Remarques pour enseigner la multiplication et la division

Mais on fait comment pour mes invités et mes tables ?

120 invités divisé(s ?) par 8 invités = x tables ?

Lovizôle a écrit:Mais on fait comment pour mes invités et mes tables ?

120 invités divisé(s ?) par 8 invités = x tables ?

Au préalable se demander que va-ton chercher: des invités ou des tables? A partir de là les élèves vont comprendre que ce sont des tables occupées par des invités que ns allons trouver... non?

Oui. Ils ont donc déterminé l'unité avant. Elle est d'ailleurs (très souvent, du moins implicitement) dans la question.
Et ensuite, ils font un "calcul", avec des nombres - ou plutôt, ils mettent ces nombres en relation correcte entre eux par l'intermédiaire d'un ou plusieurs opérateurs. Relation indépendante des unités en jeu.
Ce serait une équation identique avec 120 billes à mettre dans des sacs de 8.

La difficulté, pour un élève d'élémentaire, me semble moins relever de la détermination de l'unité, que justement de ce passage du concret particulier à l'opération.
12 sachets à 4 euros coûtent souvent 16 euros, chez moi.

Ensuite ils font leurs calculs en colonnes (qd nécessaire) dans la partie "opérations" sans les unités.

Dugong a écrit:


Qui osera soutenir que 13 objets x 4 €/objet signifie exactement la même chose que 4 objets x 13 €/objet ?

Ce n'est pas exactement ce qui a été dit, je crois, mais que transcrire ce problème en 4 x 13 ou 13 x 4 est indifférent, dans la mesure où donner 4 euros 13 fois, cela revient exactement au même que de donner 13 € 4 fois.

Lovizôle a écrit:dans la mesure où donner 4 euros 13 fois, cela revient exactement au même que de donner 13 € 4 fois.

C'est mon opinion également.

Lovizôle a écrit:Mais on fait comment pour mes invités et mes tables ?

120 invités divisé(s ?) par 8 invités = x tables ?

120 invités divisés par 8 invités par table = x tables ?
analogue à :
120 km divisés par 8 km/h = x h ?

Lovizôle a écrit:La
représentation des problèmes multiplicatifs se fait par le passage du
cas particulier (le problème), à un schème (je ne sais pas si c'est le
terme exact : une fonction ?) invariant : une même quantité est présente
en plusieurs exemplaires.

Je pense au contraire qu'il est
nécessaire de se détacher momentanément de cette situation - qui parle
d'euros ou de mètres ou de cacahuètes- pour effectuer un calcul, et ne
considérer que les nombres.

L'utilisation systématique de schèmes me fait penser à la méthode de Singapour.

voir "La méthode de Singapour : une méthode modèle" par Jean-Michel Jamet

"Qu'est-ce que la méthode de Singapour ?"

et vidéo :

Je ne regarde pas tout de suite la vidéo parce que les mots "systématique" et "méthode modèle" ne correspondent pas à mon propos, qu'elle va sans doute amplifier.
Il ne s'agit pas de méthode mais, à mon humble avis, d'un fait : nous ne pouvons faire autrement que de raisonner par schèmes invariants, au risque de se perdre dans la diversité des cas particuliers, et que mon objectif à l'école est qu'une situation multiplicative ou additive, ou soustractive soit rapidement reconnue comme telle afin d'être résolue, c'est-à-dire réduite momentanément à une relation entre nombres.
Ceci dit, ça m'est complètement égal que vous mettiez les unités dans vos lignes de caculs (ce qui induit en plus que poser en ligne est différent que de poser en colonne, alors que justement je tends plutôt à les faire compter le plus possible lors de l'étape "ligne"), juste que je procède différemment, et que cela n'a rien de pavlovien. C'est un minimum réfléchi.

Cette étape du "peu importe qu'il s'agisse d'euros ou de trombones" me semble indispensable dans la résolution du problème (on se dégage ainsi de la manipulation de grandeurs concrètes, des objets réels) et peut se matérialiser justement par cette ligne finalement abstraite qu'est 4x13 (ou 13X4, du coup) = ?

Ainsi, en ne considérant que les nombres, on pourra changer de place les termes de l'addition ou de la multiplication afin de simplifier le calcul, ou utiliser la stratégie qui nous convient pour arriver au résultat. (Certains élèves préféreront, face à cette opération, faire mentalement 26 + 26 - ce qui ne correspond pas du tout au concret, mais qui finalement me sied bien.)

Lovizôle a écrit:
La difficulté, pour un élève d'élémentaire, me semble moins relever de la détermination de l'unité, que justement de ce passage du concret particulier à l'opération.
12 sachets à 4 euros coûtent souvent 16 euros, chez moi.

Là, j'ai du mal à comprendre : si "12 sachets à 4 euros coûtent souvent 16 euros" ça relève bien d'une absence de détermination de l'unité, non ?
Quand on cherche un prix, à l'école élémentaire, on doit savoir qu'on aura à ajouter-soustraire des euros entre eux, ou la les multiplier-diviser par un nombre d'objets concrets. Un élève de fin de CP doit savoir qu'on n'ajoutera pas des "euros" et des "sachets". Pourquoi chercher à opposer "détermination de l'unité" et " passage à l'abstraction" ?

Lovizôle a écrit:dans la mesure où donner 4 euros 13 fois, cela revient exactement au même que de donner 13 € 4 fois.

Il n'y a qu'une seule chose qui soit "exactement" la même, c'est la somme finale détenue et encore, je ne suis pas sûr de préférer recevoir 4 € tous les mois pendant 13 mois * plutôt que l'AUTRE possibilité qui N'EST PAS la même chose.

Ce qui m'échappe c'est, une fois englué dans le "réel" et son soi-disant caractère "concret", la volonté farouche d'identifier un processus à un de ses résultats. Ce que les élèves ne font pas forcément (c'est même, peut-être un signe d'intelligence de leur part).

Il faut peut être se résigner à cette "aporie" de la pédagogie du calcul : on ne peut se passer de plonger l'objet en question dans le réel et cela le détruit ** en partie.

Faut-il s'étonner que les élèves - y compris les bosseurs - arrivent en seconde massivement emplis de confusion ?

* demandez à votre banque si vraiment "c'est la même chose" ...

** en général par une sorte d'étouffement. Comme une sorte de gangue qui finit par emprisonner l'objet et à le dissimuler à la vision (étymologiquement, il n'y a plus alors de "théorème")

La méthode de Singapour ne prévoit aucune vérification ???
Qui, dans sa classe, ne fait pas de modélisation ??

Lovizôle : pour revenir sur ces histoires d'unités et de sens des opérations, un élève a présenté il y a quelques jours un exposé sur les volcans, à la suite d'une visite à Vulcania. Comme il avait apporté des pierres de lave, nous avons procédé à des calculs de densité, en comparaison avec d'autres objets de la classe de volume similaire. Or, comme dans toutes les situations de proportionnalité abordées au CM2, il est crucial de savoir ce que l'on cherche. La densité, dans ce cas, se calcule en g/cm³. Imagine que l'on inverse les termes...

C'est pour cela que je fais très attention, en résolution de problèmes, à ce que les élèves identifient bien ce qu'ils attendent comme unité finale, et dans quel sens présenter leur calcul en ligne. Si l'on attend la division pour leur expliquer que dans une situation concrète, l'ordre des termes n'est pas indifférent, c'est, à mon sens, un peu tard.

Il y a la soustraction aussi.

Bon, je ne nie pas le caractère essentiel de la détermination de l'unité, mais suppose juste qu'elle ne relève pas de la même étape que celle du calcul.
Ainsi, je préfère amener les élèves à utiliser les propriétés des opérations indépendamment des objets, que de les laisser englués dans leurs 13 petits tas de 4 euros en se disant que c'est quand même moins cher chez Netto.
(Je crois que c'est ma conclusion, sinon je vais tourner en boucle )

Oui, la soustraction aussi, évidemment. Mais, puisqu'on en parle, même au CP et pour des additions, je demandais que le calcul en ligne soit présenté dans l'ordre de l'énoncé : la rigueur me semble essentielle. Evidemment, libre à eux, et je les y encourageais, à calculer 7 + 5 + 3 + 5 en rapprochant 7 de 3 et 5 de 5.
Je préfère donc détacher le raisonnement de l'habileté calculatoire.

Petit texte de Rudolf Bkouche sur ce sujet : http://michel.delord.free.fr/rb/rb-calcul2005.pdf
D'autres viendront bientôt.

Avatar des Abysses a écrit:Question subsidiaire : En quelle année est appris le mot "commutativité"? primaire ? collège ? lycée ? supérieur ?
Les élèves savent que 4x13 = 13x4 mais ne connaissent pas le nom de la propriété, quel dommage.

Moi je l'enseigne en CM1 et CM2. Puisque la notion est introduite pourquoi ne pas dire son nom ?

Spinoza1670 a écrit:Petit texte de Rudolf Bkouche sur ce sujet : http://michel.delord.free.fr/rb/rb-calcul2005.pdf
D'autres viendront bientôt.

Je n'aime pas du tout la distinction entre nombre concret et nombre abstrait faite dans ce lien.
J'aurais plutôt tendance à introduire les unités comme facteurs du produit.
Du genre 4 fois pomme fois 5 = 4 fois 5 fois pomme = 20 fois pomme
Le résultat est écrit sous la forme standard : 20 pommes.
On peut remarquer que j'ai utilisé l'associativité et la commutativité de la multiplication.
Au passage c'est ce qui justifie un calcul du genre 15 km/h x 2 h =15 km x 2 h/h =30 km

On peut dire aussi 4 pommes par paquet multipliées par 5 paquets = 20 pommes.
Dans ce cas, je n'ai pas l'impression que le multiplicateur soit un nombre abstrait. Mais les termes en gras sont sous-entendus par R. Bkouche.
Cependant cela permettrait d'unifier la représentation de beaucoup de (tous ?) problèmes multiplicatifs concrets, et aussi d'aborder les problèmes de densité et de vitesse (et autres pb de la forme "un certain nombre de a/b multipliés par un certain nombre de b") avec plus de facilité.

Pour les unités comme facteurs du produit, et l'utilisation de l'associativité et de la commutativité, je ne réponds pas tout de suite.

Je n'ai pas du tout l'impression que R. Bkouche ait sous-entendu ce que tu suggères, et que je trouve plutôt bien vu.
Il fait une distinction claire et insistante entre nombre concret et nombre abstrait.
À mon avis cette distinction est au mieux inutile, au pire catastrophique pour les élèves qui la prendront au sérieux.

Pour autant que je sache, l'idée de base dans la suppression des unités était juste : on fait des calculs sur des nombres (nombres abstraits dans la terminologie de R. Bkouche) et on s'occupe séparément de la concordance des unités.
Pour reprendre l'exemple précédent : on à cinq paquets , et il y a quatre pommes par paquet.

• En multipliant des paquets par des pommes/paquet on obtient des pommes (vérification des unités)
  
• 4x5=20 (calcul)
  
• Conclusion : on a 20 pommes

Le problème est que le premier point est très lourd, et qu'il a été souvent négligé. Mais j'ai enseigné comme ça en sixième du temps où j'étais jeune et respectueux des instructions officielles. Ça marche.
L'avantage est que l'on a pas de problème dans la phase de calcul : on applique des règles générales sur les nombres et les opérations. Règles qui sont valables dans tous les cas.

La méthode consistant à écrire les unités dans le calcul me semble finalement préférable, surtout quand, comme tu le fais dans le message précédent, il n'y a pas de nombres sans unités.

Encore que, dans la méthode de R. Bkouche, on se retrouve quasiment naturellement dans une structure d'espace vectoriel, avec les nombres abstraits comme scalaires. C'est intéressant d'un point de vue théorique. Il est sans doute algébriste...

Enfin, je ne suis pas instituteur. Même si cette question m'intéresse vraiment je ne me suis jamais affronté à la question d'apprendre la multiplication ou la division à des enfants n'en sachant rien. Ce qui rend mon avis aussi peu pertinent que celui de R. Bkouche.

verdurin a écrit:
La méthode consistant à écrire les unités dans le calcul me semble finalement préférable, surtout quand, comme tu le fais dans le message précédent, il n'y a pas de nombres sans unités.

Encore que, dans la méthode de R. Bkouche, on se retrouve quasiment naturellement dans une structure d'espace vectoriel, avec les nombres abstraits comme scalaires. C'est intéressant d'un point de vue théorique. Il est sans doute algébriste...

Enfin, je ne suis pas instituteur. Même si cette question m'intéresse vraiment je ne me suis jamais affronté à la question d'apprendre la multiplication ou la division à des enfants n'en sachant rien. Ce qui rend mon avis aussi peu pertinent que celui de R. Bkouche.

La question ne date pas d'hier. Pourquoi croyez-vous que Borel et Poincaré louaient les maître du début du XXe siècle? Avez-vous lu Whitney, Lebesgue?

A propos de votre dernière phrase, il ne tient qu'à vous de réfléchir à ce type de question. Croyez-le ou non mais Rudolf Bkouche n'est pas tombé de la dernière pluie pédagogique. J'ajoute que l'argument "votre avis de scientifique n'est forcément pas pertinent" a été souvent le seul argument opposé aux scientifiques comme Demailly, Lafforgue, et la liste est longue comme le bras (y compris dans le passé).

Comme vous dites: "naturellement" il y a un parfum d'espace vectoriels. Est-ce que cela aurait pas un lien avec la méthode intuitive de Buisson?

En fait, curieusement, au GRIP il y a des instituteurs chevronnés, des professeurs, des chercheurs et leur avis convergent. Etonnant non?

De Lebesgue, je ne connais que l'intégrale.

Mais devant un tel amas d'arguments d'autorité, on ne peut que s'incliner.

Curieusement, je préfère les gens qui parlent de leur expérience, et je croyais que c'était le sujet de ce fil.
Ceci étant ton message ne m'étonne pas tant que ça, j'ai appris que penser était difficile. Et que le besoin de soumission à l'autorité est presque universel.
Cher Anaxagore tu devrais aller enseigner en IUFM, ton message montre que tu as les qualités nécessaires pour égaler Mérieux.

Ps Je rajoute une citation

Anaxagore a écrit:

La question ne date pas d'hier. Pourquoi croyez-vous que Borel et Poincaré louaient les maître du début du XXe siècle? Avez-vous lu Whitney, Lebesgue?

A propos de votre dernière phrase, il ne tient qu'à vous de réfléchir à ce type de question. Croyez-le ou non mais Rudolf Bkouche n'est pas tombé de la dernière pluie pédagogique. J'ajoute que l'argument "votre avis de scientifique n'est forcément pas pertinent" a été souvent le seul argument opposé aux scientifiques comme Demailly, Lafforgue, et la liste est longue comme le bras (y compris dans le passé).

Comme vous dites: "naturellement" il y a un parfum d'espace vectoriels. Est-ce que cela aurait pas un lien avec la méthode intuitive de Buisson?

En fait, curieusement, au GRIP il y a des instituteurs chevronnés, des professeurs, des chercheurs et leur avis convergent. Etonnant non?

Mon message ne vous invite pas à vous incliner, mais vous invite au contraire à connaître ce qui a été écrit autour de cette question, à ne pas vous déclarer incompétent en la matière et à ne pas déclarer que les autres le sont aussi, vous me sembliez avoir des jugements bien arrêtés sur Rudolf Bkouche.

verdurin a écrit:Je n'ai pas du tout l'impression que R. Bkouche ait sous-entendu ce que tu suggères, et que je trouve plutôt bien vu.
Il fait une distinction claire et insistante entre nombre concret et nombre abstrait.

OUi, Bkouche ne suggère pas ce que j'ai écrit. Le multiplicateur, dans la perspective de cette définition de la multiplication, est toujours un nombre abstrait (un nombre de fois).
Pour les aires, par exemple, la formule traduisant l'énoncé du problème sera : (multiplicande en m carrés) multipliés par (multiplicateur nb abstrait) = aire en mètres carrés.
Pour les vitesses, je ne sais pas comment c'est traduit.
au lieu de dire "100 km/h X 3 h = 300 km", si on dit juste "100 km X 3 = 300 km", on est bien obligé de faire alors comme si h était sous-entendu, même si Bkouche ne le sous-entend pas.

Il y a plusieurs manières de voir les choses qui font surgir des notions plus ou moins élaborées. Pour le primaire il me semble raisonnable de commencer par dire qu'en 3 heures on aura parcouru 3 fois plus qu'en 1 heure.

On pourrait penser que l'ancienne terminologie nombre abstrait et nombre concret traduit une fausse opposition abstrait/concret, mais elle était surtout là pour amener implicitement la disctinction scalaire/vecteur.

Cette distinction, dans ce que j'ai lu (Royer &Court, Delfaud & Millet, par exemple), n'était pas évoquée de manière explicite dans les ouvrages pour les élèves, même si cette terminologie "existait". Cela mérite une enquête.