Mission Mathématiques Villani - Torossian

Mathador a écrit:
C'est transposable en 6^ème ou 5^ème avec les unités: 3 cm + 2 cm = 5 cm. En expliquant que 3 cm c'est 3 fois un centimètre.

Un centimètre n'est pas un nombre.

Je viens de m'inscrire à ce forum, horrifiée de ce que je lis ! Afin de faire comprendre à vos élèves les ordres de priorité , si vous leurs refusez d'ajouter des cm, des euros ou autres , parce que ce ne sont pas ds nombres ,  ... je comprends les difficultés de mes élèves en lycée !

Triton a écrit:Je viens de m'inscrire à ce forum, horrifiée de ce que je lis ! Afin de faire comprendre à vos élèves les ordres de priorité , si vous leurs refusez d'ajouter des cm, des euros ou autres , parce que ce ne sont pas ds nombres ,  ... je comprends les difficultés de mes élèves en lycée !

Apprenez à lire.

Quel troll ce AndréC. Il ne s’arrete jamais !

Proton, soyez positif, argumentez, cela changera du néant de vos écrits.

AndréC a écrit:

Triton a écrit:Je viens de m'inscrire à ce forum, horrifiée de ce que je lis ! Afin de faire comprendre à vos élèves les ordres de priorité , si vous leurs refusez d'ajouter des cm, des euros ou autres , parce que ce ne sont pas ds nombres ,  ... je comprends les difficultés de mes élèves en lycée !

Apprenez à lire.

Décidément, la courtoisie est une valeur en voie de disparition.

AndréC a écrit:Proton, soyez positif, argumentez, cela changera du néant de vos écrits.

C'est la base sinon il s’appellerait électron.

AndréC a écrit:

pailleauquebec a écrit:Les priorité sont à mon avis une convention qui découle du bon sens commun :
"Dans mon porte monnaie j'ai 3 euros et deux billets de 10€" = 3 + 2 * 10 = 3 + 20 = 23 €

Une pièce et un billet ne sont pas des nombres. Le bon sens commun n'a rien à voir là dedans.

Du point de vue mathématique, les conventions de priorité sont arbitraires: je pourrais tout à fait écrire une calculatrice logicielle qui appliquerait exactement les conventions contraires. Justifier le choix de ces conventions se fait donc justement avec le « bon sens ».
Au passage, les centimètres ne sont peut-être pas des nombres de chez Bourbaki mais en attendant lorsque je résous des problèmes concrets j'écris tous mes calculs au tableau avec les unités. Si on veut faire du mal aux mouches, il suffira de considérer que « cm » est un vecteur du R-espace vectoriel des longueurs, ce qui permet d'écrire 3 cm + 2 cm = 5 cm par bilinéarité du produit nombre-vecteur.
Et on peut alors même obtenir des aires avec l'algèbre symétrique engendrée: 2 cm × 4 cm = 8 (cm ⊗ cm), usuellement noté 8 cm².
Même si l'on n'exposera bien sûr pas ces formalisations vectorielles dans le secondaire, ce type de calcul me parait tout de même plus sain d'esprit que de faire réapparaître des unités comme par magie à la fin des calculs.

Mathador a écrit:

AndréC a écrit:

pailleauquebec a écrit:Les priorité sont à mon avis une convention qui découle du bon sens commun :
"Dans mon porte monnaie j'ai 3 euros et deux billets de 10€" = 3 + 2 * 10 = 3 + 20 = 23 €

Une pièce et un billet ne sont pas des nombres. Le bon sens commun n'a rien à voir là dedans.

Du point de vue mathématique, les conventions de priorité sont arbitraires: je pourrais tout à fait écrire une calculatrice logicielle qui appliquerait exactement les conventions contraires. Justifier le choix de ces conventions se fait donc justement avec le « bon sens ».
Au passage, les centimètres ne sont peut-être pas des nombres de chez Bourbaki mais en attendant lorsque je résous des problèmes concrets j'écris tous mes calculs au tableau avec les unités. Si on veut faire du mal aux mouches, il suffira de considérer que « cm » est un vecteur du R-espace vectoriel des longueurs, ce qui permet d'écrire 3 cm + 2 cm = 5 cm par bilinéarité du produit nombre-vecteur.
Et on peut alors même obtenir des aires avec l'algèbre symétrique engendrée: 2 cm × 4 cm = 8 (cm ⊗ cm), usuellement noté 8 cm².
Même si l'on n'exposera bien sûr pas ces formalisations vectorielles dans le secondaire, ce type de calcul me parait tout de même plus sain d'esprit que de faire réapparaître des unités comme par magie à la fin des calculs.

Et les pièces et les billets là dedans, c'est quoi ?

VinZT a écrit:

AndréC a écrit:

Triton a écrit:Je viens de m'inscrire à ce forum, horrifiée de ce que je lis ! Afin de faire comprendre à vos élèves les ordres de priorité , si vous leurs refusez d'ajouter des cm, des euros ou autres , parce que ce ne sont pas ds nombres ,  ... je comprends les difficultés de mes élèves en lycée !

Apprenez à lire.

Décidément, la courtoisie est une valeur en voie de disparition.

En effet, la courtoisie consiste à demander des explications avant de se dire horrifiée.

Mathador a écrit:

AndréC a écrit:

pailleauquebec a écrit:Les priorité sont à mon avis une convention qui découle du bon sens commun :
"Dans mon porte monnaie j'ai 3 euros et deux billets de 10€" = 3 + 2 * 10 = 3 + 20 = 23 €

Une pièce et un billet ne sont pas des nombres. Le bon sens commun n'a rien à voir là dedans.

Du point de vue mathématique, les conventions de priorité sont arbitraires: je pourrais tout à fait écrire une calculatrice logicielle qui appliquerait exactement les conventions contraires. Justifier le choix de ces conventions se fait donc justement avec le « bon sens ».

Principe d'économie aussi, car si on inversait la priorité des opérations, on augmenterait le nombre de signes nécessaires pour écrire la distributivité. Jugez-en :
règle normal : ab+ac=a(b+c)
règle inverse : [ab]+[ac]=ab+c

Ce principe d'économie est la raison qui sous-tend le phénomène linguistique sur lequel est bâti à son tour le bon sens allégué ci-dessus.

Mathador a écrit:
Au passage, les centimètres ne sont peut-être pas des nombres de chez Bourbaki mais en attendant lorsque je résous des problèmes concrets j'écris tous mes calculs au tableau avec les unités. Si on veut faire du mal aux mouches, il suffira de considérer que « cm » est un vecteur du R-espace vectoriel des longueurs, ce qui permet d'écrire 3 cm + 2 cm = 5 cm par bilinéarité du produit nombre-vecteur.
Et on peut alors même obtenir des aires avec l'algèbre symétrique engendrée: 2 cm × 4 cm = 8 (cm ⊗ cm), usuellement noté 8 cm².
Même si l'on n'exposera bien sûr pas ces formalisations vectorielles dans le secondaire, ce type de calcul me parait tout de même plus sain d'esprit que de faire réapparaître des unités comme par magie à la fin des calculs.

Et lorsque vous écrivez 3 cm x 4 cm + 5 cm = 12 cm² + 5 cm, vous considérez cela comment ?
Est-ce une aire ou une longueur ?

AndréC a écrit:

Mathador a écrit:
Au passage, les centimètres ne sont peut-être pas des nombres de chez Bourbaki mais en attendant lorsque je résous des problèmes concrets j'écris tous mes calculs au tableau avec les unités. Si on veut faire du mal aux mouches, il suffira de considérer que « cm » est un vecteur du R-espace vectoriel des longueurs, ce qui permet d'écrire 3 cm + 2 cm = 5 cm par bilinéarité du produit nombre-vecteur.
Et on peut alors même obtenir des aires avec l'algèbre symétrique engendrée: 2 cm × 4 cm = 8 (cm ⊗ cm), usuellement noté 8 cm².
Même si l'on n'exposera bien sûr pas ces formalisations vectorielles dans le secondaire, ce type de calcul me parait tout de même plus sain d'esprit que de faire réapparaître des unités comme par magie à la fin des calculs.

Et lorsque vous écrivez 3 cm x 4 cm + 5 cm = 12 cm² + 5 cm, vous considérez cela comment ?
Est-ce une aire ou une longueur ?

On n'écrit jamais ça.

Bouboule a écrit:

AndréC a écrit:

Mathador a écrit:
Au passage, les centimètres ne sont peut-être pas des nombres de chez Bourbaki mais en attendant lorsque je résous des problèmes concrets j'écris tous mes calculs au tableau avec les unités. Si on veut faire du mal aux mouches, il suffira de considérer que « cm » est un vecteur du R-espace vectoriel des longueurs, ce qui permet d'écrire 3 cm + 2 cm = 5 cm par bilinéarité du produit nombre-vecteur.
Et on peut alors même obtenir des aires avec l'algèbre symétrique engendrée: 2 cm × 4 cm = 8 (cm ⊗ cm), usuellement noté 8 cm².
Même si l'on n'exposera bien sûr pas ces formalisations vectorielles dans le secondaire, ce type de calcul me parait tout de même plus sain d'esprit que de faire réapparaître des unités comme par magie à la fin des calculs.

Et lorsque vous écrivez 3 cm x 4 cm + 5 cm = 12 cm² + 5 cm, vous considérez cela comment ?
Est-ce une aire ou une longueur ?

On n'écrit jamais ça.

Pour détailler avec le formalisme que j'ai précédemment écrit: au lieu de travailler sur l'algèbre tensorielle complète, on se restreint à l'union ensembliste des droites vectorielles engendrées par les produits tensoriels élémentaires de nos unités de base. L'addition et la soustraction deviennent alors des fonctions partielles: la somme 12 cm² + 5 cm, par exemple, n'est plus définie. Avec cette restriction, si on a les inverses des unités de base (c'est alors un quotient de l'algèbre symétrique par les relations du type m × m¯¹ = 1), la division devient alors presque totale (sauf si on divise par 0).

(ou sinon, je viens de me rendre compte qu'on peut aussi utiliser les algèbres de polynômes; l'ajout des unités inverses correspond à une localisation, et le restriction se fait alors sur l'ensemble des monômes)

Bouboule a écrit:

AndréC a écrit:

Mathador a écrit:
Au passage, les centimètres ne sont peut-être pas des nombres de chez Bourbaki mais en attendant lorsque je résous des problèmes concrets j'écris tous mes calculs au tableau avec les unités. Si on veut faire du mal aux mouches, il suffira de considérer que « cm » est un vecteur du R-espace vectoriel des longueurs, ce qui permet d'écrire 3 cm + 2 cm = 5 cm par bilinéarité du produit nombre-vecteur.
Et on peut alors même obtenir des aires avec l'algèbre symétrique engendrée: 2 cm × 4 cm = 8 (cm ⊗ cm), usuellement noté 8 cm².
Même si l'on n'exposera bien sûr pas ces formalisations vectorielles dans le secondaire, ce type de calcul me parait tout de même plus sain d'esprit que de faire réapparaître des unités comme par magie à la fin des calculs.

Et lorsque vous écrivez 3 cm x 4 cm + 5 cm = 12 cm² + 5 cm, vous considérez cela comment ?
Est-ce une aire ou une longueur ?

On n'écrit jamais ça.

Et lorsque l'élève de cinquième va vous demander pourquoi l'on peut écrire 3 x 8 x 4 x 8 + 5 x 8 = 808 alors que l'on n'écrit jamais 3 cm x 4 cm + 5 cm = 12 cm² + 5 cm. A cela, vous lui répondrez quoi ?

Qu'on ne peut pas non plus écrire 3 x 8 x 4 x 8 + 5 x 8.
Du moins sans parenthèses.

Verdurette a écrit:Qu'on ne peut pas non plus écrire 3 x 8 x 4 x 8 + 5 x 8.
Du moins sans parenthèses.

En cycle 3, c'est vrai. En cycle 4, on peut.

WHITNEY H., 1968, The mathematics of physical quantities, part II : Quantity structures and dimensional analysis, The Americain Mathematical Monthly

Mathador a écrit:

Bouboule a écrit:

AndréC a écrit:

Mathador a écrit:
Au passage, les centimètres ne sont peut-être pas des nombres de chez Bourbaki mais en attendant lorsque je résous des problèmes concrets j'écris tous mes calculs au tableau avec les unités. Si on veut faire du mal aux mouches, il suffira de considérer que « cm » est un vecteur du R-espace vectoriel des longueurs, ce qui permet d'écrire 3 cm + 2 cm = 5 cm par bilinéarité du produit nombre-vecteur.
Et on peut alors même obtenir des aires avec l'algèbre symétrique engendrée: 2 cm × 4 cm = 8 (cm ⊗ cm), usuellement noté 8 cm².
Même si l'on n'exposera bien sûr pas ces formalisations vectorielles dans le secondaire, ce type de calcul me parait tout de même plus sain d'esprit que de faire réapparaître des unités comme par magie à la fin des calculs.

Et lorsque vous écrivez 3 cm x 4 cm + 5 cm = 12 cm² + 5 cm, vous considérez cela comment ?
Est-ce une aire ou une longueur ?

On n'écrit jamais ça.

Pour détailler avec le formalisme que j'ai précédemment écrit: au lieu de travailler sur l'algèbre tensorielle complète, on se restreint à l'union ensembliste des droites vectorielles engendrées par les produits tensoriels élémentaires de nos unités de base. L'addition et la soustraction deviennent alors des fonctions partielles: la somme 12 cm² + 5 cm, par exemple, n'est plus définie. Avec cette restriction, si on a les inverses des unités de base (c'est alors un quotient de l'algèbre symétrique par les relations du type m × m¯¹ = 1), la division devient alors presque totale (sauf si on divise par 0).

(ou sinon, je viens de me rendre compte qu'on peut aussi utiliser les algèbres de polynômes; l'ajout des unités inverses correspond à une localisation, et le restriction se fait alors sur l'ensemble des monômes)

Et comment allez-vous justifier cette restriction auprès d'un élève de quatrième alors que vous calculez x² + x sans aucune restriction ?

À un élève on répond que l'on n'ajoute pas des grandeurs de types différents.

À noter, l'ancienne terminologie: nombre concret/nombre abstrait, qui vaut ce qu'elle vaut, mais a été autrefois utilisée.

AndréC a écrit:

Mathador a écrit:Pour détailler avec le formalisme que j'ai précédemment écrit: au lieu de travailler sur l'algèbre tensorielle complète, on se restreint à l'union ensembliste des droites vectorielles engendrées par les produits tensoriels élémentaires de nos unités de base. L'addition et la soustraction deviennent alors des fonctions partielles: la somme 12 cm² + 5 cm, par exemple, n'est plus définie. Avec cette restriction, si on a les inverses des unités de base (c'est alors un quotient de l'algèbre symétrique par les relations du type m × m¯¹ = 1), la division devient alors presque totale (sauf si on divise par 0).

(ou sinon, je viens de me rendre compte qu'on peut aussi utiliser les algèbres de polynômes; l'ajout des unités inverses correspond à une localisation, et le restriction se fait alors sur l'ensemble des monômes)

Et comment allez-vous justifier cette restriction auprès d'un élève de quatrième alors que vous calculez x² + x sans aucune restriction ?

Lorsque j'ai 3 éléphants, ça veut dire que si je compte mes éléphants j'en ai 3. Si j'ai 2 pommes en plus, cela ne change pas mon nombre d'éléphants donc l'addition 3 éléphants + 2 pommes n'a pas de sens (parce que je n'ai ni 5 éléphants ni 5 pommes). Si un élève dit que j'ai alors 5 objets, je lui fais remarquer que j'ai aussi un stylo rouge (ou un marqueur, ou une craie, etc.), donc plus que 5 objets au total.
Si pour x²+x il n'y a pas de restriction c'est parce que x est un nombre abstrait comme dit @Anaxagore. Ce qu'ils connaissent depuis le cycle 2 puisque dans une multiplication le multiplicateur est un nombre abstrait que la multiplication concrétise (exemple: si j'ai 3 bouteilles de 25 cL, et que je veux concrétiser 3 en volume je dois le multiplier par 25 cL).

Anaxagore a écrit: WHITNEY H., 1968, The mathematics of physical quantities, part II : Quantity structures and dimensional analysis, The Americain Mathematical Monthly

Ah ! Whitney Houston ! I will always love you !

« On n'additionne pas les choux et les carottes », ma maitresse de 9e sous la quatrième (République).