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- ycombeMonarque
Chapeau !archeboc a écrit:
- Spoiler:
Nous allons montrer que cet angle est constant lorsqu'on rejoint la configuration générale, par rotation du pentagone vert autour de A.
Appelons B l'autre point d'intersection des deux cercles circonscrits aux deux pentagones : comme dans la configuration particulière les deux cercles sont tangents, l'existence de B est garantie.
Considérons maintenant une des droites qui dans la configuration particulière joint B (confondu avec A) à l'un des angles de chacun des pentagones. Dans la configuration générale, nous allons montrer que ces trois points restent alignés. Pour cela, nous allons montrer que les deux droites joignant B aux deux angles des deux pentagones vont dévier d'un même angle. Appelons les droite rouge et droite verte.
Appelons a l'angle de rotation du pentagone vert de la position particulière à la position générale.
Appelons r (resp.. v) l'angle sous lequel le centre du pentagone rouge (resp. vert) voit AB. Ces trois valeurs sont reliées par l'équation : r+v=2a (angles des rayons de deux cercles intersectants).
Or :
- la déviation de la droite rouge est de la moitié de r, par théorème de l'angle au centre.
- la déviation de la droite verte est la somme de deux composantes : d'une part la rotation du pentagone vert, d'autre part la dérive du point B. La rotation est de a, et la dérive est la moitié de l'opposée de v (moitié de v, toujours par théorème de l'angle au centre, et l'opposée, parce que B avance dans un sens opposé selon que l'on regarde depuis rouge ou depuis vert).
Les déviations des deux droites sont elles égales ? Autrement dit r/2=a-v/2 ?
Oui, c'est exactement la formule précédente.
J'avais cherché un truc comme ça mais j'avoue y avoir renoncé. Trop complexe pour moi...
ycombeMonarque
J'ai usé (et peut-être même un peu abusé) de mon privilège de modérateur pour mettre en spoiler les solutions.
Je propose de placer les solutions en spoiler systématiquement, pour ceux qui voudraient garder le plaisir de chercher.
Dernier problème posé:
https://www.neoprofs.org/t99289p200-petits-problemes-de-mathematiques#4159543
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Assurbanipal: "Passant, mange, bois, divertis-toi ; tout le reste n’est rien".
Franck Ramus : "Les sciences de l'éducation à la française se font fort de produire un discours savant sur l'éducation, mais ce serait visiblement trop leur demander que de mettre leur discours à l'épreuve des faits".
FenrirHabitué du forum
Ma réponse. (je suis plus efficace le matin on dirait)
- Réponse:
Soit O le centre du cercle
Soit H le point de tangence entre le cercle et (BC)
Soit F l'intersection de [AD] avec la parallèle à (AB) passant par E.
Soit G l'intersection de (AD) et (BC)
Par Pythagore dans AEF, on obtient que EF=9
Donc OE=6
Par trigonométrie dans OHE, on obtient que FÊC = 30°
Par trigonométrie dans FGE, on obtient que GF= 3*sqrt(3) et EG=6*sqrt(3)
Par Thalès dans ABG avec (EF)//(AB), on obtient : GB = 6*sqrt(3)+6
Donc EB = GB - GE = 6.
(Je vous laisse le soin des calculs
)
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À quoi bon mettre son pédigrée, on est partis pour 40 ans*. ████ ████. * 42, il faut lire 42.
- ycombeMonarque
Oui. Ça marche.
J'étais content de moi, j'ai trouvé une autre solution
et puis je suis tombé sur celle là qui m'a bien fait comprendre à quel point j'avais des progrès à faire en géométrie pure:
- Ma solution:
Je suis passé bien sûr par Pythagore, pour FE=9. Ensuite, appelant par exemple K l'intersection du cercle et de [OE], on a facilement FO=OK=KE=3.
Une histoire de mediane issue de l'hypoténuse du triangle (rectangle, forcément rectangle) EHO donne OKE équilatéral.
Montrons maintenant que ECO est isocèle en E, ce qui va régler le problème.
Notons que dans ECO, l'angle E mesure 30° (par le triangle équilatéral déjà évoqué par exemple)
Appelons L le point de tangence du cercle avec CD. OC est la bissectrice de HOL donc l'angle OHC mesure 15°
On en déduit que l'angle en O dans EOC mesure 75°, et la somme des angles du triangle permet d'assurer qu'il en de même pour l'angle C dans ECO.
Donc ECO est isocèle et x=6.
J'étais content de moi, j'ai trouvé une autre solution
- Autre idée:
En appelant C' le 4e sommet du rectangle ADCC', en montrant que ECC' est équilatéral.
et puis je suis tombé sur celle là qui m'a bien fait comprendre à quel point j'avais des progrès à faire en géométrie pure:
- La solution du livre:
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- ycombeMonarque
ycombe a écrit:
- La solution du livre:
Cette solution m'a aiguillé vers une autre:
- Spoiler:
Le cercle inscrit tangent aux quatre côtés donne une aire du quadrilatère égale au demi-périmètre multiplié par le rayon du cercle inscrit. Ce périmètre est, par ailleurs, égal à 9*6=54 par la longueur FE qui est la moyenne des deux bases.
D'où x=6 en résolvant l'équation.
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archebocEsprit éclairé
On est sur des propriétés très particulières et très peu connues !
Allez, je sèche sur l'exercice 2 des olympiades de cette année :
Trouver toutes les fonctions f de R dans R tq : f( f(x).f(y) ) + f(x+y) = f(xy)
- ycombeMonarque
archeboc a écrit:
On est sur des propriétés très particulières et très peu connues !
- Spoiler:
- Celle par l'égalité de la somme des côtés opposés résulte directement de la propriété des tangentes par un point extérieur au cercle. Je n'ai pas pensé à utiliser ces égalités, ce qui me fait rager.
La seconde, par les aires, est une propriété connue des cercles: l'aire est égale au produit du demi-périmètre par le rayon du cercle inscrit. Se généralise facilement si tous les côtés sont tangents au cercle inscrit aux autres polygones.
Disons que si f(0)=0, alors la fonction est nulle.
Allez, je sèche sur l'exercice 2 des olympiades de cette année :
Trouver toutes les fonctions f de R dans R tq : f( f(x).f(y) ) + f(x+y) = f(xy)
Je vous laisse trouver les autres possibilités.
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- ycombeMonarque
Ma fille a eu ça en anglais euro (1ère). J'aime bien.
Un nombre non premier est dit spécial si ni lui ni son double ne sont divisibles par un carré.
Trouver la liste des nombres spéciaux inférieurs à 50.
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William FosterExpert
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Tout le monde me dit que je ne peux pas faire l'unanimité.
"Opinions are like orgasms : mine matters most and I really don't care if you have one." Sylvia Plath
Vérificateur de miroir est un métier que je me verrais bien faire, un jour.
ben2510Expert spécialisé
ycombe a écrit:Ma fille a eu ça en anglais euro (1ère). J'aime bien.
Un nombre non premier est dit spécial si ni lui ni son double ne sont divisibles par un carré.
Trouver la liste des nombres spéciaux inférieurs à 50.
Effectivement, on peut trouver rapidement des théorèmes, ce qui permet le plaisir de la découverte. Si en plus on connaît la DEFP, on peut conclure rapidement !
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On fait la science avec des faits, comme on fait une maison avec des pierres : mais une accumulation de faits n'est pas plus une science qu'un tas de pierres n'est une maison. Henri Poincaré La notion d'équation différentielle est le pivot de la conception scientifique du monde. Vladimir Arnold
- archebocEsprit éclairé
ycombe a écrit:Disons que si f(0)=0, alors la fonction est nulle.archeboc a écrit:
Allez, je sèche sur l'exercice 2 des olympiades de cette année :
Trouver toutes les fonctions f de R dans R tq : f( f(x).f(y) ) + f(x+y) = f(xy)
Je vous laisse trouver les autres possibilités.
Personne pour nous débloquer ? J'arrive à résoudre sur Z, j'ai des pistes pour Q, mais je ne vois pas comment on se débrouille pour R.
kioupsPBTHabitué du forum
Si les fonctions sont continues, résoudre sur Q suffit.
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- Spoiler:
- 2004-2005 : stagiaire en lycée (seconde)
2005-2006 : stagiaire (again !) en collège (4ème)
2006-2008 : TZR en collège à l'année (5-4-3 PP 5ème puis 6-5)
2008-2011 : collège 1 (6-5-3, PP 6ème puis 5ème)
2011-2012 : collèges 2 et 3 (6-4, PP 6ème)
2012-2017 : collège 2 (un peu de tout, PP 6ème)
2017 : agreg interne
2017-2018 : lycée 1 (1S, 1STI2D, seconde)
2018-2019 : lycée 1 (1S, TS, TSTI2D, PP 1S et TS)
- ben2510Expert spécialisé
J'ai trouvé quelques documents sympas,
https://www.math.u-psud.fr/~perrin/CAPES/analyse/fonctions/Equationfonctionnelle.pdf
http://www.normalesup.org/~kortchem/olympiades/Stages/2003%20Saint%20Malo/Equations%20Fonctionnelles/eqfonc-cours.pdf
https://www.math.u-psud.fr/~perrin/CAPES/analyse/fonctions/Equationfonctionnelle.pdf
http://www.normalesup.org/~kortchem/olympiades/Stages/2003%20Saint%20Malo/Equations%20Fonctionnelles/eqfonc-cours.pdf
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On fait la science avec des faits, comme on fait une maison avec des pierres : mais une accumulation de faits n'est pas plus une science qu'un tas de pierres n'est une maison. Henri Poincaré La notion d'équation différentielle est le pivot de la conception scientifique du monde. Vladimir Arnold
- archebocEsprit éclairé
ben2510 a écrit:J'ai trouvé quelques documents sympas,
https://www.math.u-psud.fr/~perrin/CAPES/analyse/fonctions/Equationfonctionnelle.pdf
http://www.normalesup.org/~kortchem/olympiades/Stages/2003%20Saint%20Malo/Equations%20Fonctionnelles/eqfonc-cours.pdf
La seconde référence devrait être la meilleure, puisque c'est une préparation d'olympiade. Mais les exemples qu'elle traite sont constitués soit de problèmes sur N ou Q, soit de problème ajoutant à l'équation une hypothèse supplémentaire de continuité, ou assimilée.
Le problème des dernières olympiades sur lequel nous séchons ne propose aucune hypothèse de ce type, et porte bien sur l'ensemble R.
Attend-on dans ce cas des compétiteurs qu'ils ajoutent les hypothèses qui manquent ? Difficile dans ces conditions de faire une notation équitable.
- Vincent83Niveau 6
On montre assez facilement que si f est non nulle alors f(0)=+/-1. Comme f est solution ssi -f l'est on suppose par la suite f(0)=1.
SI on sait montrer que f est injective (je cherche encore!) alors:
la relation appliquée à x et 0 donne f(f(x))+f(x)=1
le relation appliquée à f(x) et 0 donne f(f(f(x)))+f(f(x))=1
D'où f(f(f(x)))=f(x) et par injectivité f(f(x))=x donc f(x)=1-x
Ceci sans continuité de f à priori!
Je continue à chercher pour l'injectivité, vu le peu d'hypothèses sur f c'est probablement une piste valable...mais à force d'essayer on s'y perd ;-)
SI on sait montrer que f est injective (je cherche encore!) alors:
la relation appliquée à x et 0 donne f(f(x))+f(x)=1
le relation appliquée à f(x) et 0 donne f(f(f(x)))+f(f(x))=1
D'où f(f(f(x)))=f(x) et par injectivité f(f(x))=x donc f(x)=1-x
Ceci sans continuité de f à priori!
Je continue à chercher pour l'injectivité, vu le peu d'hypothèses sur f c'est probablement une piste valable...mais à force d'essayer on s'y perd ;-)
- archebocEsprit éclairé
J'ai essayé de montrer l'injectivité, je n'ai rien trouvé. Il me semble que la condition d'injectivité est encore plus forte que la condition de continuité, car la condition de continuité est souvent locale.
Mes étapes sont :
- f(0)=1 ou f(0)=-1 [j'avais loupé la symétrie f/-f]
- si x<>1, posons y=x/(x-1), alors xy=x+y et donc f(f(x).f(y)) = 0
on en déduit dans le même temps que f(x) n'est pas nul et qu'il existe un antécédent de 0 : cet antécédent est donc 1. Donc f(1)=0
- il vient facilement que pour tout x, f(0)=f(x)-f(x+1), et par récurrence, que nf(0)=f(x)-f(x+n).
- f réalise donc une injection sur Z. Dans le cas f(0)=1, f(n)=1-n
- A partir de là, je suis dans le brouillard. Je vois bien deux trois pistes, mais rien qui permettent d'atteindre R.
- MatheodHabitué du forum
Comment vous faites pour montrer que f(0) = 1 ou f(0) = -1 ?
- archebocEsprit éclairé
Matheod a écrit:Comment vous faites pour montrer que f(0) = 1 ou f(0) = -1 ?
Tu as raison, il y a un problème dans l'ordre de mes étapes. Je reprends :
- si x<>1, posons y=x/(x-1), alors xy=x+y et donc f(f(x).f(y)) = 0
- si f n'est pas la fonction nulle, alors pour tout x différent de 1, f(x) est non nul.
- du même résultat, on déduit qu'il existe un antécédent de 0 : cet antécédent est unique et vaut 1.
- en posant x=y=0, on a f( f(0)² ) = 0 et par ce qui précède, f(0)²=1
- il vient facilement que pour tout x, f(0)=f(x)-f(x+1), et par récurrence, que nf(0)=f(x)-f(x+n).
- f réalise donc une injection sur Z. Dans le cas f(0)=1, f(n)=1-n
- A partir de là, je suis dans le brouillard. Je vois bien deux trois pistes, mais rien qui permettent d'atteindre R.
- Vincent83Niveau 6
Pour l'injectivité : si f(x)=f(y) on peut essayer de montrer que f(x-y+1)=0 car par ce qui précède on a alors x-y=0. J'ai une preuve simple de ce fait mais elle ne tiendrait pas dans cette case...
- laleNiveau 1
si f(0)=1alors f(f(x))+f(x)=1 donc pour tout z dans f(R) f(z)=1-z
et alors c'est la surjectivité qui pose problème
et alors c'est la surjectivité qui pose problème
JPhMMDemi-dieu
Petit truc en passant : comment calculer mentalement le produit de deux nombres "proches" ?
Par exemple : 23 x 27 = ?
20+3=23
20+7=27
20+7+3=30
Et bien 20 x 30 + 3 x 7 = 621 = 23 x 27
En effet :
a x (a+b+c) + bc = a² + ab+ac+bc
(a+b)(a+c)=a² + ab+ac+bc
Autre exemple :
215x207=?
200x(215+7)+15x7=200x222+105=44400+105=44505.
Par exemple : 23 x 27 = ?
20+3=23
20+7=27
20+7+3=30
Et bien 20 x 30 + 3 x 7 = 621 = 23 x 27
En effet :
a x (a+b+c) + bc = a² + ab+ac+bc
(a+b)(a+c)=a² + ab+ac+bc
Autre exemple :
215x207=?
200x(215+7)+15x7=200x222+105=44400+105=44505.
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Labyrinthe où l'admiration des ignorants et des idiots qui prennent pour savoir profond tout ce qu'ils n'entendent pas, les a retenus, bon gré malgré qu'ils en eussent. — John Locke
Je crois que je ne crois en rien. Mais j'ai des doutes. — Jacques Goimard
- JPhMMDemi-dieu
Plus joli encore:
(a-b)(a-c)=a²-ab-ac+bc=ax(a-b-c)+bxc
Donc 195x187=200x(195-13)+5x13=200x182+65=36400+65=36465
(a-b)(a-c)=a²-ab-ac+bc=ax(a-b-c)+bxc
Donc 195x187=200x(195-13)+5x13=200x182+65=36400+65=36465
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- JPhMMDemi-dieu
Un autre ?
297 x 283 = 300 x (283 - 3) + 17x3=300x280+51=84051
297 x 283 = 300 x (283 - 3) + 17x3=300x280+51=84051
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Je crois que je ne crois en rien. Mais j'ai des doutes. — Jacques Goimard
- archebocEsprit éclairé
JPhMM a écrit:Un autre ?
297 x 283 = 300 x (283 - 3) + 17x3=300x280+51=84051
Avec un peu plus de calcul, mais plus de calculs simples : 297 x 283 = (290+7)(290-7) = 290²-7² = (290-10)(290+10)+10²-7²
Le problème, c'est qu'on ne peut faire cela qu'avec des nombres de même parité. Mais comme tu n'as donné dans tes exemples que des couples de nombres impairs, ce n'est pas bien grave. Pourtant, ta méthode fonctionne aussi avec des couples pair-impair.
24*27=21*30+3*6=630+18=648
497*486=500*(486-3) + 14*3 = 243000 - 1500 + 42 = 241542
Joli.
- JPhMMDemi-dieu
Tu as raison.
Et en effet, j'aurais du utiliser au moins une fois le produit d'un pair par un impair.
Hop :
(a-b)(a+c)=a²-ab+ac-bc=a(a-b+c)-bc
1972 x 2017 =
2000*(1972+17) - 28*17=
2000*1989 - [20*(28-3)-8*3]=
3978000 - 500 + 24 = 3977524
Et en effet, j'aurais du utiliser au moins une fois le produit d'un pair par un impair.
Hop :
(a-b)(a+c)=a²-ab+ac-bc=a(a-b+c)-bc
1972 x 2017 =
2000*(1972+17) - 28*17=
2000*1989 - [20*(28-3)-8*3]=
3978000 - 500 + 24 = 3977524
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