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ycombe
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par ycombe le Ven 17 Aoû 2018 - 1:40
@ben2510 a écrit:"Essayer d’échapper à l’intervention de la réalité physique dans les mathématiques est une attitude sectaire et isolationniste qui détruit aux yeux de toute personne sensée l’image des mathématiques comme activité utile."

Ça me parle bien. Mais je ne suis pas très porté sur l'abstraction.
La question des fondements a permis de grands progrès et elle était entièrement tournée vers la mise à plat de ce qui, dans la réalité physique, était nécessaire pour en obtenir un modèle mathématique précis (et minimal).

C'est bien gentil de décrire les nombres réels comme pouvant décrire le déroulé du temps (c'était l'approche de Gauss si mes souvenirs sont exacts), c'est bien mieux d'être capable de lister les axiomes qui régissent les propriétés de ces nombres.

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Sacapus
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par Sacapus le Ven 17 Aoû 2018 - 11:16
@xyz a écrit:Puisqu'on parle d'Arnold, voilà ce qu'il pensait de l'enseignement des maths en France:
http://smf4.emath.fr/Publications/Gazette/1998/78/smf_gazette_78_19-29.pdf
On s'en prend plein la figure, avec des arguments très valables. J'ai tout de suite pensé à ce texte dès que j'ai vu la discussion ici.
Bonjour.
Je vous remercie de m'avoir fait découvrir ce texte.
cassiopella
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par cassiopella le Sam 20 Oct 2018 - 14:46
Comme l'éducation nationnale a publié les repères pour le collège et les programmes de Seconde et 1iere, je complète les plannings données ici: ici

Pour rappel, il s'agit uniquement de l'algèbre et de l'analyse. La géométrie est enseignée à part (1 ou 2 fois 45 min / semaine).

La famille des manuels que j'ai donnée, s'adresse à la fois aux classes non scientifiques et scientifiques. Ici je vais publié le planning pour les classes scientifiques qui ont 2h de plus pour les maths. Pour les classes non-scientifique le planning est à peu près le même, certaines notions ne sont pas étudiées. Après cela dépend du professeur et de la classe. Le professeur de la classe non-scientifique peut décider de faire le programme scientifique, si la classe est capable de suivre.

10ieme année (équivalant de 1ière S en France): il y a 5 cours de 45 minutes par semaine. Au total 155 cours.
planning:

Nombres réels (13h) :
- Nombres réels, ensemble des nombres (N,Z,Q,D), propriétés des nombres
- Raisonnement par récurrence
- Permutations, combinaisons, arrangements
- Divisibilité des entiers
- Congruence et modulo m

(In)équations rationnelles (25h)
- Introduction
- Formule du binôme
- Algo d'Euclide et théorème de Bézout
- Système des (in)équations des polynômes

Racine n (14h)
- Rappel sur les fonction
- fonction y=x^n
- racine n-ieme
- racine avec n  pair/impair
- racine arithmétique et propriétés
- fonction = racine_[n] (x)

Puissance des nombres positifs (14h)
- exposants rationnelles (n/m), propriétés
- limite d'une suite, propriétés
- limite d'une suite géométrique
- nombre e (démonstration en utilisant les limites)
- exposants irrationnelles
- fonction y=a^x

Logarithme (8h)
- Définition, propriétés
- fonction y = log_[a](x)

(In)équations: puissances, logarithmes (13h)
- ensemble des méthodes

Sinus et cosinus (11h)
- Définition, radians, degrés
- propriétés pour sin(a) et cos(a)
- arcsin, arccos

Tan et ctg (10h)
- définitions, propriétés
- arctg, arcctg

Trigonométrie: identités remarquables (13h)

Fonctions trigonométriques (9h)
- sin(x), cos(x), tg(x), ctg(x)

(In)équations trigonométriques (16h)

Probabilité : introduction (9h)

11ieme année (équivalant de Tale S en France): il y a 5 cours de 45 minutes par semaine. Au total 157 cours.
planning:
Fonctions et les courbes représentatives (11h):
- fonctions usuelles
- domaine de définition, domaine d'application (??? je ne suis pas sure), fonctions bornées
- fonctions paires, impaires, périodiques
- Intervalles de variations, f(x) positive/négative
- Analyse de la fonction et construction des graphiques (fonctions simples)
- Changement des graphiques (addition, soustraction, multiplication etc)
- Fonctions contenant des valeurs absolues
- Autres fonctions compliquées

Limite d'une fonction, continuité d'une fonction (6h)
- limites, propriétés et opérations, limites à gauches et à droite
- continuité des fonctions

Fonctions inverses (6h)

Dérivée (12h)
- définitions, propriétés
- dérivée d'une somme
- dérivée d'un produit et d'un quotient
- dérivées des fonctions usuelles
- dérivée d'une fonction composée
- dérivée d'une fonction inverse

Dérivées: applications (19h)
- Maximum et minimum de la fonction
- tangente
- approximations
- intervalles de variations
- dérivées secondes et dérivées n-ieme
- convexité
- asymptote
- Série de Taylor

Primitive et intégrale (18h)
- Primitive, relation de Chasles
- Changement de variable, intégration par partie
- Sommes de Riemann, calcul approximatif de l'intégrale, formule de Newton-Lebesgue
- propriétés des intégrales définies
- applications en géométrie et physique

(In)équations (75h)
Une drôle de partie que je ne sais pas traduire. En gros on reprend tout ce qu'on a appris pendant 11 ans et on l'utilise (y compris les dérivées et les intégrales). Il y a des méthodes plus poussées, on introduit les paramètres dans les (in)équations.

Nombres complexes (10h)

Dans une classe moyenne et faible, ces deux manuels sont inutilisables (à mon avis). Je préfère le manuel de Kolmogorov qui est plus cadré et il y a plus d'exercices.

_________________
Moi et l'orthographe, nous ne sommes pas amis. Je corrige les erreurs dès que je les vois. Je m'excuse pour celles que je ne vois pas...
cassiopella
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Plus de 50% d'élèves peuvent être bons en maths et préparer le BAC S - Page 12 Empty Re: Plus de 50% d'élèves peuvent être bons en maths et préparer le BAC S

par cassiopella le Dim 27 Jan 2019 - 15:52
On m'a demandé ici et plusieurs fois par la messagerie forum de mettre le programme de la géométrie. Bon, j'ai eu un peu de temps. Ce n'est pas facile, parce que c'est une autre façon d'enseigner la géométrie. Et, en plus, je ne connais pas les traductions françaises. Il faut faire les allers-retours de wikipedia russe <=> française.  Il se peut que j’aie mal traduit ou mal dit certaines choses.

Le principe du cours de maths en Russie: on apprend une notion qu'on utilise régulièrement ensuite. Apprendre quelques chose et l'oublier pendant quelques mois ou un an - c'est niet! Il est considéré que faire la géométrie sans démonstrations est aberrant. Par ailleurs le langage  n'est pas facile et il faut une certaine maturité pour pouvoir démontrer et raisonner.  C'est pour cela que la géométrie commence qu'en 4ième, mais comme un cours à part: 1-2 fois par semaine. On ne parle pas des angles supplémentaires, complémentaires etc. avant. Pas de triangles isocèle et équilatéral. Avant le 4ième, c'est la manipulation des objets géométriques : périmètre, aire, surface, volume, les différentes figures, distance, les objets géométriques dans la vie de tous les jours. Pas de théorèmes, pas de définition, pas de formalisme.

Le cours de géométrie dure 5 ans :
1) Planimétrie : géométrie dans plan/demi-plan (4ième, 3ième , seconde)
2) Stéréométrie :   géométrie dans l’espace (1ière , Tale)


Dans le cours tout est démontré! Chaque paragraphe du cours contient un ou plusieurs théorèmes. On commence en utilisant le langage très simple et on explique les moindres détails. Par exemple une page entière de texte qui explique ce que c'est une droite.

Je détaille ici le cours en 4ième, c’est-à-dire la première année de géométrie.
1) Les propriétés basiques des figures les plus simples
Spoiler:
1.1) Figures géométriques
1.2) Point et la droite:
--- droite est infinie
--- point appartient à la droite ou non
--- Propriété : entre deux points distincts il est possible de dessiner (?) une droite et une seule
--- notations
1.3) Segment
--- définition et exemple
--- propriété : parmi trois points sur une droite, uniquement un point peut être entre deux autres.
1.4) Mesurer un segment
--- propriété 1 : chaque segment a une longueur qui est supérieur à 0.
--- propriété 2 : la longueur d'un segment est égale à la somme des longueurs de ses parties sur lesquelles il est divisé par des points.
--- distance entre les points (N.B. en algèbre ils apprennent aussi la définition de la valeur absolue)
1.5) Demi plan: définition, appartenance des points à demi plan, intersection entre le segment et la droite qui divise le plan en demi-plan.
1.6) Demi droite
1.7) Angle : définition, notation, types d'angles
--- propriété 1 : chaque angle a une mesure unique en degrés qui est supérieure à 0.
--- angle plat = 180°
--- la mesure en degrés de l'angle est égale à la somme des angles qui le composent.
1.8) Dessiner les segments et les angles
--- règle de l'unicité de l'angle et du segment.
1.9) Triangle, égalité des triangles : définition
1.10) Existence d'un triangle qui est égale à l'autre triangle.
1.11) Droites parallèles: définitions, notations, axiome (on peut faire passer une seule droite parallèle à une autre par le point qui n'appartient pas à la droite initiale).
1.12) Théorèmes et démonstrations
1.13) Axiomes

2) Angles supplémentaires et opposés par le sommet
Spoiler:
2.14) Angles supplémentaires, théorème + preuve
2.15) Angles opposés par le sommet, théorème + preuve
2.16) Droite perpendiculaire, notations, définition, théorème + preuve
2.17) Raisonnement par contraposition
2.18) Bissectrice d'un angle
2.19) Méthodologie de travail en cours de géométrie

3) Égalité des triangles
Spoiler:
3.20) Théorème 1 de l'égalité des triangles
3.21) Utilisation des axiomes dans la démonstration des théorèmes
3.22) Théorème 2 de l'égalité des triangles  
3.23) Triangle isocèle, théorème des angles dans le triangle isocèle
3.24) Réciproque du théorème des angles dans un triangle isocèle
3.25) Hauteur, médiane et bissectrice d'un triangle
3.26) Propriété de la médiane dans le triangle isocèle
3.27) Théorème 3 de l'égalité des triangles
3.28) Travailler de façon autonome avec le manuel si p.ex. vous étiez malade (hahaha  je me souviens de ce chapitre! )

4) Somme des angles dans un triangle
Spoiler:
4.29) Droites parallèles, théorème de trois droites parallèles
4.30) Angles formés par la sécante à deux droites parallèles
4.31) Théorème des angles pour démontrer que 2 droites sont parallèles
4.32) Propriétés des angles formés par la sécante à deux droites parallèles
4.33) La somme des angles dans un triangle
4.34) Angles extérieurs et intérieurs dans un triangle
4.35) Triangle rectangle
4.36) Existence et unicité d'un perpendiculaire à une droite
4.37) Un peu d'histoire

5) Constructions géométriques
Spoiler:
5.38) Cercle
5.39) Cercle circonscrit à un triangle
5.40) Tangente à un cercle
5.41) Cercle inscrit dans un triangle
5.42) Construction géométriques - principes de base
5.43) Construction d'un triangle avec des côtés donnés
5.44) Construction d'un angle égal à un autre angle
5.45) Bissectrice d'un angle
5.46) Diviser le segment en deux segments égaux
5.47) Perpendiculaire
5.48) Lieu géométrique
5.49) Méthodes des lieux géométriques

Un exemple d'exercice pour le chapitre 1:
Enoncé: Les points A, B, C appartiennent à la même droite. On sait que AB = 4.3 cm, AC = 7.5 cm, BC = 3.2 cm. Est-ce que le point A peut être entre les points B et C? Est-ce que le point C peut être entre les points A et B? Quel point parmi A, B, C est entre deux autres points?
Solution:

1) Si le point A est entre B et C, alors d'après la propriété de la mesure des ségments on doit obtenir AB + AC = BC. Or 4.3 + 7.5 <> 3.2. Donc le point A ne se trouve pas entre B et C.
2) Si le point C est entre A et B, alors AC + BC = AB. Or 7.5 + 3.2 <> 4.3. Le point C n'est pas entre les points A et B.
3) D'après la propriété des points du segments, parmi les trois points un seul peut être entre deux autres. A et C ne sont pas entre deux points, alors B est entre A et C.

Un autre exemple d'exercice en fin d'année:
Énonce : Le cercle inscrit dans un triangle ABC touche ses côtés en points A1, B1, C1 (le A1 est opposé au sommet A, de même pour C1 et B1). Démontrer que AC1 = (AB+AC-BC)/2

Et finalement, les grands chapitres des années suivantes que je ne détaille pas.
3ième:
6) Quadrilatères: parallélogramme, carré, rectangle, losange, trapèze, théorème de Thales.
7) Théorème de Pythagore, sin/cos/tan/ctg,
8) Coordonnées et Repère cartésien, distance entre points, milieu d'un segment, coordonnées d'un cercle etc.
9) Symétrie et translation
10) Vecteurs, valeur absolue en tant que distance, opérations avec les vecteurs.

Seconde :
11) Figures semblables
12) Triangles, loi des sinus, théorème  al-Kashi
13) Polygones
14) Aire des figures géométriques
15) Introduction à la géométrie dans l'espace

1ière et Tale : Géométrie dans l'espace
1) Introduction, axiomes
2) Droites parallèles et plan parallèles, tétraèdre, parallélépipède
3) Droites et plans perpendiculaires
4) Polyèdres
5) Vecteurs dans l'espace, vecteurs coplanaires
6) Coordonnées, translations
7) Cylindre, coniques, sphères
8) Volumes des figures
9) Approfondissement (chapitre optionnel, couvre les 5 ans d'études)

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par ycombe le Dim 27 Jan 2019 - 16:15
@cassiopella a écrit:On m'a demandé ici et plusieurs fois par la messagerie forum de mettre le programme de la géométrie. Bon, j'ai eu un peu de temps. Ce n'est pas facile, parce que c'est une autre façon d'enseigner la géométrie. Et, en plus, je ne connais pas les traductions françaises. Il faut faire les allers-retours de wikipedia russe <=> française.  Il se peut que j’aie mal traduit ou mal dit certaines choses.

Le principe du cours de maths en Russie: on apprend une notion qu'on utilise régulièrement ensuite. Apprendre quelques chose et l'oublier pendant quelques mois ou un an - c'est niet! Il est considéré que faire la géométrie sans démonstrations est aberrant. Par ailleurs le langage  n'est pas facile et il faut une certaine maturité pour pouvoir démontrer et raisonner.  C'est pour cela que la géométrie commence qu'en 4ième, mais comme un cours à part: 1-2 fois par semaine. On ne parle pas des angles supplémentaires, complémentaires etc. avant. Pas de triangles isocèle et équilatéral. Avant le 4ième, c'est la manipulation des objets géométriques : périmètre, aire, surface, volume, les différentes figures, distance, les objets géométriques dans la vie de tous les jours. Pas de théorèmes, pas de définition, pas de formalisme.

Le cours de géométrie dure 5 ans :
1) Planimétrie : géométrie dans plan/demi-plan (4ième, 3ième , seconde)
2) Stéréométrie :   géométrie dans l’espace (1ière , Tale)


Dans le cours tout est démontré! Chaque paragraphe du cours contient un ou plusieurs théorèmes. On commence en utilisant le langage très simple et on explique les moindres détails. Par exemple une page entière de texte qui explique ce que c'est une droite.

Je détaille ici le cours en 4ième, c’est-à-dire la première année de géométrie.
1) Les propriétés basiques des figures les plus simples
Spoiler:
1.1) Figures géométriques
1.2) Point et la droite:
--- droite est infinie
--- point appartient à la droite ou non
--- Propriété : entre deux points distincts il est possible de dessiner (?) une droite et une seule
--- notations
1.3) Segment
--- définition et exemple
--- propriété : parmi trois points sur une droite, uniquement un point peut être entre deux autres.
1.4) Mesurer un segment
--- propriété 1 : chaque segment a une longueur qui est supérieur à 0.
--- propriété 2 : la longueur d'un segment est égale à la somme des longueurs de ses parties sur lesquelles il est divisé par des points.
--- distance entre les points (N.B. en algèbre ils apprennent aussi la définition de la valeur absolue)
1.5) Demi plan: définition, appartenance des points à demi plan, intersection entre le segment et la droite qui divise le plan en demi-plan.
1.6) Demi droite
1.7) Angle : définition, notation, types d'angles
--- propriété 1 : chaque angle a une mesure unique en degrés qui est supérieure à 0.
--- angle plat = 180°
--- la mesure en degrés de l'angle est égale à la somme des angles qui le composent.
1.8) Dessiner les segments et les angles
--- règle de l'unicité de l'angle et du segment.
1.9) Triangle, égalité des triangles : définition
1.10) Existence d'un triangle qui est égale à l'autre triangle.
1.11) Droites parallèles: définitions, notations, axiome (on peut faire passer une seule droite parallèle à une autre par le point qui n'appartient pas à la droite initiale).
1.12) Théorèmes et démonstrations
1.13) Axiomes

2) Angles supplémentaires et opposés par le sommet
Spoiler:
2.14) Angles supplémentaires, théorème + preuve
2.15) Angles opposés par le sommet, théorème + preuve
2.16) Droite perpendiculaire, notations, définition, théorème + preuve
2.17) Raisonnement par contraposition
2.18) Bissectrice d'un angle
2.19) Méthodologie de travail en cours de géométrie

3) Égalité des triangles
Spoiler:
3.20) Théorème 1 de l'égalité des triangles
3.21) Utilisation des axiomes dans la démonstration des théorèmes
3.22) Théorème 2 de l'égalité des triangles  
3.23) Triangle isocèle, théorème des angles dans le triangle isocèle
3.24) Réciproque du théorème des angles dans un triangle isocèle
3.25) Hauteur, médiane et bissectrice d'un triangle
3.26) Propriété de la médiane dans le triangle isocèle
3.27) Théorème 3 de l'égalité des triangles
3.28) Travailler de façon autonome avec le manuel si p.ex. vous étiez malade (hahaha  je me souviens de ce chapitre! )

4) Somme des angles dans un triangle
Spoiler:
4.29) Droites parallèles, théorème de trois droites parallèles
4.30) Angles formés par la sécante à deux droites parallèles
4.31) Théorème des angles pour démontrer que 2 droites sont parallèles
4.32) Propriétés des angles formés par la sécante à deux droites parallèles
4.33) La somme des angles dans un triangle
4.34) Angles extérieurs et intérieurs dans un triangle
4.35) Triangle rectangle
4.36) Existence et unicité d'un perpendiculaire à une droite
4.37) Un peu d'histoire

5) Constructions géométriques
Spoiler:
5.38) Cercle
5.39) Cercle circonscrit à un triangle
5.40) Tangente à un cercle
5.41) Cercle inscrit dans un triangle
5.42) Construction géométriques - principes de base
5.43) Construction d'un triangle avec des côtés donnés
5.44) Construction d'un angle égal à un autre angle
5.45) Bissectrice d'un angle
5.46) Diviser le segment en deux segments égaux
5.47) Perpendiculaire
5.48) Lieu géométrique
5.49) Méthodes des lieux géométriques

Un exemple d'exercice pour le chapitre 1:
Enoncé: Les points A, B, C appartiennent à la même droite. On sait que AB = 4.3 cm, AC = 7.5 cm, BC = 3.2 cm. Est-ce que le point A peut être entre les points B et C? Est-ce que le point C peut être entre les points A et B? Quel point parmi A, B, C est entre deux autres points?
Solution:

1) Si le point A est entre B et C, alors d'après la propriété de la mesure des ségments on doit obtenir AB + AC = BC. Or 4.3 + 7.5 <> 3.2. Donc le point A ne se trouve pas entre B et C.
2) Si le point C est entre A et B, alors AC + BC = AB. Or 7.5 + 3.2 <> 4.3. Le point C n'est pas entre les points A et B.
3) D'après la propriété des points du segments, parmi les trois points un seul peut être entre deux autres. A et C ne sont pas entre deux points, alors B est entre A et C.

Un autre exemple d'exercice en fin d'année:
Énonce : Le cercle inscrit dans un triangle ABC touche ses côtés en points A1, B1, C1 (le A1 est opposé au sommet A, de même pour C1 et B1). Démontrer que AC1 = (AB+AC-BC)/2

Et finalement, les grands chapitres des années suivantes que je ne détaille pas.
3ième:
6) Quadrilatères: parallélogramme, carré, rectangle, losange, trapèze, théorème de Thales.
7) Théorème de Pythagore, sin/cos/tan/ctg,
8) Coordonnées et Repère cartésien, distance entre points, milieu d'un segment, coordonnées d'un cercle etc.
9) Symétrie et translation
10) Vecteurs, valeur absolue en tant que distance, opérations avec les vecteurs.

Seconde :
11) Figures semblables
12) Triangles, loi des sinus, théorème  al-Kashi
13) Polygones
14) Aire des figures géométriques
15) Introduction à la géométrie dans l'espace

1ière et Tale : Géométrie dans l'espace
1) Introduction, axiomes
2) Droites parallèles et plan parallèles, tétraèdre, parallélépipède
3) Droites et plans perpendiculaires
4) Polyèdres
5) Vecteurs dans l'espace, vecteurs coplanaires
6) Coordonnées, translations
7) Cylindre, coniques, sphères
8) Volumes des figures
9) Approfondissement (chapitre optionnel, couvre les 5 ans d'études)
Tu as manifestement fait un gros travail pour répondre aux questions de certains et je  t'en remercie au nom de tous ici.

Большое спасибо, Кассиопея

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Franck Ramus : "Les sciences de l'éducation à la française se font fort de produire un discours savant sur l'éducation, mais ce serait visiblement trop leur demander que de mettre leur discours à l'épreuve des faits".
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