est tout de mème un à ne pas négliger)
Force est de constater que ce n'est plus la mode aujourd'hui!!! J'adore dans le programme "on démontrera que...." et pourquoi pas le reste?
Donc on démontre ou...on montre... au prof de choisir ce qui va faire progresser les élèves.
Je ne crois pas du tout (dans ce contexte) à la démonstrations de choses immédiatement intuitives...et pour moi la croissance de x² en est une!! Je pense même que c'est nocif en donnant l'idée que faire des maths c'est broder autour autour d'évidences...et même à la limite plus que cela, donner l'impression que tout ce qui est intuitif (ce n'est pas le bon mot...en fait un mélange de intuitif et immédiat) est vrai.
Je te donne un contre exemple: je démontre l'inégalité entre x et x² car là je pense que ce n'est pas intuitif...à la question "a votre avis pouvez vous ranger x et x² pour x positif"  100% de la classe raisonne comme moi jadis avec 2 et 4 ou 3 et 9  (cf infra) et se plante...et même là je vois que leur manque d'habitude du calcul leur joue des tours, beaucoup restent perplexes devant 0,2 et 0,04. Je crois que la démonstration cadre et clarifie les chose (en plus elle est simple)
C'est un exemple très naïf bien sur mais je crois fermement à ce principe face aux élèves que nous avons.
Je me souviens d'exercices de géométrie où on traçait une droite et ou il fallait prouver ce qui sautait aux yeux qu'elle était sécante à une autre : si la droite existe (ben elle est tracée).....montrons qu'elle existe (qu'est ce qui vous faut de plus....)...etc. J'en avais horreur en tant qu'élève , j'en ai tout autant horreur maintenant. Parc contre une figure ou la concourance ne saute pas aux yeux, difficile à construire, où on se demande si réellement ce que l'on voit est juste et où tout le monde a un avis différent...là j'adore. Ces exercices sont plus rares à dénicher.
ON peut objecter que les démonstrations simples fournissent des canevas que l'on pourra enrichir dans des situations plus complexes...j'avoue que mon expérience ne m'a jamais montré cela.

Pour l'autre partie, oui et non...je crois fermement à l'intuition car j'en suis fortement dépourvu!!! Je pense être très logique, mais très peu créatif. La logique associée à la mémoire peut, justement être productive et imiter l'intuition (un peu comme le joueur d'échecs de Zweig) mais je crois que c' est à terme tout aussi limitant. Une (bonne selon les critères d'aujourd'hui) élève m'a dit "j'ai du mal à commencer les exercices"...que lui répondre à part "fais en beaucoup et tu reconnaitras plus facilement les démarches à suivre" mais c'est de l'escroquerie....il faut VRAIMENT en faire beaucoup pour ne pas buter sur un exercice de recherche. Aurais-je du lui dire "hélas ce qui te manque c'est l'intuition...et ce sera dur pour toi..."?

iL y avait un article intéressant dans un vieux pour la science sur les mathématiques chinoises au 18 ème et 19ème, la démonstration y était très peu pratiquée, beaucoup de résultats étaient "intuitionnés" mais elles n'étaient pas ridicules, loin de là.
Pat B
Pat B
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par Pat B le Ven 21 Déc 2018 - 22:11
@Balthazaard a écrit:

Pour l'autre partie, oui et non...je crois fermement à l'intuition car j'en suis fortement dépourvu!!! Je pense être très logique, mais très peu créatif. La logique associée à la mémoire peut, justement être productive et imiter l'intuition (un peu comme le joueur d'échecs de Zweig) mais je crois que c' est à terme tout aussi limitant. Une (bonne selon les critères d'aujourd'hui) élève m'a dit "j'ai du mal à commencer les exercices"...que lui répondre à part "fais en beaucoup et tu reconnaitras plus facilement les démarches à suivre" mais c'est de l'escroquerie....il faut VRAIMENT en faire beaucoup pour ne pas buter sur un exercice de recherche. Aurais-je du lui dire "hélas ce qui te manque c'est l'intuition...et ce sera dur pour toi..."?

Je te trouve un peu négatif en opposant ainsi l'intuition et l'entraînement. Pour moi, l'intuition se cultive, s'entraîne, et effectivement, en faisant beaucoup d'exercices variés, on finit par ancrer solidement certains concepts et on développe ainsi l'intuition (bien sûr c'est mieux quand on l'a avant même de démarrer, mais avec de l'entraînement, d'après mon propre vécu, on finit par en avoir dans les domaines où on en manquait).
Moonchild
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par Moonchild le Dim 23 Déc 2018 - 3:03
@Balthazaard a écrit:C'est toujours intéressant de confronter des points de vues et je ne suis pas tout à fait d'accord, du moins sur la base de cet exemple.
Je suis d'une époque ou absolument TOUT était démontré, il était impensable que le prof écrive une propriété au tableau et ne la prouve pas de  manière correcte. Quelques exceptions dans le programme, le théorème des accroissements finis  (et je ne vois pas trop pourquoi...) et l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev je crois...
En cinquième on construisait Z par symétrisation de N...pour dire (et je m'en souviens, comme quoi toute la classe n'était pas larguée...)  
Je crois fermement à cette approche!!!! comme toute personne croit à un traitement qui lui a réussi (et si ce n'est pas l'Argument, s'en est tout de mème un à ne pas négliger)
Force est de constater que ce n'est plus la mode aujourd'hui!!! J'adore dans le programme "on démontrera que...." et pourquoi pas le reste?
Donc on démontre ou...on montre... au prof de choisir ce qui va faire progresser les élèves.
Je ne crois pas du tout (dans ce contexte) à la démonstrations de choses immédiatement intuitives...et pour moi la croissance de x² en est une!! Je pense même que c'est nocif en donnant l'idée que faire des maths c'est broder autour autour d'évidences...et même à la limite plus que cela, donner l'impression que tout ce qui est intuitif (ce n'est pas le bon mot...en fait un mélange de intuitif et immédiat) est vrai.
Je te donne un contre exemple: je démontre l'inégalité entre x et x² car là je pense que ce n'est pas intuitif...à la question "a votre avis pouvez vous ranger x et x² pour x positif"  100% de la classe raisonne comme moi jadis avec 2 et 4 ou 3 et 9  (cf infra) et se plante...et même là je vois que leur manque d'habitude du calcul leur joue des tours, beaucoup restent perplexes devant 0,2 et 0,04. Je crois que la démonstration cadre et clarifie les chose (en plus elle est simple)
C'est un exemple très naïf bien sur mais je crois fermement à ce principe face aux élèves que nous avons.
Je me souviens d'exercices de géométrie où on traçait une droite et ou il fallait prouver ce qui sautait aux yeux qu'elle était sécante à une autre : si la droite existe (ben elle est tracée).....montrons qu'elle existe (qu'est ce qui vous faut de plus....)...etc. J'en avais horreur en tant qu'élève , j'en ai tout autant horreur maintenant. Parc contre une figure ou la concourance ne saute pas aux yeux, difficile à construire, où on se demande si réellement ce que l'on voit est juste et où tout le monde a un avis différent...là j'adore. Ces exercices sont plus rares à dénicher.
ON peut objecter que les démonstrations simples fournissent des canevas que l'on pourra enrichir dans des situations plus complexes...j'avoue que mon expérience ne m'a jamais montré cela.

Pour l'autre partie, oui et non...je crois fermement à l'intuition car j'en suis fortement dépourvu!!! Je pense être très logique, mais très peu créatif. La logique associée à la mémoire peut, justement être productive et imiter l'intuition (un peu comme le joueur d'échecs de Zweig) mais je crois que c' est à terme tout aussi limitant. Une (bonne selon les critères d'aujourd'hui) élève m'a dit "j'ai du mal à commencer les exercices"...que lui répondre à part "fais en beaucoup et tu reconnaitras plus facilement les démarches à suivre" mais c'est de l'escroquerie....il faut VRAIMENT en faire beaucoup pour ne pas buter sur un exercice de recherche. Aurais-je du lui dire "hélas ce qui te manque c'est l'intuition...et ce sera dur pour toi..."?

iL y avait un article intéressant dans un vieux pour la science sur les mathématiques chinoises au 18 ème et 19ème, la démonstration y était très peu pratiquée, beaucoup de résultats étaient "intuitionnés" mais elles n'étaient pas ridicules, loin de là.

Ton contre-exemple est intéressant parce que, pour moi, l'inégalité entre x et x² n'est pas moins "intuitive" que la comparaison de a² et b². Aussi loin que je m'en souvienne, je crois qu'il m'a toujours semblé assez "naturel" que l'élévation au carré n'ait pas le même genre d'effet de part et d'autre de 1, même si je ne saurais dire si c'est parce qu'au primaire j'avais fait plein de multiplications à la main qui m'ont laissé l'idée du décalage vers la droite de la virgule quand un des nombres est entre 0 et 1 ou parce que je me suis amusé à appuyer plein de fois à la suite fois sur la touche "carré" de la première calculatrice qui traînait chez moi et que j'ai constaté que, selon la valeur de départ, il se passait des choses assez différentes. M'enfin, selon ton critère de ne pas broder sur l'évidence, je devrais considérer cette démonstration comme étant à écarter.

Comme tu l'as fait remarquer, les programmes ne nous aident pas vraiment car les démonstrations qu'ils proposent se retrouvent beaucoup trop isolées pour constituer un ensemble formateur, leur choix paraissant arbitraire et assez souvent discutable ; en fait, elles donnent le sentiment de n'être là que pour servir d'alibi contre les accusations d'abandon de la rigueur dans l'enseignement des maths. Il manque une réflexion globale, en amont, sur la manière d'enseigner les maths en construisant une progression cohérente qui laisserait une place aux démonstrations ; en attendant, nous sommes tous dans le bricolage.
Personnellement, pour les S, je m'étais fixé comme objectif d'essayer de maintenir un maximum de démonstrations dans le cours parmi ce qui était démontrable avec les outils du programme dans la mesure où je jugeais que cela restait accessible au niveau concerné, critère éminemment subjectif. Force est de constater que les démonstrations que j'arrivais encore à faire passer - parfois de justesse - auparavant sont devenues depuis quatre ou cinq ans de véritables calvaires et que même les plus simples ont tendance à plutôt embrouiller les élèves que de les aider à comprendre la propriété étudiée. Plus que toute interrogation philosophique sur la pertinence ou la nécessité de démontrer ce que l'intuition fait paraître évident ou presque, le contexte actuel m'amène à un constat sans appel : on ne peut tout simplement rien démontrer à des élèves qui n'ont pas acquis les capacités calculatoires minimales et qui, souvent, sont incapables de comprendre ce que représente les lettres qui interviennent dans les formules et les énoncés mathématiques.

Quant à l'intuition, il est difficile de dire où elle commence et où elle s'arrête. Je mettrais sans doute à part le primaire où les notions élémentaires se construisent en lien avec la perception du monde réel, mais dès le secondaire j'ai l'impression que l'intuition est, comme tu le décris, essentiellement un mélange de mémoire et de logique (pas au sens formel, plutôt au sens de "faire des liens entre les idées") ; en ce qui me concerne, et je crois l'avoir déjà écrit plusieurs fois sur ce forum, je dirai que jusqu'à la maîtrise incluse, je n'ai jamais rien fait d'autre que de recracher ce que j'avais déjà vu auparavant quitte à éventuellement recombiner plusieurs souvenirs et j'ai toujours eu l'impression que les prétendus "exercices de recherche" n'étaient en fait que des exercices où il fallait recombiner plus de souvenirs que dans le cas des exercices d'application. Au niveau du lycée et au moins du premiers cycle universitaire, je crois que ce qu' appelle l'intuition relève surtout d'une culture mathématique suffisamment large et, en même tempsTM, ancrée en profondeur.
Balthazaard
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Sage

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par Balthazaard le Dim 23 Déc 2018 - 10:54
@Moonchild a écrit:
@Balthazaard a écrit:C'est toujours intéressant de confronter des points de vues et je ne suis pas tout à fait d'accord, du moins sur la base de cet exemple.
Je suis d'une époque ou absolument TOUT était démontré, il était impensable que le prof écrive une propriété au tableau et ne la prouve pas de  manière correcte. Quelques exceptions dans le programme, le théorème des accroissements finis  (et je ne vois pas trop pourquoi...) et l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev je crois...
En cinquième on construisait Z par symétrisation de N...pour dire (et je m'en souviens, comme quoi toute la classe n'était pas larguée...)  
Je crois fermement à cette approche!!!! comme toute personne croit à un traitement qui lui a réussi (et si ce n'est pas l'Argument, s'en est tout de mème un à ne pas négliger)
Force est de constater que ce n'est plus la mode aujourd'hui!!! J'adore dans le programme "on démontrera que...." et pourquoi pas le reste?
Donc on démontre ou...on montre... au prof de choisir ce qui va faire progresser les élèves.
Je ne crois pas du tout (dans ce contexte) à la démonstrations de choses immédiatement intuitives...et pour moi la croissance de x² en est une!! Je pense même que c'est nocif en donnant l'idée que faire des maths c'est broder autour autour d'évidences...et même à la limite plus que cela, donner l'impression que tout ce qui est intuitif (ce n'est pas le bon mot...en fait un mélange de intuitif et immédiat) est vrai.
Je te donne un contre exemple: je démontre l'inégalité entre x et x² car là je pense que ce n'est pas intuitif...à la question "a votre avis pouvez vous ranger x et x² pour x positif"  100% de la classe raisonne comme moi jadis avec 2 et 4 ou 3 et 9  (cf infra) et se plante...et même là je vois que leur manque d'habitude du calcul leur joue des tours, beaucoup restent perplexes devant 0,2 et 0,04. Je crois que la démonstration cadre et clarifie les chose (en plus elle est simple)
C'est un exemple très naïf bien sur mais je crois fermement à ce principe face aux élèves que nous avons.
Je me souviens d'exercices de géométrie où on traçait une droite et ou il fallait prouver ce qui sautait aux yeux qu'elle était sécante à une autre : si la droite existe (ben elle est tracée).....montrons qu'elle existe (qu'est ce qui vous faut de plus....)...etc. J'en avais horreur en tant qu'élève , j'en ai tout autant horreur maintenant. Parc contre une figure ou la concourance ne saute pas aux yeux, difficile à construire, où on se demande si réellement ce que l'on voit est juste et où tout le monde a un avis différent...là j'adore. Ces exercices sont plus rares à dénicher.
ON peut objecter que les démonstrations simples fournissent des canevas que l'on pourra enrichir dans des situations plus complexes...j'avoue que mon expérience ne m'a jamais montré cela.

Pour l'autre partie, oui et non...je crois fermement à l'intuition car j'en suis fortement dépourvu!!! Je pense être très logique, mais très peu créatif. La logique associée à la mémoire peut, justement être productive et imiter l'intuition (un peu comme le joueur d'échecs de Zweig) mais je crois que c' est à terme tout aussi limitant. Une (bonne selon les critères d'aujourd'hui) élève m'a dit "j'ai du mal à commencer les exercices"...que lui répondre à part "fais en beaucoup et tu reconnaitras plus facilement les démarches à suivre" mais c'est de l'escroquerie....il faut VRAIMENT en faire beaucoup pour ne pas buter sur un exercice de recherche. Aurais-je du lui dire "hélas ce qui te manque c'est l'intuition...et ce sera dur pour toi..."?

iL y avait un article intéressant dans un vieux pour la science sur les mathématiques chinoises au 18 ème et 19ème, la démonstration y était très peu pratiquée, beaucoup de résultats étaient "intuitionnés" mais elles n'étaient pas ridicules, loin de là.

Ton contre-exemple est intéressant parce que, pour moi, l'inégalité entre x et x² n'est pas moins "intuitive" que la comparaison de a² et b². Aussi loin que je m'en souvienne, je crois qu'il m'a toujours semblé assez "naturel" que l'élévation au carré n'ait pas le même genre d'effet de part et d'autre de 1, même si je ne saurais dire si c'est parce qu'au primaire j'avais fait plein de multiplications à la main qui m'ont laissé l'idée du décalage vers la droite de la virgule quand un des nombres est entre 0 et 1 ou parce que je me suis amusé à appuyer plein de fois à la suite fois sur la touche "carré" de la première calculatrice qui traînait chez moi et que j'ai constaté que, selon la valeur de départ, il se passait des choses assez différentes. M'enfin, selon ton critère de ne pas broder sur l'évidence, je devrais considérer cette démonstration comme étant à écarter.

Comme tu l'as fait remarquer, les programmes ne nous aident pas vraiment car les démonstrations qu'ils proposent se retrouvent beaucoup trop isolées pour constituer un ensemble formateur, leur choix paraissant arbitraire et assez souvent discutable ; en fait, elles donnent le sentiment de n'être là que pour servir d'alibi contre les accusations d'abandon de la rigueur dans l'enseignement des maths. Il manque une réflexion globale, en amont, sur la manière d'enseigner les maths en construisant une progression cohérente qui laisserait une place aux démonstrations ; en attendant, nous sommes tous dans le bricolage.
Personnellement, pour les S, je m'étais fixé comme objectif d'essayer de maintenir un maximum de démonstrations dans le cours parmi ce qui était démontrable avec les outils du programme dans la mesure où je jugeais que cela restait accessible au niveau concerné, critère éminemment subjectif. Force est de constater que les démonstrations que j'arrivais encore à faire passer - parfois de justesse - auparavant sont devenues depuis quatre ou cinq ans de véritables calvaires et que même les plus simples ont tendance à plutôt embrouiller les élèves que de les aider à comprendre la propriété étudiée. Plus que toute interrogation philosophique sur la pertinence ou la nécessité de démontrer ce que l'intuition fait paraître évident ou presque, le contexte actuel m'amène à un constat sans appel : on ne peut tout simplement rien démontrer à des élèves qui n'ont pas acquis les capacités calculatoires minimales et qui, souvent, sont incapables de comprendre ce que représente les lettres qui interviennent dans les formules et les énoncés mathématiques.


Quant à l'intuition, il est difficile de dire où elle commence et où elle s'arrête. Je mettrais sans doute à part le primaire où les notions élémentaires se construisent en lien avec la perception du monde réel, mais dès le secondaire j'ai l'impression que l'intuition est, comme tu le décris, essentiellement un mélange de mémoire et de logique (pas au sens formel, plutôt au sens de "faire des liens entre les idées") ; en ce qui me concerne, et je crois l'avoir déjà écrit plusieurs fois sur ce forum, je dirai que jusqu'à la maîtrise incluse, je n'ai jamais rien fait d'autre que de recracher ce que j'avais déjà vu auparavant quitte à éventuellement recombiner plusieurs souvenirs et j'ai toujours eu l'impression que les prétendus "exercices de recherche" n'étaient en fait que des exercices où il fallait recombiner plus de souvenirs que dans le cas des exercices d'application. Au niveau du lycée et au moins du premiers cycle universitaire, je crois que ce qu' appelle l'intuition relève surtout d'une culture mathématique suffisamment large et, en même tempsTM, ancrée en profondeur.

Je crois que tout est dit, on brode et on s'invente des raisons mais la seule explication est là.
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chmarmottine
Érudit

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par chmarmottine le Dim 23 Déc 2018 - 11:01
Du coup, on ne démontre plus rien ?

Franchement, je suis tentée de me laisser aller à ça, tant les moments de démonstration sont devenus pour moi un moment de déplaisir extrême ... alors que c'est ce que j'aimais faire (entre autres). Je cours après le temps, j'ai l'impression de perdre du temps à démontrer et que cela plonge les élèves dans une tendance à penser "j'y comprends rien" et que cela retarde leur entrée dans les exos d'application qu'ils finissent tout de même par savoir faire comme des robots. Tout cela me déplaît.

Autant ne rien démonter et les laisser se noyer dans leur robotisation ... quel dommage !
Balthazaard
Balthazaard
Sage

[maths 1S] Fonctions associées - Page 2 Empty Re: [maths 1S] Fonctions associées

par Balthazaard le Dim 23 Déc 2018 - 11:05
@chmarmottine a écrit:Du coup, on ne démontre plus rien ?

Franchement, je suis tentée de me laisser aller à ça, tant les moments de démonstration sont devenus pour moi un moment de déplaisir extrême ... alors que c'est ce que j'aimais faire (entre autres). Je cours après le temps, j'ai l'impression de perdre du temps à démontrer et que cela plonge les élèves dans une tendance à penser "j'y comprends rien" et que cela retarde leur entrée dans les exos d'application qu'ils finissent tout de même par savoir faire comme des robots. Tout cela me déplaît.

Autant ne rien démonter et les laisser se noyer dans leur robotisation ... quel dommage !

On fait semblant d'y croire, comme dans beaucoup de choses, hélas en se raccrochant aux quelques élèves qui sont capables. Et puis, comme moi cette année, on tombe sur la "bonne classe" (première fois depuis 10ans) où on peut retrouver un peu ce qui faisait le sens de notre métier.
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