Règles d'addition sur les nombres relatifs et valeur absolue

Bonjour,

Je bloque sur un problème en écrivant mon cours de 4ème, partie addition et soustraction de relatifs.
Dans les livres, on parle généralement de "distance à zéro" ou de "nombre sans le signe" à la place du terme "valeur absolue".
Si j'emploie "distance à zéro", les élèves ne comprennent pas : un nombre, ce n'est pas une distance... j'ai remarqué que généralement tout ce qui était repérage avec des déplacements les embrouille (certains nombres sont repérés sur l'axe, d'autres correspondent à des déplacements, ça ne leur parle pas).
Si j'emploie "nombre sans le signe" cela fait des phrases compliquées, bien trop compliquées pour beaucoup d'entre eux (ils lisent mal, et ont énormément de mal avec les qualificatifs du nom, dès que c'est autre chose qu'un adjectif...).
Du coup, je me demande pourquoi on n'a plus le droit d'employer le terme exact, soit : "valeur absolue". Était-ce pire lorsqu'on leur apprenait ce vocabulaire? Est-ce qu'on leur donnait au moment des règles sur l'addition et la soustraction, ou bien plus tard ?
Merci de partager votre expérience.

Flo44.

Je me pose la même question.
Les nouveaux programmes de secondes indiquent "La notation de la valeur absolue est introduite pour exprimer la distance entre deux nombres réels et caractériser les intervalles de centre donné. Toute autre utilisation est hors programme.".
Par contre, ça me parait important qu'ils comprennent ces histoires de repérages et de déplacements. Quels sens donné aux nombres relatifs à ce niveau sinon ?

En effet, les collégiens ne comprennent rien à cette histoire de distance à zéro. Je leur dis carrément que c’est au programme mais pas vraiment nécessaire pour comprendre le chapitre. Je leur glisse la notion de valeur absolue à l’occasion d’exercices mais à l’oral. Je ne sais pas qui a pondu ça, sûrement le même qui a pondu tous les algos en NSI (je plaisante).


Je reviens comme bien souvent aux temps anciens où un nombre négatif (son origine d’ailleurs) était associé à une dette avec des petits billets en papier « X euros » (argent que j’ai) et  des « je dois X euros » (dette).
C’est un peu jeu de Monopoly, une addition signifie « je reçois » et une soustraction « je donne ». Un nombre positif est une somme d’euros et un nombre négatif une dette. Ainsi, on peut très bien recevoir des euros comme ... une dette et donner des euros comme ... des dettes (ils aiment beaucoup ce dernier point ).
L’autre intérêt est qu’ils convertissent naturellement toute soustraction en addition sans s’en rendre compte. Et bien sûr, la différence entre « signe » et « opération » devient évidente.

@flo44 je le faisais en 5ème.

B

Mateo_13 a écrit:Bonjour,

pour information, Philippe Colliard a écrit ci-après (vers le milieu de la page) quelques feuilles de synthèse sur les nombres relatifs,
avec la valeur absolue :
http://www.maths-cycle4.fr/syntheses/index.html

et ci-après son livre de cours original de calcul en cycle 4, entièrement en accès libre jusqu'au 31 août,
dont ces feuilles de synthèses sont issues :
http://www.maths-cycle4.fr/

Amicalement,

Alors là, merci pour le partage, j'ai découvert une mine d'or. Je n'ai plus qu'à l'exploiter, mais clairement c'est une partie de ce qui manquait entre mes réflexions personnelles et l'enseignement que je voudrais délivrer à mes élèves. Ça va me faire gagner du temps...

Au contraire, je trouve que "distance à zéro" est une expression assez parlant pour les élèves de collège.

De manière générale, cette histoire de distance entre nombres permet de bien aborder le travail sur la valeur absolue en lycée.

Flo44 a écrit:Bonjour,

Du coup, je me demande pourquoi on n'a plus le droit d'employer le terme exact, soit : "valeur absolue".

Flo44.

J'ai bien une réponse mais certains risque de ne pas me croire... Cela va au delà du fait que certains ont des postes inutiles et qu'ils passent la majeur partie de leur temps à le défendre ( et oui quand on a rien a faire on a de l’énergie à revendre ).
Si l'on retire des mots ou des expressions, on perd en précision de langage et en capacité d'expression. Certaines personnes passent leur temps (sont payées!?) à trouver des mots/expressions de remplacement ayant des sens proches. L'objectif inavoué (ou pas) étant d'éloigner le plus possible les élèves non initiés ( comprendre élèves non CSP+ ou pas fils/fille d'enseignants) en leur retirant la possibilité de comprendre et par conséquent de réussir.
Pour info, contrairement à ce que l'on pourrait penser, je ne suis pas complotiste et j'aimerai vraiment avoir tord. Cependant les faits sont têtus, si on décide d'ouvrir les yeux, et de s’intéresser à la pédagogie, notamment comment elle fonctionne et est pratiquée dans d'autre pays, on est forcé de dresser certains constats...

Ne plus avoir le droit de...Je dirais au final que c'est plus sournois que cela. Certains profs décide, de passer outre leurs "interdictions", soit parce qu'il sont en fin de carrière soit parce qu'il n'en ont rien a faire de leur avancement. Si l'on observe, bien le vocable utilisé dans les BOs il n'est jamais "interdit" au sens strict, c'est juste hors programme et les enseignants ( pas tous ) décident de comprendre que c'est interdit, le BO dit juste que tel ou tel chose est hors programme ou non évaluable, cela ne veux pas dire que l'on ne peux pas en parler. Cependant les programmes étant chargés ( !? ) on a plus trop le temps de passer son temps à autre chose.
L'art de la double négation est horrible, il permet de faire comprendre/donner un ordre ou une injonction sans qu'elle soit exprimée de façon directe. Les personnes utilisant cette technique étant les premiers à dire "Je n 'ai jamais dit que..."

Avatar des Abysses a écrit:

Flo44 a écrit:Bonjour,

Du coup, je me demande pourquoi on n'a plus le droit d'employer le terme exact, soit : "valeur absolue".

Flo44.

J'ai bien une réponse mais certains risque de ne pas me croire... Cela va au delà du fait que certains ont des postes inutiles et qu'ils passent la majeur partie de leur temps à le défendre ( et oui quand on a rien a faire on a de l’énergie à revendre ).
Si l'on retire des mots ou des expressions, on perd en précision de langage et en capacité d'expression. Certaines personnes passent leur temps (sont payées!?) à trouver des mots/expressions de remplacement ayant des sens proches. L'objectif inavoué (ou pas) étant d'éloigner le plus possible les élèves non initiés ( comprendre élèves non CSP+ ou pas fils/fille d'enseignants) en leur retirant la possibilité de comprendre et par conséquent de réussir.
Pour info, contrairement à ce que l'on pourrait penser, je ne suis pas complotiste et j'aimerai vraiment avoir tord. Cependant les faits sont têtus, si on décide d'ouvrir les yeux, et de s’intéresser à la pédagogie, notamment comment elle fonctionne et est pratiquée dans d'autre pays, on est forcé de dresser certains constats...

Ne plus avoir le droit de...Je dirais au final que c'est plus sournois que cela. Certains profs décide, de passer outre leurs "interdictions", soit parce qu'il sont en fin de carrière soit parce qu'il n'en ont rien a faire de leur avancement. Si l'on observe, bien le vocable utilisé dans les BOs il n'est jamais "interdit" au sens strict, c'est juste hors programme et les enseignants ( pas tous ) décident de comprendre que c'est interdit, le BO dit juste que tel ou tel chose est hors programme ou non évaluable, cela ne veux pas dire que l'on ne peux pas en parler. Cependant les programmes étant chargés ( !? ) on a plus trop le temps de passer son temps à autre chose.
L'art de la double négation est horrible, il permet de faire comprendre/donner un ordre ou une injonction sans qu'elle soit exprimée de façon directe. Les personnes utilisant cette technique étant les premiers à dire "Je n 'ai jamais dit que..."

De mon point de vue le reste n'est que justifications.
Je me souviens le jour où une collègue de langue a lu l'épreuve de BEP et découvert en même temps que les élèves le terme corpus employé à 17 reprises dans le sujet. Panique à bord du coté des élèves et désespoir du coté de la collègue. De même qu'en maths l'élément binaire avait remplacé le bit le jour de l'épreuve écrite.

Me revoilà avec les nombres relatifs...
L'an dernier j'ai été arrêtée avant d'aborder la soustraction, là je viens de le faire, mais je bloque sur les sommes algébriques.
Dans tous les bouquins récents on a ce type d'exercice (ici l'exercice corrigé de Sésamath)

Calcule.
E = (−15) − (+14) + (−15) − (−20)
Correction
E = (−15) − (+14) + (−15) − (−20)
E = (−15) +(−14) + (−15) + (+20)
E = (−44) +(+20)
E = −24

Mais pourquoi transformer − (+14) en + ( - 14) au lieu de : − 14?
Ça amène à des écritures absconses où on remplace 8 − 5 par 8 − ( +5) ...
Je ne comprends pas l'objectif. Il me semble que je n'ai jamais fait comme cela (avant la prépa) et cela me semble tellement compliqué pour rien et difficile à comprendre...
Sachant que j'ai commencé les relatifs en ne mettant pas systématiquement (pour ainsi dire quasiment jamais) le signe + , car  j'ai fait la démarche d'étendre l'ensemble des nombres positifs ( j'explique bien qu'avec les nombres négatifs les règles sur les opérations sont conservées).
Je n'ai pas de livre ancien donc je bloque un peu sur les exercices lorsqu'on commence les sommes algébriques

Spoiler:

Quelqu'un pour m'éclairer? Que leur faire comme exercices ? (la soustraction est bien passée mais je n'ai pas encore abordé les suites d'additions et soustractions)
Merci.

Pour répondre à la question initiale : je leur fais faire très rapidement des calculs à deux termes sans parenthèse, je trouve les parenthèses trop lourdes à gérer, sources d'erreurs, d'embrouilles, et j'essaie de faire en sorte qu'ils s'en débarrassent le plus vite possible. Pour expliquer avec un déplacement, je pars d'un axe gradué (horizontal ou vertical, peu importe), mais je les fais bien partir de 0 à chaque fois, et se déplacer ensuite depuis 0, en fonction du signe de chaque terme :

click:

A force de le faire plusieurs fois, et en gardant toujours le même code couleur (bleu si on va à gauche, rouge si on va à droite), ils percutent plus vite sur le fait que dans le cas des mêmes signes, ça se cumule (donc on additionne) et quand ça part dans les deux sens (rouge et bleu), ça se compense en partie donc on soustrait... mais punaise, comme ça me semblait plus simple à faire comprendre il y a 10 ou 20 ans ! Je n'ai jamais vu autant de blocages sur des choses aussi simples, alors que je les explique mieux qu'avant, j'en suis persuadée ! Déjà qu'ils ne savent même pas à quoi ressemble un thermomètre basique, pour la plupart (puisque tout est numérique maintenant...). Avant, les maths était plus concrètes, plus présentes dans la vie de tous les jours (balances à plateaux, thermomètres à mercure, montre à aiguilles, billets et pièces...), et ça aidait certainement mieux les élèves à mettre du sens. :-/

Pour répondre à ta dernière question : je vois la règle des signes rapidement dès que la soustraction a été abordée, afin de toujours les ramener à des opérations sans parenthèses. Ensuite pour les sommes algébriques, j'aborde le cas sans parenthèses (calculer -3-5+6-7+2+5) en faisant les regroupements des termes par signes, puis en voyant les astuces particulières (termes opposés, termes à regrouper comme les nombres à virgules, les nombres ronds, etc). Et enfin les sommes algébriques avec parenthèses dans lesquelles je ne leur fais surtout pas remplacer "(-5) - (+6)" par "(-5) + (-6)" : non, je leur dis qu'il faut d'abord supprimer les parenthèses (sauf si elles comportent des calculs, à faire en priorité).
Et je prends mes distances avec les bouquins, d'autant qu'ils sont bourrés d'erreurs ces dernières années, je passe donc un temps fou à préparer mes fiches d'exos moi-même, sans compter le temps que ça prend à photocopier... Mais au moins je suis en accord avec ce que j'enseigne et je peux prévoir une progressivité parfaite par rapport à où je veux les amener.
Sésamaths, on l'a pris une fois pour les 4ème, j'ai trouvé le livre vraiment nul... Depuis, on a changé, mais c'est toujours aussi nul... Et c'est difficile d'anticiper tout ça, généralement c'est en utilisant le livre au quotidien qu'on se rend vraiment compte de ses faiblesses.

J'édite pour compléter : et j'ai aussi pris mes distances avec les programmes. Par exemple je continue de parler de vecteur pendant les translations parce que "construire l'image de la figure par la translation qui transforme le point A en le point B" c'est vraiment lourd... et tant pis si je ne définis par la notion de vecteur avec rigueur, ça les aide quand même à s'approprier la translation.
La valeur absolue je ne le dis plus car à l'époque où ça a un peu disparu des programmes, j'étais encore "bonne élève", du coup j'ai commencé à dire "distance à zéro", mais comme toi je trouve ça lourd aussi, alors ça m'arrive souvent de dire "partie numérique" qui a le mérite d'être plus clair je trouve... D'ailleurs il faut que je pense à modifier ma trace écrite car malgré tout je continue de leur faire écrire "distance à zéro" dans la leçon, ce qui est sans intérêt (l'idéal serait quand même qu'on adopte le même vocabulaire, au moins au sein de l'équipe de maths de l'établissement).

Je pense que la méthode depuis quelques années consiste à n'apprendre que la règle de l'addition des relatifs.
Ensuite, pour la soustraction, on dicte : "soustraire un nombre relatif est équivalent à additionner son opposé".
C'est plus tard, lorsque tout ceci est bien acquis, qu'on supprime les parenthèses.

En prépa, tous mes élèves qui ont du mal avec les négatifs dans les opérations "niveau collège" ( 2-1, 1-1, 2-(-1), 1/(-1), 2(1-2), (-1)^4, etc) font principalement leurs erreurs par manque de parenthèses.
Au lieu d'écrire proprement toutes les parenthèses en démarrant leur calcul, ils en omettent certaines (mais en mémoire sont capables de dire celles qu'ils omettent).
Une égalité plus loin ils ont oublié qu'elles parenthèses étaient omises et se mettent à calculer une quantité qui n'a plus rien à voir avec l'énoncé (ou bien à regrouper des termes n'importe comment).

Dès que je leur dis d'écrire les parenthèses, la majorité de leurs erreurs de calcul cessent.
Problème : Au plus 1h après ils ont oublié que mettre toutes les parenthèses est utile, et recommencent à ne pas toutes les mettre.

J'ai essayé d'autres explications (valeur absolue, distance, nombre opposé), mais aucune n'a percuté chez eux.

Je voudrais donner des exercices de remédiation sur le sujet, donc si des collègues ont des idées d'exercices types au collège sur le sujet cela m'aiderait.

Merci à vous deux. Je vois mieux quoi faire. @X.Y.U. tu vois les choses comme moi . Ce que tu as dit va bien m'aider mais je ne vais pas couper à faire complètement mes exercices... (pour demain, ouille).
J'ai l'impression que le principal problème c'est qu'ils maîtrisent peu les propriétés des opérations, et notamment la commutativité de l'addition et la non-commutativité de la soustraction. Je travaille beaucoup dessus en début d'année (et aussi en 6ème mais ceux de cette année je ne les ai pas eu en 6ème), j'espère que cela aidera...
Pour les regroupements de termes, je ne vois pas trop comment justifier sans repasser par la commutativité de l'addition. Mais là c'est pareil, en pratique, quand au lycée j'avais une somme algébrique très longue, je préférais souvent calculer au fur et à mesure (on calcule avec des nombres plus petits et c'est plus facile pour les soustractions) sauf s'il y avait des regroupements évidents...
Furby, je suis d'accord, c'est la méthode actuelle. Mais je n'aime pas du tout les obstacles didactiques qu'elle crée... sans compter l'illisibilité des calculs (hier j'ai copié un exercice de calcul et essayé de le faire, cela m'a rebutée directement, alors les élèves...)

SeismiMine a écrit:En prépa, tous mes élèves qui ont du mal avec les négatifs dans les opérations "niveau collège" ( 2-1, 1-1, 2-(-1), 1/(-1), 2(1-2), (-1)^4, etc) font principalement leurs erreurs par manque de parenthèses.
Au lieu d'écrire proprement toutes les parenthèses en démarrant leur calcul, ils en omettent certaines (mais en mémoire sont capables de dire celles qu'ils omettent).
Une égalité plus loin ils ont oublié qu'elles parenthèses étaient omises et se mettent à calculer une quantité qui n'a plus rien à voir avec l'énoncé (ou bien à regrouper des termes n'importe comment).

Dès que je leur dis d'écrire les parenthèses, la majorité de leurs erreurs de calcul cessent.
Problème : Au plus 1h après ils ont oublié que mettre toutes les parenthèses est utile, et recommencent à ne pas toutes les mettre.

J'ai essayé d'autres explications (valeur absolue, distance, nombre opposé), mais aucune n'a percuté chez eux.

Je voudrais donner des exercices de remédiation sur le sujet, donc si des collègues ont des idées d'exercices types au collège sur le sujet cela m'aiderait.

Ce que tu dis confirme mon point de vue : les habituer à calculer en ajoutant des parenthèses inutiles ne fonctionne pas.
Pas d'idée de remédiation, désolée... j'ai déjà du mal avec les miens, mais j'imagine que les collègues en auront.
La prochaine fois que je vois ma fille, j'essaierai de penser à lui demander comment elle voit les choses et comment elle fait pour éviter les erreurs (je pense qu'elle a appris avec la "nouvelle" méthode), mais ce ne sera pas avant les prochaines vacances probablement.

Mettre des parenthèses partout ?? Cette démarche ne m'inspire pas du tout... Je leur dis d'ailleurs souvent de ne jamais rajouter de parenthèses en plus par rapport à l'expression de l'énoncé (sauf bien sûr cas particulier où on remplace une variable par un nombre négatif dans une expression littérale, ou bien si l'on part sur des factorisations, etc). Parce que souvent, s'ils ajoutent des parenthèses, ils changent l'ordre de priorité de l'expression sans s'en rendre compte.

Pour les regroupements de termes, je ne vois pas trop comment justifier sans repasser par la commutativité de l'addition.

Je le fais bien apparaître au début des calculs de sommes algébriques en leur faisant remarquer que -4+6-7-8+9 c'est la même chose que (-4)+(+6)+(-7)+(-8)+(+9), et qu'il faudra donc toujours considérer le nombre AVEC le signe qui le précède quand on prévoit de déplacer des termes (dans une expression sans parenthèses) (et je souligne par exemple les négatifs en vert et les positifs en rouge, en soulignant bien la partie numérique avec le signe). Je trouve d'ailleurs que ceux qui persistent à garder les parenthèses sont ceux aussi qui n'intègrent pas qu'on ne peut pas déplacer les termes dans une expression du style (-5)-(-3)+(+7)-(+5), ou qui vont barrer le (-5) et le (+5) alors qu'ils ne s'éliminent pas... En les poussant à supprimer les parenthèses, je trouve qu'ils s'y retrouvent beaucoup mieux (bien sûr à ne faire que dans une suite d'additions/soustractions, sans autre priorité à gérer), c'est mon constat sur 20 ans d'enseignement en tout cas.

Invité a écrit:Je me pose la même question.
Les nouveaux programmes de secondes indiquent "La notation de la valeur absolue est introduite pour exprimer la distance entre deux nombres réels et caractériser les intervalles de centre donné. Toute autre utilisation est hors programme.".
Par contre, ça me parait important qu'ils comprennent ces histoires de repérages et de déplacements. Quels sens donné aux nombres relatifs à ce niveau sinon ?

J'avais loupé cette discussion, je reviens sur ce point même si ce n'est pas le sujet principal : effectivement, cette définition de la valeur absolue comme distance à l'origine de l'image d'un nombre sur la droite des réels me semble bien alambiquée pour le niveau seconde. (Je précise que dans mes souvenirs, ça fait bien 20 ans qu'elle est au programme.)

Et je suis encore plus perplexe sur l'intérêt des questions comme "résoudre une inéquation avec valeur absolue du type |x-a| inférieur strictement à r") qui font théoriquement partie des attendus à ce niveau.

J'ai l'impression de l'introduction prématurée d'un travail exagérément formel sur la droite des nombres réels, dont l'objectif est peut-être de préparer le travail sur la définition "epsilonesque" des limites, le problème étant que les limites ne sont plus traitées en première et leur définition formelle rapidement évacuée en terminale. Bref, les élèves de seconde ne réemploieront guère ceci avant le supérieur (et encore, pour ceux qui y étudieront des mathématiques poussées), en ayant largement eu le temps d'oublier entre-temps.

Typiquement, il me semble qu'il s'agit d'un cas où il restent dans les programmes des morceaux d'un formalisme savant, probablement trace des obsessions d'un des rédacteurs à ce moment là, sauf que ces morceaux ne peuvent pas faire sens car ils ne sont pas articulés d'une année sur l'autre.

Bref, je ne me gène pas pour faire une définition simple par disjonction de cas de la valeur absolue : |x|=x si x supérieur ou égal à 0, |x|=-x sinon. Quelques exemples et c'est compris en deux minutes.

(Le problème étant plutôt ensuite que les élèves n'apprennent pas les notations, et que j'ai droit régulièrement à la question "C'est quoi les deux barres autour du x ?". Cette indiférence au respect des notations est d'ailleurs un problème plus général qui rends beaucoup de copies illisibles, je ne sais pas comment l'expliquer à part par une baisse générale des exigences de rigueur.)

Furby a écrit:Je pense que la méthode depuis quelques années consiste à n'apprendre que la règle de l'addition des relatifs.
Ensuite, pour la soustraction, on dicte : "soustraire un nombre relatif est équivalent à additionner son opposé".
C'est plus tard, lorsque tout ceci est bien acquis, qu'on supprime les parenthèses.

Pour ma part, le plus tard arrive aussitôt, dès qu'on apprend la règle de la soustraction et bien on en déduit les règles de simplification et j'aborde le concept de somme algébrique. Certains disent que les sommes algébriques sont des suites d'additions et de soustrations, mais je préfère dire comme nous l'avait expliqué mon prof de collège: c'est une somme où on n'écrit plus les signes + des additions entre les nombres relatifs. Et on ne parle plus de soustraction, -4 -2 c'est la somme de -4 et -2. Et si on veut, on peut toujours dire que c'est la différence entre -4 et 2, mais quand on a pris l'habitude de ne voir que des sommes c'est bien plus simple et essentiel quand on devra réduire des expressions littérales.

En général les élèves comprennent assez bien la méthode pour calculer une somme algébrique :
1/ on simplifie
2/ on regroupe les nombres de même signe
3/ on additionne chaque groupe
4/ on termine par une addition de deux nombres de signes différents

Paradoxalement, il réussissent même mieux qu'avec une somme de 2 termes.