[Maths] développement illimité d'un réel

Ma grande entre en 2de et m'a réclamé de faire des maths avant la rentrée. Je lui ai donné ce livre :

https://www.amazon.fr/gp/product/2340015618/ref=oh_aui_detailpage_o03_s00?ie=UTF8&psc=1

Sa curiosité l'a menée à un paragraphe sur les développements illimités.
Elle a du mal à accepter que 1/4 = 0,25 (ça, pas de souci !) = 0,249999..........

J'avoue aussi avoir du mal avec ça, bien que comprenant la démarche mathématique !

Bref, je n'ai pas réussi à la convaincre !

Une idée ?

100 x 0,2499999... =  24,99999...

et   1000 x 0,24999...  =   249,999...

donc  1000 x 0,24999... - 100 x 0,24999...  =  249,999... - 24,999...  =  225

et hop,   900 x 0,24999...  =  225

             0,249...  =  225/900  =  0,25
L'idée est de retomber sur un entier en "éliminant" les 999...
Normalement c'est assez "convaincant".

Du moment que l'écriture est périodique, on peut écrire le nombre sous forme de fraction (c'est un nombre rationnel).
Cela peut faire un petit exercice sympa.

OK, merci beaucoup, je vais tenter ça !

Plus technique : montrer que la différence 0,250 - 0,2499999... est strictement inférieure à tout nombre réel strictement positif. Donc elle est nulle. D’où l’égalité.

Moins rigoureux : 1 = 3 x 1/3 = 3 x 0,3333... = 0,99999...

Le moins rigoureux est probablement plus intuitif.

Pour une pitchoune qui entre en seconde, la rigueur peut attendre encore un peu. :|

Sibylline a écrit:100 x 0,2499999... =  24,99999...

et   1000 x 0,24999...  =   249,999...

donc  1000 x 0,24999... - 100 x 0,24999...  =  249,999... - 24,999...  =  225

et hop,   900 x 0,24999...  =  225

             0,249...  =  225/900  =  0,25
L'idée est de retomber sur un entier en "éliminant" les 999...
Normalement c'est assez "convaincant".

Du moment que l'écriture est périodique, on peut écrire le nombre sous forme de fraction (c'est un nombre rationnel).
Cela peut faire un petit exercice sympa.

On montrait ça aux cinquièmes il y a pas si longtemps.

Je faisais ça avec mes sixièmes il y a dix ans, quand j'étais encore au collège.
Maintenant je fais ça en seconde et en spé maths.

Quand on aime, on ne compte pas.
Cela reste très sain de le faire en sixième, sinon 3 x 0,333333... = 1 relève de l’imposture intellectuelle.

Et puis, c’est beau !

Dans les expressions décimales, les trois petits points, c'est le mal absolu. La façon idéale d'arriver aux pires horreurs très rapidement. Un peu comme 666 dans un autre contexte.

Tu leur reproche quoi aux trois petits points ?

Spoiler:

Cela ouvre une porte vers les enfers mathématiques. Un exemple parmi d'autres

0,33... = 0,3...
3,3... = 3,...
(et 33,... = ?)

etc...

Il me semblait qu'on écrivait  1/3  =  0,3...   pour signifier que le développement a pour période 3

A ma connaissance, ce n'est pas standardisé. On peut trouver dans des livres une barre au dessus de la période, ou en dessous, dans d'autres encore des parenthèses ou des crochets. Le plus souvent, sans petits points ensuite.

OK, il y a longtemps que je ne me suis pas penchée sur la question. Par contre il est indispensable de dire qu'il s'agit d'un développement périodique.

Une barre horizontale au dessus des chiffres qui se répètent, et on omet les ...
Ce qui équivaut parfaitement à 123,456767... où il est parfaitement clair que la période est 2 et que les chiffres qui se répètent sont le 6 et le 7.

Dans 0,3... tu n'as pas répété le 3, dans 33,... on ne sait pas ce qu'il y a après la virgule, tes exemples ne sont pas des contre-exemples valables (disons qu'ils ne respectent pas le format que j'ai décrit et que j'ai toujours vu utiliser).

jaybe a écrit:Dans les expressions décimales, les trois petits points, c'est le mal absolu. La façon idéale d'arriver aux pires horreurs très rapidement. Un peu comme 666 dans un autre contexte.

Il faut bien écrire les choses. C'est un éternel problème avec les classes de collège : écrire les choses, qui naïvement semblent simples, mais qui, dès que l'on se pose des questions, demandent des développements plus techniques, développements pour lesquels les outils les plus rigoureux (séries ici) ne sont pas accessibles aux classes concernées.
Il est certain que s'il était possible d'utiliser un beau sigma majuscule pour k entier de 0 à plus l'infini (expression déjà contestable si on ne définit pas N union plus l'infini), on l'utiliserait, mais en l'occurrence, en sixième, c'est impossible.

Il n'est nullement nécessaire de maîtriser les séries pour utiliser des écritures avec une barre ou des parenthèses, c'est ce que l'on trouve couramment dans les livres pour préparer le CRPE.

ben2510 a écrit:Ce qui équivaut parfaitement à 123,456767... où il est parfaitement clair que la période est 2 et que les chiffres qui se répètent sont le 6 et le 7.

La bonne blague !

?

Il est parfaitement clair que 1,414... est un rationnel de période 2 avec le 1 et le 4 qui se répètent.

jaybe a écrit:Il n'est nullement nécessaire de maîtriser les séries pour utiliser des écritures avec une barre ou des parenthèses, c'est ce que l'on trouve couramment dans les livres pour préparer le CRPE.

Il y a quand même un bel infini qui se cache.

ben2510 a écrit:Tu leur reproche quoi aux trois petits points ?

Encore un coup des francs-maçons illuminati qui tirent les ficelles dans l'ombre !

jaybe a écrit:Il est parfaitement clair que 1,414... est un rationnel de période 2 avec le 1 et le 4 qui se répètent.

C'est tout à fait exact et c'est pourquoi il est nécessaire d'avoir une notation particulière pour la période. Le problème est qu'il existe plusieurs notations. J'ai personnellement appris avec une ligne placée au-dessus de la période.

Je trouve la section anglophone de wikipedia bien plus complète que la francophone sur ce point.
https://en.wikipedia.org/wiki/Repeating_decimal#Notation
https://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9veloppement_d%C3%A9cimal_p%C3%A9riodique#Notations