Mission Mathématiques Villani - Torossian

Delia a écrit:« On n'additionne pas les choux et les carottes »

Mathador a écrit:

AndréC a écrit:

Mathador a écrit:Pour détailler avec le formalisme que j'ai précédemment écrit: au lieu de travailler sur l'algèbre tensorielle complète, on se restreint à l'union ensembliste des droites vectorielles engendrées par les produits tensoriels élémentaires de nos unités de base. L'addition et la soustraction deviennent alors des fonctions partielles: la somme 12 cm² + 5 cm, par exemple, n'est plus définie. Avec cette restriction, si on a les inverses des unités de base (c'est alors un quotient de l'algèbre symétrique par les relations du type m × m¯¹ = 1), la division devient alors presque totale (sauf si on divise par 0).

(ou sinon, je viens de me rendre compte qu'on peut aussi utiliser les algèbres de polynômes; l'ajout des unités inverses correspond à une localisation, et le restriction se fait alors sur l'ensemble des monômes)

Et comment allez-vous justifier cette restriction auprès d'un élève de quatrième alors que vous calculez x² + x sans aucune restriction ?

Lorsque j'ai 3 éléphants, ça veut dire que si je compte mes éléphants j'en ai 3. Si j'ai 2 pommes en plus, cela ne change pas mon nombre d'éléphants donc l'addition 3 éléphants + 2 pommes n'a pas de sens (parce que je n'ai ni 5 éléphants ni 5 pommes). Si un élève dit que j'ai alors 5 objets, je lui fais remarquer que j'ai aussi un stylo rouge (ou un marqueur, ou une craie, etc.), donc plus que 5 objets au total.
Si pour x²+x il n'y a pas de restriction c'est parce que x est un nombre abstrait comme dit @Anaxagore. Ce qu'ils connaissent depuis le cycle 2 puisque dans une multiplication le multiplicateur est un nombre abstrait que la multiplication concrétise (exemple: si j'ai 3 bouteilles de 25 cL, et que je veux concrétiser 3 en volume je dois le multiplier par 25 cL).

Verdurette a écrit:Qu'on ne peut pas non plus écrire 3 x 8 x 4 x 8 + 5 x 8.
Du moins sans parenthèses.

ylm a écrit:

Verdurette a écrit:Qu'on ne peut pas non plus écrire 3 x 8 x 4 x 8 + 5 x 8.
Du moins sans parenthèses.

Et pourquoi donc ne pourrait-on pas? J'espère que tu n'apprends pas à tes élèves que cette écriture est interdite, ça serait embêtant (pour rester soft).

AndréC a écrit:Vous avez élevé les centimètres au carré pour expliquer les priorités des opérations. Dans ce nouveau contexte, un éléphant au carré, éléphant², c'est quoi ?

Mathador a écrit:

AndréC a écrit:Vous avez élevé les centimètres au carré pour expliquer les priorités des opérations. Dans ce nouveau contexte, un éléphant au carré, éléphant², c'est quoi ?

Non, pour les priorités c'était basé sur 2 cm + 3 cm = 5 cm, 2 cm étant 2 fois un centimètre. Pas besoin d'unités composées ici.

AndréC a écrit:

Bouboule a écrit:

AndréC a écrit:

Mathador a écrit:
Au passage, les centimètres ne sont peut-être pas des nombres de chez Bourbaki mais en attendant lorsque je résous des problèmes concrets j'écris tous mes calculs au tableau avec les unités. Si on veut faire du mal aux mouches, il suffira de considérer que « cm » est un vecteur du R-espace vectoriel des longueurs, ce qui permet d'écrire 3 cm + 2 cm = 5 cm par bilinéarité du produit nombre-vecteur.
Et on peut alors même obtenir des aires avec l'algèbre symétrique engendrée: 2 cm × 4 cm = 8 (cm ⊗ cm), usuellement noté 8 cm².
Même si l'on n'exposera bien sûr pas ces formalisations vectorielles dans le secondaire, ce type de calcul me parait tout de même plus sain d'esprit que de faire réapparaître des unités comme par magie à la fin des calculs.

Et lorsque vous écrivez 3 cm x 4 cm + 5 cm = 12 cm² + 5 cm, vous considérez cela comment ?
Est-ce une aire ou une longueur ?

On n'écrit jamais ça.

Et lorsque l'élève de cinquième va vous demander pourquoi l'on peut écrire 3 x 8 x 4 x 8 + 5 x 8 = 808 alors que l'on n'écrit jamais 3 cm x 4 cm + 5 cm = 12 cm² + 5 cm cela, vous lui répondrez quoi ?

ylm a écrit:

Verdurette a écrit:Qu'on ne peut pas non plus écrire 3 x 8 x 4 x 8 + 5 x 8.
Du moins sans parenthèses.

Et pourquoi donc ne pourrait-on pas? J'espère que tu n'apprends pas à tes élèves que cette écriture est interdite, ça serait embêtant (pour rester soft).

AndréC a écrit:

Mathador a écrit:

AndréC a écrit:Vous avez élevé les centimètres au carré pour expliquer les priorités des opérations. Dans ce nouveau contexte, un éléphant au carré, éléphant², c'est quoi ?

Non, pour les priorités c'était basé sur 2 cm + 3 cm = 5 cm, 2 cm étant 2 fois un centimètre. Pas besoin d'unités composées ici.

Contextualiser pour enseigner les priorités, est-ce indispensable ?

Mathador a écrit:

AndréC a écrit:

Mathador a écrit:

AndréC a écrit:Vous avez élevé les centimètres au carré pour expliquer les priorités des opérations. Dans ce nouveau contexte, un éléphant au carré, éléphant², c'est quoi ?

Non, pour les priorités c'était basé sur 2 cm + 3 cm = 5 cm, 2 cm étant 2 fois un centimètre. Pas besoin d'unités composées ici.

Contextualiser pour enseigner les priorités, est-ce indispensable ?

Contextualiser n'est jamais indispensable

AndréC a écrit:

ylm a écrit:

Verdurette a écrit:Qu'on ne peut pas non plus écrire 3 x 8 x 4 x 8 + 5 x 8.
Du moins sans parenthèses.

Et pourquoi donc ne pourrait-on pas? J'espère que tu n'apprends pas à tes élèves que cette écriture est interdite, ça serait embêtant (pour rester soft).

Non, en cycle 3, elle doit apprendre aux élèves à mettre cela entre parenthèses. C'est son job.

De même, en cycle 4 nous disons que le carré d'un nombre est toujours positif.

ylm a écrit:

AndréC a écrit:

ylm a écrit:

Verdurette a écrit:Qu'on ne peut pas non plus écrire 3 x 8 x 4 x 8 + 5 x 8.
Du moins sans parenthèses.

Et pourquoi donc ne pourrait-on pas? J'espère que tu n'apprends pas à tes élèves que cette écriture est interdite, ça serait embêtant (pour rester soft).

Non, en cycle 3, elle doit apprendre aux élèves à mettre cela entre parenthèses. C'est son job.

De même, en cycle 4 nous disons que le carré d'un nombre est toujours positif.

OK mais il ne faut pas dire "on ne peut pas", après on se retrouve avec des élèves au collège qui vont dire "la prof à l'école nous a menti" ou pire qui vont bloquer parce qu'ils vont refuser de faire autre chose que ce que la prof leur a appris à l'école.

La « question centrale de l’enseignement » est en France doublement la question des programmes. En général la qualité des programmes est le facteur déterminant pour avoir un « bon système d’instruction », une autre manière de le dire étant que le contenu prime sur la méthode. Cette position est certes défendue en France par le seul GRIP (Groupe de Réflexion Interdisciplinaire sur les Programmes) mais on doit rappeler que c’est la préconisation centrale pratiquée dans « la méthode de Singapour » et défendue par le TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study) depuis le début des années 2000 notamment dans l’article publié par l’AFT (American Federation of Teachers) intitulé « A coherent curriculum : the case of mathematics ». C’est la principale conclusion que le TIMSS tire de l’enquête mondiale faite en 1996, enquête que la France avait abandonnée précipitamment au vu du caractère catastrophique des premiers résultats obtenus : ceci expliquant probablement en partie que le MEN n’ait jamais vraiment communiqué sur cette caractéristique d’un bon système scolaire et qu’il continue apparemment à agir de même puisque l’on ne peut pas dire que le monde éducatif officiel réclame à grands cris que la définition des programmes ait un rôle central.

AndréC a écrit:
Ces mêmes élèves deviennent très fiers quand on leur répond qu'au fur et à mesure de leurs  études, on leur révèle des choses jusqu'alors tenues secrètes ...

Padre P. Lucas a écrit:

AndréC a écrit:
Ces mêmes élèves deviennent très fiers quand on leur répond qu'au fur et à mesure de leurs  études, on leur révèle des choses jusqu'alors tenues secrètes ...

Dans le texte cité précédemment, Delord parle d'ailleurs de la "nécessité absolue des ruptures dans les programmes et les progressions".

AndréC a écrit:

Padre P. Lucas a écrit:

AndréC a écrit:
Ces mêmes élèves deviennent très fiers quand on leur répond qu'au fur et à mesure de leurs  études, on leur révèle des choses jusqu'alors tenues secrètes ...

Dans le texte cité précédemment, Delord parle d'ailleurs de la "nécessité absolue des ruptures dans les programmes et les progressions".

Je n'ai pas vu cet extrait dans l'article que vous avez cité ici http://images.math.cnrs.fr/Des-programmes-et-du-CSP.html.
Ce qui est certain, c'est qu'apprendre en terminale que les nombres négatifs ont une racine carrée est une vraie surprise pour celui qui l'ignorait.
Cette surprise aiguise la curiosité et donne envie d'en savoir plus. La surprise est en elle-même pédagogique.

Padre P. Lucas a écrit:Et les programmes dans tout ça ?
La mission Torossian-Villani ne veut pas y toucher

Padre P. Lucas a écrit:

AndréC a écrit:
Ces mêmes élèves deviennent très fiers quand on leur répond qu'au fur et à mesure de leurs  études, on leur révèle des choses jusqu'alors tenues secrètes ...

Dans le texte cité précédemment, Delord parle d'ailleurs de la "nécessité absolue des ruptures dans les programmes et les progressions".

Michel Delord a écrit:Ces conceptions induisent la non existence de ruptures dans les progressions or ces ruptures, changements de perspectives sont indispensables.

Michel Delord a écrit:Exemple : passage des entiers aux décimaux et existence de la notion de « successeur ».

ycombe a écrit:

Padre P. Lucas a écrit:Et les programmes dans tout ça ?
La mission Torossian-Villani ne veut pas y toucher

Euh? C'est quoi leur lettre de mission alors? Adapter la méthode de Singapour pour rendre les élèves bons en maths en continuant avec les programmes actuels ?
[…]

O. R : Mais que manque-t-il aujourd’hui aux lycéens ?

M. P : Ils ne sont plus correctement préparés à suivre des études scientifiques dans l’enseignement supérieur sans faire face à de sérieuses difficultés, difficultés qui se sont renforcées ces dernières années. Nous notons des problèmes d’autonomie en calcul, des connaissances plus volatiles et une vision géométrique relativement défaillante. Il faut y voir là la conséquence de choix qui ont été faits par l’institution : n’oublions pas que les horaires d’enseignements scientifiques ont diminué́ toutes ces dernières années et que par ailleurs, la distanciation croissante entre les mathématiques et la physique est source de bien des déconvenues. Les programmes actuels valorisent par trop une culture scientifique superficielle en présentant un catalogue de phénomènes sans explications profondes.

Mais je vous rassure, quand on cherche à emmener les élèves plus loin, pour par exemple parvenir à une compréhension plus fine d’un phénomène, ils s’en réjouissent et regrettent de ne pas avoir été confrontés à ces explications plus tôt.

celinesud a écrit:Pour ceux qui veulent suivre l'avancée des travaux de la mission :

https://twitter.com/hashtag/missionmaths?lang=fr

rapport remis vers le 6 février.

#MissionMaths en action... pic.twitter.com/9vLMjWLXYG

— Charles TOROSSIAN (@CTorossian_Off) 24 janvier 2018