[Mathématiques] Résumé organisé de connaissances pour la démonstration et la mise en équation

Oui, je pense que Villani se berce d'illusions dans cette entrevue. Les programmes ne seront modifiés qu'à la marge, il n'y a qu'à lire l'entretien entre Xavier Buff et la CFEM: http://www.cfem.asso.fr/actualites/nouveau-programmes-math-2015 .

Merci pour le lien, je n'étais pas allée voir depuis longtemps et c'est vrai que la lettre de NVB au CSP ne parlait pas beaucoup de maths.
On verra mais si rien n'a changé, ça va s'ajouter à la liste des arguments contre.

Sur la notion d'équation et la résolution du premier degré. Je m'attaque à la mise en équation en suivant.

Quel travail
J'éviterais de couper le mot "inconnue" dans le dernier titre.
Il n'est pas évident pour tous les élèves de seconde que toutes les occurrences d'une même lettre doivent être remplacées par la même valeur numérique pour que celle-ci soit solution. Autrement dit, ils pensent que -0,5 et 3 sont solutions de l'équation "(2x+1)-(x-3) = 0".

BrindIf a écrit:Quel travail
J'éviterais de couper le mot "inconnue" dans le dernier titre.

C'est juste. Je vais corriger ça.

Il n'est pas évident pour tous les élèves de seconde que toutes les occurrences d'une même lettre doivent être remplacées par la même valeur numérique pour que celle-ci soit solution. Autrement dit, ils pensent que -0,5 et 3 sont solutions de l'équation "(2x+1)-(x-3) = 0".

Ce n'est pas un problème d'équation mais de manipulation d'epresssions algébriques. Ne mélangeons pas tout. C'est une autre fiche.

Merci.

ycombe a écrit:

BrindIf a écrit:
Il n'est pas évident pour tous les élèves de seconde que toutes les occurrences d'une même lettre doivent être remplacées par la même valeur numérique pour que celle-ci soit solution. Autrement dit, ils pensent que -0,5 et 3 sont solutions de l'équation "(2x+1)-(x-3) = 0".

Ce n'est pas un problème d'équation mais de manipulation d'epresssions algébriques. Ne mélangeons pas tout. C'est une autre fiche.

Elle m'a tourné dans la tête, ta remarque.

À la réflexion, la définition que j'ai utilisée présente l'équation comme deux expressions algébriques distinctes, créant le risque que des élèves y voient la possibilité que chaque expression puisse avoir sa propre valeur pour les inconnues. Je réfléchis comment préciser mieux tout ça.

J'ai ajouté une petite phrase pour bien préciser ce point.

Pour la mise en équation

Une de mes sources d'inspiration:


Les connaisseurs auront reconnu Oh, les Maths !, de Yakov Perelman.

ycombe a écrit:J'ai ajouté une petite phrase pour bien préciser ce point.

Personnellement, je parsèmerai le texte de "les deux membres" le plus possible.
P.ex "on peut isoler x en divisant LES DEUX MEMBRES par son coefficient".

ycombe a écrit:Une de mes sources d'inspiration:


Les connaisseurs auront reconnu Oh, les Maths !, de Yakov Perelman.

Personnellement, je fais d'abord lister tous les groupes nominaux correspondants à des grandeurs numériques avant de choisir l'inconnue (d'ailleurs dans les énoncés la question est à la fin !).

Juste mes deux centimes

ben2510 a écrit:
Personnellement, je parsèmerai le texte de "les deux membres" le plus possible.
P.ex "on peut isoler x en divisant LES DEUX MEMBRES par son coefficient".

Je trouve que membre est un peu vague. Je n'en suis pas fan.
2x + 4 = 5 + 3x
2x est membre de l'addition qui forme le coté droit. 2x+4 est membre de l'équation.

ben2510 a écrit:

ycombe a écrit:Une de mes sources d'inspiration:


Les connaisseurs auront reconnu Oh, les Maths !, de Yakov Perelman.

Personnellement, je fais d'abord lister tous les groupes nominaux correspondants à des grandeurs numériques avant de choisir l'inconnue (d'ailleurs dans les énoncés la question est à la fin !).

Juste mes deux centimes

Pourquoi pas? La liste se fait naturellement quand on exprime toutes les grandeurs.

Tu utilises membres pour 2x et 4 dans la somme 2x+4 ?
Je préfère "termes", je n'ai jamais utilisé "membres" pour des parties d'une expression, mais seulement pour les membres d'une équation ou inéquation.
Le fait de préciser "on divise les deux membres de l'équation par un même nombre" permet d'insister (lourdement ) sur la démarche générale (fondamentalement on utilise l'unicité de l'image, a=b => f(a)=f(b) avec réciproque pour les fonctions bijectives, en particulier les quatre opérations sauf la multiplication par zéro) qu'on réutilise longtemps après au lycée.
J'ai vu beaucoup d'erreurs du type "6x = 12"   transformé en "6x = 12/6" où l'élève s'attache plus à un résultat qu'à une démarche (et se satisfait d'écrire des égalités fausses).

Pour la liste des grandeurs, le fait de la faire avant le choix de l'inconnue me semble pertinent car les relations entre grandeurs peuvent alors s'exprimer sans la barrière des expressions littérales, ce qui me semble aplanir un peu la difficulté (sans la supprimer, hein, disons que cela permet de faciliter l'accès AMHA), p.ex avec des flèches surmontées de "+4" ou "*2".

Bonjour ycombe
Encore un sacré boulot, merci de le partager.
A propos de la fiche Mise en équation
Quelques coquilles
Dans Expressions des autres grandeurs, il manque un « s » à « exprimée »,
Dans Ecriture de l’équation : il manque « s » à «grandeur », « expression »,
Dans Ecriture de la mise en équation : il manque « e » à « facilité »
Dans Remarques un « le » en trop

A propos de la fiche Equation et résolution
Je n’ai pas un très bon affichage mais il me semble qu'il y a des coquilles :
Valeurs d'une équation : x^2=9 n'est vraie (on ne peut pas écrire à ce stade "n'est vraie que pour" car cela ne peut pas encore se prouver dans ce paragraphe ni dans cette fiche)
Equations équivalentes : 2x-4=0 et x–3=1 ne sont pas équivalentes
Principe général de résolution : on se ramène à
Exemple du dernier paragraphe la toute première équation 3(2x+2)=…

Quelques remarques
En exemple, il me paraît embêtant de commencer par l’égalité toujours fausse 0=1, ce serait mieux 0x=1, mais en fait je supprimerais cet exemple dans un 1er temps.

Comme "valeurs" est aussi utilisé pour "valeurs de l'inconnue" je remplacerais "valeurs d'une équation", par "vérité d'une égalité" : une équation égalité peut être toujours vraie, toujours fausse ou parfois vraie.

Pour résolution : trouver l’ensemble des valeurs des inconnues qui rendent l’équation l’égalité vraie

Est-ce qu’il n’est pas un peu délicat de dire si tôt dans Résolution d'une équation : 2x=4 a pour seule solution de donner … le principe de résolution étant donné après ?
De même dans Equations équivalentes : l’exemple donné pour l’utilisation du symbole d’équivalence n’arrive-t-il pas trop tôt puisque les procédés de transformations utilisés sont expliqués après ?

Dans équation triviale ce serait plutôt x=b plutôt que x=a car le titre c’est équation ax=b mais vu son usage ensuite, x=k ne serait-il pas mieux ?

Dans l’exemple de la résolution de 0x=b pourquoi ne pas commencer à Résoudre 2x-6=2x pour éviter le développement dont tu ne parles que dans la résolution générale.

Et  pour l’exemple 0x=0, vu ce qui est dit avant pour 2(x+1)=2x+2 égalité toujours vraie, est-il utile de faire toutes les transformations pour résoudre 2(x-3)=2x-6 ?

Pour la vérification, à destination des élèves, je préfère une vérification en deux temps, écrire dès le départ une égalité dont on cherche à savoir si elle est vraie me gêne un peu.

Je suis d’accord avec Ben2510, il est intéressant de parler de membre surtout au moment des transformations, car par exemple on ressent mieux que c’est « tout » ce qui est à gauche et « tout » ce qui est à droite qui est multiplié par un même nombre

Enfin, ce qui est gênant c’est de ne pas parler de l’ensemble des nombres dans lequel on résout l’équation et qui est pourtant déterminant pour les conclusions
Mais au niveau collège, cela semble délicat à aborder.

Même si je vois pleinement l’utilité de résoudre (pour a≠0) ax=b en divisant les deux membres par a, on pourrait la ranger dans les « triviales » dans la mesure où c’est la définition du quotient b/a qui est derrière : seul nombre qui multiplié par a donne b.

Grâce à la tienne, voici ma proposition (il y a des redondances et la mise en page est à refaire) qui attend les critiques :

ycombe a écrit:J'ai ajouté une petite phrase pour bien préciser ce point.

Clair et efficace

neo-fit a écrit:

Pour la vérification, à destination des élèves, je préfère une vérification en deux temps, écrire dès le départ une égalité dont on cherche à savoir si elle est vraie me gêne un peu.

Tout pareil, "pour vérifier une égalité on calcule séparément les deux membres" (combien de fois l'ai-je écrit sur une copie   ).
On peut remplacer "calculer" par "développer réduire et ordonner" aussi.

neo-fit a écrit:
Je suis d’accord avec Ben2510, il est intéressant de parler de membre surtout au moment des transformations, car par exemple on ressent mieux que c’est « tout » ce qui est à gauche et « tout » ce qui est à droite qui est multiplié par un même nombre

Même en lycée on tombe sans arrêt sur l'erreur "x/3+3=12 <=> x +3 =36" (version TS  "3*exp(4x)=12 <=> 3*4x=ln(12)" ).
A la limite il faudrait presque parenthéser chaque membre avant d'opérer sur les deux membres, p.ex x/3+3=12 qui devient 3*(x/3+3)=3*(12).

Un truc qui vient d'Angleterre ou d'Allemagne, je ne sais plus, et que je trouve très utile, est de préciser l'opération effectuée, en bout de ligne, après une petite barre verticale :
3*exp(4x)>12   | :3
exp(4x) > 4      | ln
4x > 2 ln 2       | :4
x  > (ln 2)/2
(j'ai mis une inéquation pour souligner qu'une des propriétés de collège les plus utiles au lycée est "multiplier ou diviser par un négatif inverse l'ordre", c'est vraiment un travail de longue haleine...)

Merci pour le boulot effectué, Ycombe