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Anaxagore
Empereur

Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ? - Page 3 Empty Re: Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ?

par Anaxagore le Lun 20 Fév 2017 - 17:06
@AndréC a écrit:
@Anaxagore a écrit:

J'entends ces objections, je m'interroge comme toi, mais il faut reconnaître que le cours de géométrie façon Lebossé-Hemery ou cours des EPS était sacrément efficace et ceci auprès d'un large public. Tout ceci sans pour autant négliger la part théorique ni la construction du cours; les élèves se saisissaient bien de ces outils théoriques simplement formulés.
Le cours de géométrie façon Lebossé-Hemery de 1947 s'adressait à une minorité sélectionnée.

En 1947, la très grande majorité des élèves (enfants de paysans) n'allaient pas au delà de l'école primaire (dont le niveau d'enseignement est à peu près équivalent à une classe de cinquième d'aujourd'hui, voire plus difficile).
A la fin du primaire, il y a avait le certificat d'étude, examen difficile qui remplissait de fierté ceux qui l'obtenaient.

Par la suite, le collège unique ne fut jamais unique, aujourd'hui il est unique puisque presque toute la totalité des enfants du primaire vont jusqu'en troisième sans possibilité de redoublement.

L'on n'enseigne plus aujourd'hui aux mêmes élèves qu'à l'époque. Ainsi, difficile de dire que la façon d'enseigner la géométrie à l'époque était plus accessible.
Personnellement, je ne crois pas. A l'époque la sélection était plus importante et était basée sur les résultats scolaire alors qu'aujourd'hui elle se fonde sur la capacité financière des parents à payer une école privée (ou des cours particuliers) à leurs enfants.

Le collège unique, c'est le collège du fric, mais c'est un autre débat...

Le cours de géométrie des Écoles primaires supérieures était excellent.
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AndréC
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Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ? - Page 3 Empty Re: Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ?

par AndréC le Lun 20 Fév 2017 - 17:48
@Peinard a écrit:
@AndréC a écrit:Comment allez-vous faire ?
C'est simple, définissez rigoureusement ce dont vous parlez afin de ne parler pas d'abus de langage aux élèves...
Avez-vous lu le programme officiel ?
ycombe
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Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ? - Page 3 Empty Re: Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ?

par ycombe le Lun 20 Fév 2017 - 17:50
@verdurin a écrit:
@ycombe a écrit:
celinesud a écrit:Pour un élève, n'est-il pas tout de même plus prudent de parler de "superposable" ?
Tu vas parler d'expressions équivalentes ou d'expressions égales, pour 2x+6 et 2(x+3)?

Je dirais « quelque soit le réel x, 2x+6=2(x+3) » que l'on abrège par « 2x+6=2(x+3) ».

Mais ces expressions sont effectivement égales dans un sens plus fort :
si, dans un calcul, je rencontre 2(x+3), je peux le remplacer par (2x+6), et vice versa.

Etant donnée une deux expressions littérales (de variable x) A et B , on dit que A et B sont égales lorsque, pour tout nombre réel, la substitution de la variable par ce nombre donne le même résultat dans les deux expressions.

Comme il n'est pas possible de calculer ces valeurs dans une infinité de cas, on utilise le raisonnement basé sur quelques règles pour assurer que des expressions sont égales.

Par exemple, x+x et 2x sont deux expressions égales puisque si on ajoute un nombre à lui-même, on obtient le même résultat que si on le multiplie par 2. On est ainsi en droit d'écrire x+x = 2x. C'est une égalité d'expressions littérales et pas de nombres. Cette égalité nous assure que, quelque soit le nombre que nous substitueront à x, une fois le calcul effectué les expressions x+x et 2x donneront le même résultat.

Pour passer d'une expression littérale à une expression littérale égale, on peut utiliser les règles suivantes:
- factorisation
- développement
- réduction, qui un cas particulier de factorisation

Par exemple, la règle de développement permet de savoir que 2(x+3) et 2x + 6 sont égales. On est en droit d'écrire 2(x+3)=2x+6, et cette égalité nous garantit que, quelque soit le nombre réel que l'on substituera à x, les deux calculs donneront le même résultat.

Une telle égalité entre expressions littérales est appelée identité. (a+b)²=a²+2ab+b² est un exemple d'identité. certaines identités sont particulièrement utilisées et doivent être connues par cœur, on les appelle les identités remarquables.

Il arrive qu'on écrive une égalité entre expressions littérales sans savoir ces expressions égales. Dans ce cas, ce qu'on écrit est une équation. Une équation est une égalité entre expressions littérales qui n'est à priori pas vraie pour toutes les valeurs de la variable (ou des variables). Les variables sont alors appelées inconnues et résoudre l'équation, c'est trouver les nombres à substituer à l'inconnue pour rendre cette égalité vraie.

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Franck Ramus : "Les sciences de l'éducation à la française se font fort de produire un discours savant sur l'éducation, mais ce serait visiblement trop leur demander que de mettre leur discours à l'épreuve des faits".
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par ycombe le Lun 20 Fév 2017 - 18:19
@AndréC a écrit:
@Anaxagore a écrit:

J'entends ces objections, je m'interroge comme toi, mais il faut reconnaître que le cours de géométrie façon Lebossé-Hemery ou cours des EPS était sacrément efficace et ceci auprès d'un large public. Tout ceci sans pour autant négliger la part théorique ni la construction du cours; les élèves se saisissaient bien de ces outils théoriques simplement formulés.
Le cours de géométrie façon Lebossé-Hemery de 1947 s'adressait à une minorité sélectionnée.
Les mêmes manuels ont été réédités (à chaque changement de programme) jusqu'aux maths modernes. Ils ont été utilisés pendant toute la massification des années 50-60.


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Peinard
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Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ? - Page 3 Empty Re: Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ?

par Peinard le Lun 20 Fév 2017 - 18:22
@AndréC a écrit:
@Peinard a écrit:C'est simple, définissez rigoureusement ce dont vous parlez afin de ne parler pas d'abus de langage aux élèves...
Avez-vous lu le programme officiel ?
Pour quelle raison définir des triangles égaux comme étant des triangles superposables poserait un problème?
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AndréC
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Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ? - Page 3 Empty Re: Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ?

par AndréC le Lun 20 Fév 2017 - 18:32
@Peinard a écrit:
@AndréC a écrit:
@Peinard a écrit:C'est simple, définissez rigoureusement ce dont vous parlez afin de ne parler pas d'abus de langage aux élèves...
Avez-vous lu le programme officiel ?
Pour quelle raison définir des triangles égaux comme étant des triangles superposables poserait un problème?
Parce que des segments égaux ne sont pas définis explicitement dans le programme comme superposables mais implicitement (de part les notations introduites) comme des ensembles de points.


Dernière édition par AndréC le Lun 20 Fév 2017 - 23:45, édité 1 fois
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AndréC
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Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ? - Page 3 Empty Re: Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ?

par AndréC le Lun 20 Fév 2017 - 18:45
@ycombe a écrit:
@AndréC a écrit:
Le cours de géométrie façon Lebossé-Hemery de 1947 s'adressait à une minorité sélectionnée.
Les mêmes manuels ont été réédités (à chaque changement de programme) jusqu'aux maths modernes. Ils ont été utilisés pendant toute la massification des années 50-60.

La massification des années 50-60 ? Disons une première ébauche.

Pour ceux qui ont oublié le système de sélection de ces années, je rappelle :
1. qu'il y avait un examen d'entrée en sixième classant les élèves en 3 niveaux :
- P1, élèves destinés aux études longues après le BAC;
- P2, élèves destinés à faire des études courtes après le BAC;
- P3, élèves destinés aux études professionnelles.
2. qu'il y avait une sélection au passage en 5e, où les plus faibles étaient réorientés vers une 5e de transition
3. qu'il y avait une sélection au passage en 4e, où les plus faibles étaient réorientés en CAP
4. etc.


Dernière édition par AndréC le Lun 20 Fév 2017 - 23:46, édité 6 fois
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Peinard
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Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ? - Page 3 Empty Re: Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ?

par Peinard le Lun 20 Fév 2017 - 18:47
@AndréC a écrit:
@Peinard a écrit:Pour quelle raison définir des triangles égaux comme étant des triangles superposables poserait un problème?
Parce que des segments égaux ne sont pas définis explicitement dans le programme comme superposables mais implicitement (de part ls notations introduites) comme des ensembles de points.
On tourne en rond depuis le début de ce topic.
Parlez d'abus de langage si cela vous chante...
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AndréC
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Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ? - Page 3 Empty Re: Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ?

par AndréC le Lun 20 Fév 2017 - 18:55
@Peinard a écrit:
@AndréC a écrit:
@Peinard a écrit:Pour quelle raison définir des triangles égaux comme étant des triangles superposables poserait un problème?
Parce que des segments égaux ne sont pas définis explicitement dans le programme comme superposables mais implicitement (de part ls notations introduites) comme des ensembles de points.
On tourne en rond depuis le début de ce topic.
Parlez d'abus de langage si cela vous chante...
Cela ne m'enchante pas sinon je n'aurai pas initié ce fil de discussion. Et lorsque vous dites
@Peinard a écrit:C'est simple, définissez rigoureusement ce dont vous parlez afin de ne parler pas d'abus de langage aux élèves...
je me demande si vous avez lu le programme et compris son esprit puisqu'il précise d'introduire les notions selon leur utilité et sans trop d'exigence concernant le formalisme (entendre sans trop de rigueur).
Et donc :
- quelle est l'utilité d'introduire une notation spécifique pour la longueur d'un segment (dès le cycle 3) si je peux me permettre d'écrire [AB] = [CD] = 3 cm ?
- quelle est l'utilité d'introduire la notation ensembliste « appartient à » ( ∈ )  (dès le cycle 3) ?

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chmarmottine
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Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ? - Page 3 Empty Re: Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ?

par chmarmottine le Lun 20 Fév 2017 - 20:42
Je n'ai pas lu tous les nouveaux programmes en détail (je suis depuis l'an dernier en lycée), mais jusqu'ici, la droite était enseignée en 6e comme un ensemble de points et de là découlaient segment, demi-droite, ... Il était alors hors de question d'écrire [AB]=[CD] à moins que les dits-segments soient confondus. Mais j'ai dû enseigner des âneries pendant un certain nombre d'année. J'imagine que les égalités de triangles sont dans les programmes pour approcher l'idée que pour avoir "un" triangle, il suffit de donner un angle et les longueurs des côtés de cet angle, ou ... Parce que jusqu'ici on ne l'évoquait pas, on s'en servait lors des constructions sans le dire. Est-ce qu'il y a plus d'attendus à ce sujet dans les nouveaux programmes ?
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AndréC
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Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ? - Page 3 Empty Re: Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ?

par AndréC le Lun 20 Fév 2017 - 20:46
celinesud a écrit: J'imagine que les égalités de triangles sont dans les programmes pour approcher l'idée que pour avoir "un" triangle, il suffit de donner un angle et les longueurs des côtés de cet angle, ou ... Parce que jusqu'ici on ne l'évoquait pas, on s'en servait lors des constructions sans le dire. Est-ce qu'il y a plus d'attendus à ce sujet dans les nouveaux programmes ?
Et c'est bien parce que l'on parle désormais d'égalité de triangles que je vois mal comment faire autrement que de parler aussi d'égalité de segments (dans le même esprit).
Les élèves ne comprendraient pas pourquoi l'égalité serait réservée aux triangles.
Naturellement, cette égalité s'étend à tous les objets géométriques.
ycombe
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Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ? - Page 3 Empty Re: Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ?

par ycombe le Lun 20 Fév 2017 - 20:59
@AndréC a écrit:
- quelle est l'utilité d'introduire une notation spécifique pour la longueur d'un segment (dès le cycle 3)  si je peux me permettre d'écrire [AB] = [CD] = 3 cm ?
L'égalité entre segments correspond à la superposition, pas à la mesure. Donc dans [AB] = [CD] = 3 cm, le troisième terme me semble en trop. Les segments sont égaux, ils mesurent 3 cm, mais 3 cm n'est pas égal à un segment.

AB est utilisé pour la mesure, donc AB = CD = 3 cm me va.

Cela dit, ces notations strictes n'existaient pas avant les maths modernes. On parlait de droite AB, de segment AB, de longueur AB sans notation particulière. On définissait les opérations sur les segments (somme de deux segments, différence) avant même d'avoir parlé de mesure:

Je reposte cette image, jetez un oeil sur les notations pour les segments: AB y est une abréviation pour "segment AB".
Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ? - Page 3 Brachet%252C%2BDumarqu%25C3%25A9%252C%2BArithm%25C3%25A9tique%252C%2Balg%25C3%25A8bre%252C%2Bg%25C3%25A9om%25C3%25A9trie%2B5e%2B1939_0056


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AndréC
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Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ? - Page 3 Empty Re: Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ?

par AndréC le Lun 20 Fév 2017 - 21:01
celinesud a écrit:Je n'ai pas lu tous les nouveaux programmes en détail (je suis depuis l'an dernier en lycée), mais jusqu'ici, la droite était enseignée en 6e comme un ensemble de points et de là découlaient segment, demi-droite, ... Il était alors hors de question d'écrire [AB]=[CD] à moins que les dits-segments soient confondus. Mais j'ai dû enseigner des âneries pendant un certain nombre d'année.
L'esprit des nouveaux programmes débute en cycle 3 avec la différentiation entre la géométrie dessinée et la géométrie mathématique reprenant ici les travaux de Jean-Philippe Rouquès et Catherine Houdement http://www.irem.sciences.univ-nantes.fr/archives/geometriePlane/geometriesDessineeAbstraite.pdf
Mais c'est en cycle 3 que s'introduisent les notations : ∈, [AB], (AB), [AB), AB, AOB
Il y a bien une distinction claire entre un segment et sa mesure (alors que l'angle lui est confondu avec sa mesure). Ce qui va forcement amener les élèves à poser la question de l'utilité de la notation de la longueur d'un segment...


Dernière édition par AndréC le Lun 20 Fév 2017 - 21:14, édité 1 fois
ycombe
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Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ? - Page 3 Empty Re: Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ?

par ycombe le Lun 20 Fév 2017 - 21:03
@AndréC a écrit:
- quelle est l'utilité d'introduire la notation ensembliste « appartient à » ( ∈ )  (dès le cycle 3) ?
Rigoureusement aucune. On s'en sert très peu au collège, de toutes façons. C'est le genre de truc qui peut attendre le lycée.

C'est un petit reste des maths modernes je pense. Comme les tableaux de proportionnalité et leur coefficient de proportionnalité.


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chmarmottine
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Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ? - Page 3 Empty Re: Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ?

par chmarmottine le Lun 20 Fév 2017 - 21:07
Voici ce que je viens de lire dans les accompagnements de programme du cycle 4 :
"Les cas d’égalité des triangles sont admis dès la 5e, essentiellement pour justifier qu’un
triangle peut être construit connaissant certains de ses éléments métriques. Leur emploi dans certaines démonstrations doit demeurer très modeste."
Quand je lis cela, je me demande s'il y a nécessité de formaliser quoi que ce soit là-dessus !
Cela revient à travailler dans le sens que j'indiquais plus haut. Je pense qu'il s'agit simplement de faire repérer aux élèves quelles sont les données qui permettent d'obtenir "un" triangle. De là à parler de triangles égaux, je n'en vois pas l'intérêt. Encore moins de segments égaux.
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Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ? - Page 3 Empty Re: Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ?

par AndréC le Lun 20 Fév 2017 - 21:10
@ycombe a écrit:
@AndréC a écrit:
- quelle est l'utilité d'introduire une notation spécifique pour la longueur d'un segment (dès le cycle 3)  si je peux me permettre d'écrire [AB] = [CD] = 3 cm ?
L'égalité entre segments correspond à la superposition, pas à la mesure. Donc dans [AB] = [CD] = 3 cm, le troisième terme me semble en trop. Les segments sont égaux, ils mesurent 3 cm, mais  3 cm n'est pas égal à un segment.

AB est utilisé pour la mesure, donc AB = CD = 3 cm me va.
Comment (sans trop de formalisme) faire saisir cette subtilité à un élève de fin de cycle 3 sachant que l'on confond sans aucun problème un angle et sa mesure ?
Quelle est l'utilité (au sens des nouveaux programmes) de ce distinguo pour un élève de cycle 3 ?

@ycombe a écrit:
Cela dit, ces notations strictes n'existaient pas avant les maths modernes. On parlait de droite AB, de segment AB, de longueur AB sans notation particulière. On définissait les opérations sur les segments (somme de deux segments, différence) avant même d'avoir parlé de mesure:
Moi aussi et je regrette que l'on n'ait pas mis dans le programme de lycée le soin d'introduire une vision ensembliste de la géométrie, réservant au collège une vision plus proche de celle d'Hadamard.

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Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ? - Page 3 Empty Re: Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ?

par AndréC le Lun 20 Fév 2017 - 21:12
celinesud a écrit:Voici ce que je viens de lire dans les accompagnements de programme du cycle 4 :
"Les cas d’égalité des triangles sont admis dès la 5e, essentiellement pour justifier qu’un
triangle peut être construit connaissant certains de ses éléments métriques. Leur emploi dans certaines démonstrations doit demeurer très modeste."
Quand je lis cela, je me demande s'il y a nécessité de formaliser quoi que ce soit là-dessus !
Cela revient à travailler dans le sens que j'indiquais plus haut. Je pense qu'il s'agit simplement de faire repérer aux élèves quelles sont les données qui permettent d'obtenir "un" triangle. De là à parler de triangles égaux, je n'en vois pas l'intérêt. Encore moins de segments égaux.
Pensez-vous que les élèves ne vont pas s'approprier ce vocabulaire qui simplifie tout et naturellement dire que deux segments sont égaux ?
Que ferez-vous lorsqu'un élève vous parlera de segments égaux ? L'écrira ?
ycombe
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Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ? - Page 3 Empty Re: Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ?

par ycombe le Lun 20 Fév 2017 - 22:10
@AndréC a écrit:
Quelle est l'utilité (au sens des nouveaux programmes) de ce distinguo pour un élève de cycle 3 ?
Parce que tu penses vraiment que chaque mot des programmes est soupesé pour être placé là en fonction de son utilité?

J'espère que tu n'as plus trop de cheveux sur la tête, parce que sinon, tu vas te les arracher...


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Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ? - Page 3 Empty Re: Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ?

par Moonchild le Mar 21 Fév 2017 - 1:06
@Peinard a écrit:
@AndréC a écrit:
@Peinard a écrit:C'est simple, définissez rigoureusement ce dont vous parlez afin de ne parler pas d'abus de langage aux élèves...
Avez-vous lu le programme officiel ?
Pour quelle raison définir des triangles égaux comme étant des triangles superposables poserait un problème?
Pour quelle raison définir des "équations égales" comme étant des équations dont les ensembles de solutions sont égaux poserait un problème ?

Plus sérieusement (même si ma question ci-dessus n'était pas uniquement une boutade), dans la mesure où l'approche actuelle de la géométrie au secondaire est encore un peu ensembliste (enfin sans que ça ne soit jamais vraiment formalisé, ce qui en soit est déjà un problème), parler de "triangles égaux" génère tout de même une certaine incohérence - ou tout du moins une ambiguïté - dans les conventions d'usage de l'égalité.
On peut toutefois considérer que, compte tenu de l'état de l'enseignement des mathématiques en France, après tout, on n'est plus à une incohérence près et on peut donc accepter la définition des "triangles égaux" en vertu de sa dimension historique et de son pouvoir évocateur d'un âge d'or de l'enseignement précédant l'apocalypse engendrée par les maths modernes.
A titre personnel, j'aurais tendance à préférer qu'on fasse un choix clair plutôt que de bricoler une créature de Frankenstein en rapiéçant des restes éparpillés de plusieurs programmes défunts.

@AndréC a écrit:
@ycombe a écrit:
Cela dit, ces notations strictes n'existaient pas avant les maths modernes. On parlait de droite AB, de segment AB, de longueur AB sans notation particulière. On définissait les opérations sur les segments (somme de deux segments, différence) avant même d'avoir parlé de mesure:
Moi aussi et je regrette que l'on n'ait pas mis dans le programme de lycée le soin d'introduire une vision ensembliste de la géométrie, réservant au collège une vision plus proche de celle d'Hadamard.
Ce serait une option envisageable, mais elle poserait le problème de l'articulation entre les deux : les conventions concernant l'égalité des figures étudiée au collège ne sont pas tellement compatibles avec l'égalité ensembliste abordée au lycée ; une telle rupture de contrat est-elle vraiment judicieuse sur le plan pédagogique ?

Plus globalement, je comprends très bien les réticences héritées du traumatisme des maths modernes, mais je suis plus surpris de ce qui me semble être un désintérêt pour l'aspect ensembliste - voire son rejet - dans le cadre du secondaire.
Comme je l'écrivais dans mon précédent message, les mathématiques modernes ont durablement marqué le supérieur et il ne serait plus question aujourd'hui d'y faire l'impasse sur la théorie des ensembles ; ces notions devenues élémentaires et essentielles dans l'activité de tous les mathématiciens quel que soit leur niveau doivent-elles être totalement évacuées du secondaire au motif des errements passés de ceux qui ont voulu réformer l'enseignement de cette discipline en le calquant jusqu'à l'absurde sur une construction axiomatique ? Ne serait-il pas intéressant de réintroduire au secondaire quelques bases de théorie des ensembles qui peuvent être réutilisées en lien avec les probabilités, les fonctions ainsi qu'avec la géométrie, comme une sorte de fil rouge rattachant entre elles ces différentes branches des mathématiques ?
J'en viens maintenant à la place de la géométrie ; on s'accordera sans aucun doute tous sur son intérêt pédagogique en tant qu'outil de développement du raisonnement (intérêt qui, actuellement, a presque totalement disparu compte tenu de la pauvreté des programmes et du niveau moyen des classes), mais comment doit-on l'envisager au secondaire ? On pourrait choisir de privilégier une approche inspirée d'Euclide qui est avant tout historique - quasiment "patrimoniale" - mais se retrouvera en quelque sorte isolée de la poursuite du cursus (au risque de ne quasiment plus être réinvestie en tant que telle une fois atteint un certain niveau d'étude) ; d'un autre côté, on pourrait aussi chercher à privilégier l'articulation de l'enseignement de la géométrie avec le reste de l'édifice mathématique, auquel cas la convergence vers une approche ensembliste serait plus indiquée.
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AndréC
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Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ? - Page 3 Empty Re: Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ?

par AndréC le Mar 21 Fév 2017 - 7:22
@Moonchild a écrit:
@AndréC a écrit:
Moi aussi et je regrette que l'on n'ait pas mis dans le programme de lycée le soin d'introduire une vision ensembliste de la géométrie, réservant au collège une vision plus proche de celle d'Hadamard.
Ce serait une option envisageable, mais elle poserait le problème de l'articulation entre les deux : les conventions concernant l'égalité des figures étudiée au collège ne sont pas tellement compatibles avec l'égalité ensembliste abordée au lycée ; une telle rupture de contrat est-elle vraiment judicieuse sur le plan pédagogique ?
Elle aurait le mérite de  calquer l'apprentissage des maths sur leur histoire.
Tout en sachant quand même que les transformations n'existent pas dans la géométrie d'Hadamard. Ce sont bel et bien des objets d'une géométrie ensembliste.
Une possibilité serait de faire étudier au lycée (dans la continuité du collège) la composition des translations, rotations, symétries, homothéties tout d'abord par leur effets sur les figures (même esprit qu'au collège) puis de faire émerger l'idée d'application du plan, de point et d'introduire les notations ensemblistes.
Cela permettrait d'introduire les structures  de groupe au travers de ces exemples « palpables » pour les élèves, etc.
Anaxagore
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Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ? - Page 3 Empty Re: Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ?

par Anaxagore le Mar 21 Fév 2017 - 10:47
A titre personnel, je ne suis pas loin de penser que ce qui est développé dans les Queysanne-Revuz qui vont de la 6e en 1965 à la 3e en 1968 puis de 2de en 1969 à la TC en 1971 serait idéal. Il faudrait avec ça une culture d'exercices et de problèmes suffisante, bien entendu.

Attention les dates sont importantes pour voir exactement à quoi je fais référence. (Je n'ai pas dit 6e en 1969.)

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Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ? - Page 3 Empty Re: Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ?

par jaybe le Mar 21 Fév 2017 - 12:17
Ceux qui connaissent bien les anciens (et moins anciens) ouvrages pourraient-ils dire s'ils ont déjà croisé l'écriture ABC=DEF ? ou triangle(ABC)=triangle(DEF) ? Si la réponse est non, qu'en penser ?

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Balthazaard
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Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ? - Page 3 Empty Re: Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ?

par Balthazaard le Mar 21 Fév 2017 - 13:38
@Moonchild a écrit:
@Peinard a écrit:
@AndréC a écrit:
@Peinard a écrit:C'est simple, définissez rigoureusement ce dont vous parlez afin de ne parler pas d'abus de langage aux élèves...
Avez-vous lu le programme officiel ?
Pour quelle raison définir des triangles égaux comme étant des triangles superposables poserait un problème?
Pour quelle raison définir des "équations égales" comme étant des équations dont les ensembles de solutions sont égaux poserait un problème ?

Plus sérieusement (même si ma question ci-dessus n'était pas uniquement une boutade), dans la mesure où l'approche actuelle de la géométrie au secondaire est encore un peu ensembliste (enfin sans que ça ne soit jamais vraiment formalisé, ce qui en soit est déjà un problème), parler de "triangles égaux" génère tout de même une certaine incohérence - ou tout du moins une ambiguïté - dans les conventions d'usage de l'égalité.
On peut toutefois considérer que, compte tenu de l'état de l'enseignement des mathématiques en France, après tout, on n'est plus à une incohérence près et on peut donc accepter la définition des "triangles égaux" en vertu de sa dimension historique et de son pouvoir évocateur d'un âge d'or de l'enseignement précédant l'apocalypse engendrée par les maths modernes.
A titre personnel, j'aurais tendance à préférer qu'on fasse un choix clair plutôt que de bricoler une créature de Frankenstein en rapiéçant des restes éparpillés de plusieurs programmes défunts.

@AndréC a écrit:
@ycombe a écrit:
Cela dit, ces notations strictes n'existaient pas avant les maths modernes. On parlait de droite AB, de segment AB, de longueur AB sans notation particulière. On définissait les opérations sur les segments (somme de deux segments, différence) avant même d'avoir parlé de mesure:
Moi aussi et je regrette que l'on n'ait pas mis dans le programme de lycée le soin d'introduire une vision ensembliste de la géométrie, réservant au collège une vision plus proche de celle d'Hadamard.
Ce serait une option envisageable, mais elle poserait le problème de l'articulation entre les deux : les conventions concernant l'égalité des figures étudiée au collège ne sont pas tellement compatibles avec l'égalité ensembliste abordée au lycée ; une telle rupture de contrat est-elle vraiment judicieuse sur le plan pédagogique ?

Plus globalement, je comprends très bien les réticences héritées du traumatisme des maths modernes, mais je suis plus surpris de ce qui me semble être un désintérêt pour l'aspect ensembliste - voire son rejet - dans le cadre du secondaire.
Comme je l'écrivais dans mon précédent message, les mathématiques modernes ont durablement marqué le supérieur et il ne serait plus question aujourd'hui d'y faire l'impasse sur la théorie des ensembles ; ces notions devenues élémentaires et essentielles dans l'activité de tous les mathématiciens quel que soit leur niveau doivent-elles être totalement évacuées du secondaire au motif des errements passés de ceux qui ont voulu réformer l'enseignement de cette discipline en le calquant jusqu'à l'absurde sur une construction axiomatique ? Ne serait-il pas intéressant de réintroduire au secondaire quelques bases de théorie des ensembles qui peuvent être réutilisées en lien avec les probabilités, les fonctions ainsi qu'avec la géométrie, comme une sorte de fil rouge rattachant entre elles ces différentes branches des mathématiques ?
J'en viens maintenant à la place de la géométrie ; on s'accordera sans aucun doute tous sur son intérêt pédagogique en tant qu'outil de développement du raisonnement (intérêt qui, actuellement, a presque totalement disparu compte tenu de la pauvreté des programmes et du niveau moyen des classes), mais comment doit-on l'envisager au secondaire ? On pourrait choisir de privilégier une approche inspirée d'Euclide qui est avant tout historique - quasiment "patrimoniale" - mais se retrouvera en quelque sorte isolée de la poursuite du cursus (au risque de ne quasiment plus être réinvestie en tant que telle une fois atteint un certain niveau d'étude) ; d'un autre côté, on pourrait aussi chercher à privilégier l'articulation de l'enseignement de la géométrie avec le reste de l'édifice mathématique, auquel cas la convergence vers une approche ensembliste serait plus indiquée.

Je frémis en vous lisant, je n'adhère pas du tout à vos propos. Je soupçonne une différence d'age et le fait que vous n'avez pas , au contraire de moi vécu cette époque où il était inconcevable qu'un prof de maths écrive quoi que ce soit sans l'avoir démontré dans une écriture cohérente et non ambiguë. Je regrette mille fois ces années qui justement m'ont donnée le gout des maths. Je suis persuadé que l'on faisait de bien belles choses "avant" à coup d'inversion ou de birapport par exemple mais je réfute les termes que vous utilisez pour qualifier une période qui pour moi était une apogée et non pas une amorce de décadence. La décadence nous la vivons, justement en réaction par les médiocres écartés des sphères de décision à cette époque.
Ces propos sont dans l'air du temps et leur emploi est directement proportionnel au nombre non-matheux ou de ceux qui justement n'ont pas vécu ce temps là et sont victimes de la désinformation qui a suivi. je ne sais plus la référence d'un article cité dans ce forum où l'auteur désignait le niveau en maths des années 1978 en Ts comme stratosphérique...à base de maths "modernes"...Qui préfère celui d'aujourd'hui?
J'ai fait mon primaire "avant", j'étais excellent élève pour les problèmes style certificat d'étude. Je suis entré en sixième "pendant", les maths "modernes" ont été une révélation.
Tout cela pour dire que je ne me reconnais vraiment pas dans la FORME de votre propos que je préfère continuer ( même si vous le réfutez) voir lié à une méconnaissance de la situation historique de l'enseignement des maths.

Fin du Hs
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AndréC
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Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ? - Page 3 Empty Re: Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ?

par AndréC le Mar 21 Fév 2017 - 20:27
@Anaxagore a écrit:A titre personnel, je ne suis pas loin de penser que ce qui est développé dans les Queysanne-Revuz qui vont de la 6e en 1965 à la 3e en 1968 puis de 2de en 1969 à la TC en 1971 serait idéal. Il faudrait avec ça une culture d'exercices et de problèmes suffisante, bien entendu.

Attention les dates sont importantes pour voir exactement à quoi je fais référence. (Je n'ai pas dit 6e en 1969.)
J'ai cherché ces livres sur le net et je ne les ai pas trouvé.
J'ai trouvé un fil de discussion sur ce forum où il est expliqué qu'il est possible de demander à la BNF leur numérisation. http://www.neoprofs.org/t91558-anciens-manuels-numerisation-des-livres-de-mathematiques-le-projet-relire-de-la-bnf

J'ai regardé sur le lien donné et je ne les ai pas trouvé
https://relire.bnf.fr/accueil

J'ai aussi cherché sur Gallica et je n'ai rien trouvé
http://gallica.bnf.fr

Avez-vous des URL où ces livres seraient consultables ? voire téléchargeable ?


Dernière édition par AndréC le Ven 24 Fév 2017 - 17:58, édité 1 fois
Moonchild
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Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ? - Page 3 Empty Re: Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ?

par Moonchild le Mar 21 Fév 2017 - 20:55
@Anaxagore a écrit:A titre personnel, je ne suis pas loin de penser que ce qui est développé dans les Queysanne-Revuz qui vont de la 6e en 1965 à la 3e en 1968 puis de 2de en 1969 à la TC en 1971 serait idéal. Il faudrait avec ça une culture d'exercices et de problèmes suffisante, bien entendu.

Attention les dates sont importantes pour voir exactement à quoi je fais référence. (Je n'ai pas dit 6e en 1969.)
Pour ceux qui n'ont pas l'accès à cette référence, quelle sont les grandes lignes de cette approche ?

@Balthazaard a écrit:
@Moonchild a écrit:
@Peinard a écrit:
@AndréC a écrit:
Avez-vous lu le programme officiel ?
Pour quelle raison définir des triangles égaux comme étant des triangles superposables poserait un problème?
Pour quelle raison définir des "équations égales" comme étant des équations dont les ensembles de solutions sont égaux poserait un problème ?

Plus sérieusement (même si ma question ci-dessus n'était pas uniquement une boutade), dans la mesure où l'approche actuelle de la géométrie au secondaire est encore un peu ensembliste (enfin sans que ça ne soit jamais vraiment formalisé, ce qui en soit est déjà un problème), parler de "triangles égaux" génère tout de même une certaine incohérence - ou tout du moins une ambiguïté - dans les conventions d'usage de l'égalité.
On peut toutefois considérer que, compte tenu de l'état de l'enseignement des mathématiques en France, après tout, on n'est plus à une incohérence près et on peut donc accepter la définition des "triangles égaux" en vertu de sa dimension historique et de son pouvoir évocateur d'un âge d'or de l'enseignement précédant l'apocalypse engendrée par les maths modernes.
A titre personnel, j'aurais tendance à préférer qu'on fasse un choix clair plutôt que de bricoler une créature de Frankenstein en rapiéçant des restes éparpillés de plusieurs programmes défunts.

@AndréC a écrit:
@ycombe a écrit:
Cela dit, ces notations strictes n'existaient pas avant les maths modernes. On parlait de droite AB, de segment AB, de longueur AB sans notation particulière. On définissait les opérations sur les segments (somme de deux segments, différence) avant même d'avoir parlé de mesure:
Moi aussi et je regrette que l'on n'ait pas mis dans le programme de lycée le soin d'introduire une vision ensembliste de la géométrie, réservant au collège une vision plus proche de celle d'Hadamard.
Ce serait une option envisageable, mais elle poserait le problème de l'articulation entre les deux : les conventions concernant l'égalité des figures étudiée au collège ne sont pas tellement compatibles avec l'égalité ensembliste abordée au lycée ; une telle rupture de contrat est-elle vraiment judicieuse sur le plan pédagogique ?

Plus globalement, je comprends très bien les réticences héritées du traumatisme des maths modernes, mais je suis plus surpris de ce qui me semble être un désintérêt pour l'aspect ensembliste - voire son rejet - dans le cadre du secondaire.
Comme je l'écrivais dans mon précédent message, les mathématiques modernes ont durablement marqué le supérieur et il ne serait plus question aujourd'hui d'y faire l'impasse sur la théorie des ensembles ; ces notions devenues élémentaires et essentielles dans l'activité de tous les mathématiciens quel que soit leur niveau doivent-elles être totalement évacuées du secondaire au motif des errements passés de ceux qui ont voulu réformer l'enseignement de cette discipline en le calquant jusqu'à l'absurde sur une construction axiomatique ? Ne serait-il pas intéressant de réintroduire au secondaire quelques bases de théorie des ensembles qui peuvent être réutilisées en lien avec les probabilités, les fonctions ainsi qu'avec la géométrie, comme une sorte de fil rouge rattachant entre elles ces différentes branches des mathématiques ?
J'en viens maintenant à la place de la géométrie ; on s'accordera sans aucun doute tous sur son intérêt pédagogique en tant qu'outil de développement du raisonnement (intérêt qui, actuellement, a presque totalement disparu compte tenu de la pauvreté des programmes et du niveau moyen des classes), mais comment doit-on l'envisager au secondaire ? On pourrait choisir de privilégier une approche inspirée d'Euclide qui est avant tout historique - quasiment "patrimoniale" - mais se retrouvera en quelque sorte isolée de la poursuite du cursus (au risque de ne quasiment plus être réinvestie en tant que telle une fois atteint un certain niveau d'étude) ; d'un autre côté, on pourrait aussi chercher à privilégier l'articulation de l'enseignement de la géométrie avec le reste de l'édifice mathématique, auquel cas la convergence vers une approche ensembliste serait plus indiquée.

Je frémis en vous lisant, je n'adhère pas du tout à vos propos. Je soupçonne une différence d'age et le fait que vous n'avez pas , au contraire de moi vécu cette époque où il était inconcevable qu'un prof de maths écrive quoi que ce soit sans l'avoir démontré dans une écriture cohérente et non ambiguë. Je regrette mille fois ces années qui justement m'ont donnée le gout des maths. Je suis persuadé que l'on faisait de bien belles choses "avant" à coup d'inversion ou de birapport par exemple mais je réfute les termes que vous utilisez pour qualifier une période qui pour moi était une apogée et non pas une amorce de décadence. La décadence nous la vivons, justement en réaction par les médiocres écartés des sphères de décision à cette époque.
Ces propos sont dans l'air du temps et leur emploi est directement proportionnel au nombre non-matheux ou de ceux qui justement n'ont pas vécu ce temps là et sont victimes de la désinformation qui a suivi. je ne sais plus la référence d'un article cité dans ce forum où l'auteur désignait le niveau en maths des années 1978 en Ts comme stratosphérique...à base de maths "modernes"...Qui préfère celui d'aujourd'hui?
J'ai fait mon primaire "avant", j'étais excellent élève pour les problèmes style certificat d'étude. Je suis entré en sixième "pendant", les maths "modernes" ont été une révélation.
Tout cela pour dire que je ne me reconnais vraiment pas dans la FORME de votre propos que je préfère continuer ( même si vous le réfutez) voir lié à une méconnaissance de la situation historique de l'enseignement des maths.

Fin du Hs
Votre réaction très passionnée me laisse penser que vous avez peut-être surinterprété mes propos et que vous n'avez pas pas perçu la discrète petite touche de second degré dans mon emploi des termes qui vous ont tant choqué (je conviens que la discrétion n'est habituellement pas une caractéristique de mes interventions sur le forum et que je brouille ici un peu les pistes Wink ).

J'ai plutôt le sentiment qu'en dépit de mes réserves quant à certains aspects pédagogiques des maths modernes, je ne suis pas du tout parmi les participants de ce fil celui qui y est le plus hostile. Je fais pas partie de ceux qui réclament à cor et à cri le retour au secondaire d'un enseignement de la géométrie strictement identique à ce qu'il était avant cette réforme ; la faiblesse de mon point de vue serait plutôt d'être partisan d'un compromis entre les deux dont je ne suis pas totalement sûr qu'il puisse conduire à quelque chose de réellement cohérent.

Comme je l'ai déjà brièvement écrit lors d'autres conversations, dans l'idéal je serais assez favorable à l'introduction dès le collège - au plus tard en seconde - de rudiments de théorie des ensembles (ensemble, sous-ensemble, réunion, intersection, complémentaire, cardinal dans le cas fini, produit cartésien, applications, images, antécédents et éventuellement composition des applications et cas particulier de la bijection, j'en oublie sans doute - le tout avec les patates). Je ne suis donc a priori pas du tout opposé à l'approche ensembliste des transformations du plan et je crois aussi que la géométrie se prête très bien à un travail autour des ensembles quand par exemple on caractérise certaines parties du plan par une propriété analytique.

En revanche, pour ce que j'en connais, la réforme des maths modernes dans toute sa perfection axiomatique me semble quand même avoir perdu de vue que si l'apprentissage des mathématiques vise l'abstraction, celle-ci peut difficilement se construire sans jamais se baser sur des représentations tirées de le perception du monde environnant ; en d'autres termes, même si j'admets parfaitement la supériorité formelle et esthétique d'une démarche axiomatique, je ne suis pas du convaincu qu'elle soit dans tous les cas plus efficace sur le plan pédagogique que le recours à une perception intuitive de certains concepts.
Pour illustrer ce propos, je dirai que les exemples donnés à la page 6 sur 10 de ce document pdf, en admettant qu'ils soient correctement retranscrits, mettent tout de même en évidence une dérive formaliste "jargonnante" des maths modernes. Je pense en particulier à la définition suivante d'une droite réelle :
Code:
Un ensemble D d’éléments appelés points est une droite réelle s’il existe une famille de bijections de D sur l’ensemble des nombres réels, appelés graduations de D vérifiant l’ axiome suivant :
pour deux graduations g et g’ de la même droite réelle D, il existe deux nombres réels a et b, tels que pour tout point M de D on a g’(M)=a.g(M)+b.
Je ne suis vraiment pas persuadé qu'un élève de quatrième - prenons un élève doué mais sans être exceptionnel - à qui on donne cette définition puisse réellement se représenter ce dont on parle alors que le tracé d'une bonne vieille droite graduée conviendrait parfaitement à lui faire sentir la nature de cet objet. D'ailleurs, après plusieurs minutes de réflexion, je n'arrive toujours pas à voir en quoi un ensemble constitué de deux-demi-droites partant d'un même point (ou même n'importe quelle "ligne brisée infinie qui ne se recoupe pas", voire n'importe quelle "courbe infinie qui ne se recoupe pas") ne satisferait pas cette définition lui accordant le statut de droite réelle.
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Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ? - Page 3 Empty Re: Égalité des triangles, des segments et des vecteurs ?

par AndréC le Mar 21 Fév 2017 - 21:18
@jaybe a écrit:Ceux qui connaissent bien les anciens (et moins anciens) ouvrages pourraient-ils dire s'ils ont déjà croisé l'écriture ABC=DEF ? ou triangle(ABC)=triangle(DEF) ? Si la réponse est non, qu'en penser ?
Pas dans Hadamard, ses démonstrations sont verbeuses et souvent agréables à lire.
Vous pouvez en lire un exemple ici en page 47 https://archive.org/stream/leonsdegomtriel04hadagoog#page/n65/mode/2up
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