cubes d'unité 2,3, 7 et 8: quelle démonstration?

J'ai promis à ma fille de lui donner un livre si elle savait toutes ses tables jusqu'à dix. Pour une raison que j'ignore, elle a choisi de les écrire puis de noter les cubes des dix premiers chiffres. Elle a ensuite demandé pourquoi certains ne finissaient pas par la même unité et observé qu'il y avait un rapport avec dix (3 et 7 font dix, les unités de leurs cubes font dix, de même pour deux et huit). J'ai trouvé sur internet un site expliquant qu'il les cubes d'unité , 3, 7 et 8 avaient pour unité le complément à 10, mais existe-t-il une démonstration?

Je n'ai rien de très satisfaisant, mais on peut montrer que, si le chiffre des unités d'un nombre x est a, alors le chiffre des unités de x^3 est le même que le chiffre des unités de a^3 ( pour cela, observer que x=10*n+a, et développer x^3). Ensuite, regarder le chiffre des unités de 2^3, 3^3, etc.
Remarque : La propriété est vraie pour tous les chiffres sauf 4 et 9, qui sont des carrés.

Merci! Ma fille entre en cm1 mais elle pose souvent des questions difficiles (en même temps, j'apprends des choses).

Si elle est en CM1, développer (10n+a)^3 n'est pas une idée pertinente !

Si elle est demandeuse, tu peux essayer de lui montrer sur des exemples de nombres à deux chiffres, en posant les multiplications, que le chiffre des unités "viendra" forcément de a (on sait poser des multiplications en fin de CE2 ?).

C'est bien qu'elle se pose des questions sur les chiffres, cela prouve sans doute qu'ils ont une vie dans son cerveau, elle fera peut-être une thèse d'arithmétique plus tard !

Je me rappelle que ma fille m'avait dit : "Je n'ai jamais rencontré 13 ni 17 dans mes tables, c'est parce qu'on ne les a pas toutes apprises ? " "Non ma chérie, c'est parce que ce sont des nombres premiers   !

Oui, oui, on sait poser des multiplications en fin de CE2. Avant on abordait aussi la division en CE2 il me semble. En fait on fait pas mal de choses en primaire, fractions, nombres décimaux, géométrie, c'est assez riche et intéressant.

dandelion a écrit:Merci! Ma fille entre en cm1 mais elle pose souvent des questions difficiles (en même temps, j'apprends des choses).

Merveilleuses questions chez une petite de cm1   :shock: 

Quelques idées :
2x2x2=(2x2)x2=(5-1)x2=10-2
3x3x3=(3x3)x3=(10-1)x3=30-3=20+(10-3)
5x5x5=(5x5)x5=(26-1)x5=130-5=120+(10-5)
7x7x7=(7x7)x7=(50-1)x7=350-7=340+(10-7)
8x8x8=(8x8)x8=(65-1)x8=520-8=510+(10-8)

Et

1x1x1=(1x1)x1=1x1=1
4x4x4=(4x4)x4=(15+1)x4=60+4
5x5x5=(5x5)x5=(24+1)x5=120+5
6x6x6=(6x6)x6=(35+1)x6=210+6
9x9x9=(9x9)x9=(80+1)x9=720+9

Remarquons aussi que les unités des cubes de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9 sont 0, 1, 8, 7, 4, 5, 6, 3, 2 et 9 (les mêmes, donc, mais dans le désordre).

http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/FORMATIO/Unite.htm#unite

Les unités des puissances de quatre sont encore plus "drôles".

1^4 = 1
2^4 = 16
3^4 = 81
4^4 = 256
5^4 = 625
6^4 = 1296
7^4 = 2401
8^4 = 4096
9^4 = 6561

   

C'est lié au fait que 10=2 fois 5 ce qui permet d'avoir bcp de solutions à l'équation x^3 congru à +/- x modulo 10; dans certains cas cela vient du fait que x^2 est congru à -1 modulo 10 (ou 1) dans d'autres c'est -1 modulo 2 ou 5 et on multiplie respectivement par 5 ou 2 derrière pour revenir à du modulo 10.

Cela ne marche pas vraiment en base 8 mais fonctionne encore mieux en base 6 car 6=2 fois 3  

Base 8 : 1^3=1 / 2^3= 10 / 3^3 = 33 / 4^3 = 100 / 5^3 = 175 / 6^3= 324 / 7^3= 427 (marche pour 3, 5 et 7 car leurs carrés sont congrus à 1 modulo 8)
Base 6 : 1^3=1 / 2^3=12 / 3^3=43 / 4^3=144/ 5^3 = 325 (Marche tout le temps !  Alors que seul 5^2 est congru à 1 modulo 6)