Premier terme d'une suite

Bonjour, je souhaiterais savoir s'il y a une obligation ou une convention qui impliquerait que l'on doivent définir une suite avec u_0 comme premier terme (lorsque cela est possible).

Par exemple, pour la suite des nombres impairs, on lit sur presque tous les articles qu'elle est définie par u_n = 2n+1 et donc de premier terme
u_0 = 1.
Mais on peut très bien la définir par u_n=2n-1 avec pour premier terme u_1 = 1.

Doit-on en privilégier une plutôt qu'une autre?

(Par conséquent ma question s'étend à toutes les autres suites:
Par exemple, la suite des multiples de 5 à partir de 20. Y a-t-il une préférence entre:
* v_n=5n+20 qui aurait pour terme initial v_0 = 20
* v_n=5n définie pour n>=4 qui aurait pour terme initial v_4=20)

Merci!

Non.
Tu peux commencer ta suite au rang qui te convient.
Cependant, l'ensemble des entiers naturels commence à zéro, ce qui explique pourquoi on indice en général à partir de zéro ; mais ce n'est qu'un usage.

De fait tu peux faire commencer tes indices où tu veux.
Il suffit de le préciser.
L'avantage de commencer par 0 est que de u₀ à u_n il y a n changement d'indice.
L'avantage de commencer à u₁ est que le premier terme est numéroté 1. L'inconvénient est que le XXI^ème siècle commence en l'an 2001.

Pour faire plus scolaire, si (u_n) est une suite arithmétique de raison r alors u_n=u₀+n.r ce qui est plus simple que u_n=u₁+(n-1).r

Merci pour vos réponses!

Tu peux à priori commencer à l'indice que tu désires mais il n' y a pas de raisons mathématiques ( à ne pas confondre avec les raisons pratiques) pour commencer autre part que 0 pour une suite. A priori un suite est une fonction de IN dans IR et notée pour simplification u_n au lieu de u(n). mais ce choix est arbitraire on pourrait commencer à n'importe quel indice ( même négatif ) mais bon pour que tout le monde parle la même langue commencer à 0 me parait consensuel .

On commence où l'on veut.

Ce qui fait que le n-eme terme n'est pas toujours u_n, mais tant pis.

Pour les suites arithmétiques, je donne la relation u_n = u_p + (n-p) r qui fonctionne pour tous les indices n et p. Analogue pour les suites géométriques, en voyant cela comme des étages d'immeubles : pour aller du p-eme au n-eme étage, on monte (ou on descend si c'est négatif) n-p étage. Avec la chose bizarre au début : il y a n+1 niveaux dans un immeuble a n étages, en France en tout cas (les pays anglophones ne connaissent pas encore la 0 dans les ascenseurs et passent directement du -1 au 1, mais c'est une autre histoire...).

une question connexe : une suite finie, i.e. non définie à partir d'un certain rang, par exemple pour une relation de récurrence inapplicable, est-elle encore une suite ?

Je prétends que oui, mais je ne suis pas très à l'aise avec cette idée.

Si ta suite est finie alors c'est une suite logique, enfin je peux te trouver une formule qui te donne tout les termes de ta suite . ( ce qui tue la moitié des questions des tests de QI qui demande de trouver le terme suivant s'une suite "logique" )
Je verrais plutôt ce que tu me décrit comme un n-uplets : une quantité de n'éléments d'un ensemble positionnés dans un ordre déterminé ( non interchangeable comme dans une famille ).

Même pratique que Leshkal, u(n)=u(p)+(n-p)r et v(n)=v(p)*q^(n-p), j'appelle ces relations les propriétés caractéristiques des suites arithmétiques resp. des suites géométriques (avec la quantification qui va bien sur n et p, bien sûr).
Par contre pour moi une famille de réels indexée par un sous-ensemble de N n'est une suite que si ce sous-ensemble est un voisinage de plus l'infini.
Ou alors tu prolonges à N en posant u(n)=0 pour les termes manquants, et tu parles de suite presque nulle ; tout dépend du contexte dans lequel ta "suite" apparaît, bien sûr.

Si on prend comme définition, "une suite est une fonction définie sur N ou sur une partie de N" alors une suite pourrait être définie sur N\{x} non, pourtant il me semble que c'est impossible.

Exemple de la suite u(n)=f(n) avec f(n)=(n+5)/(n-4) fonction définie sur N\{4}.
On dit que la suite u(n) est définie sur N\{[0;4]} (ou pour n>4) et non sur N\{4} non? On omet les termes situés avant la valeur interdite.

Dans ce cas la définition devrait plutôt être "une suite est une fonction définie sur N ou éventuellement sur N\{[0;k]} avec k entier naturel". Qu'en pensez-vous?


J'ai parfois l'impression d'avoir des lacunes anormales pour mon statut. Signe que la formation n'est pas vraiment à la hauteur... C'est pas faute de bosser personnellement pourtant.

Non tu peux très bien définir une suite comme ceci :

u(3)=6
u(5)=9
pour n>=5, u(n+1)=3u(n)

Bon ça ne sert pas à grand chose mais c'est théoriquement possible... En fait c'est complètement con parce que que tu peux très bien "modifier" l'indexation de cette suite après coup en disant que u(3) est le premier terme (pour p=1), u(5) le deuxième etc. Finalement, tu te ramènes à la suite (v_p) définie par
v_1=6
v_2=9
etc...

Tu rencontres un peu ce genre de choses quand tu prends des suites extraites et que tu parles de sous-suites.
Par exemple, si tu considère la suite u_n = n pour n entier naturel.
Tu peux considérer la sous suite des u_(2p) (u0, u2, u4, u6 etc...)
Dans ce cas, tu vas dire que le premier terme de cette suite est u0, le deuxième u2, le troisième u4, le quatrième u6 etc. En gros tu vas la nommer v_p=u_2p et te ramener à une indexation sur N...

Ah oui? On peut faire ça?

Il peut manquer un terme dans une suite? Ici le terme d'indice 4 dans ton exemple.

J'ai édité mon message pour détailler un peu...

Étant donné qu'on définit une suite comme une application d'une partie de N dans R, il n'y a aucune raison que tu ne puisses pas le faire (il suffit de prendre N\{4} comme ensemble de départ et dans ce cas, 4 n'a pas d'image par ton application, autrement dit u_4 n'est pas défini). Par contre tu peux montrer que si ta suite est infinie, on peut se ramener à une indexation sur N, ce qui simplifie pas mal les choses... Donc on le fait et on ne se casse pas la tête !

Merci!

Pour être bien certain d'avoir compris.

Dans mon exemple: "u(n)=(n+5)/(n-4)" on peut se ramener à une indexation sur N qui serait v(n)=(n+10)/(n+1). On aurait donc v(0)=u(5)=10.

C'est bien cela?

Tout dépend comment tu as défini u_n.
- Si ta suite u_n est définie sur N\{0,1,2,3,4}, alors oui tu peux faire ça. Cela revient à définir v par v_n=u_{n+5} pour tout n entier naturel.
- Si ta suite est définie sur N\{4} (ce que tu souhaitais au début), il faudra plutôt définir (v_n) de la manière suivante :
v_n=u_n pour 0 <= n <=3
v_n=u_{n+1} pour n>=4

Quelle réactivité! :-)

Merci, tout est clair.