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- ycombeMonarque
Dans le Pour la science n° 472 de février 2017, Jean-Paul Delahaye donne huit exemples de vérités mathématiques assez simples et très inattendues. Elles sont toutes très intéressantes, mais il y en a une qui me plait plus que les autres: la sixième.
Les scarabées tombent-ils tous? Si oui, en combien de temps au maximum ? Si non, quelle configuration assure qu'il en reste indéfiniment sur la règle?
Miracle 6 - Les scarabées vont-ils tous tomber ?
Une famille de 20 scarabées se trouve sur une règle en bois en position horizontale dont la longueur est le 1m exactement. Ils sont placés au hasard sur la règle, chacun tourné vers la droite ou vers la gauche, au hasard. Chaque scarabée avance de 1 cm par seconde. Quand deux scarabées se rencontrent, ils font tous les deux demi-tour. On suppose que le demi-tour est instantané et que les scarabées sont de longueur négligeable. Quand un scarabée arrive à une des extrémités de la règle, il tombe par terre.
Niang973Habitué du forum
je ne sais pas si je pose ma question au bon endroit, mais je tente quand même.
chaque semaine je propose des énigmes à mes élèves , pour la dernière c'est une de mes anciennes collègues qui me l'a envoyée. Si je requiers votre aide c'est parce que j'aimerais savoir si ma solution ne peut pas être optimisée.
voici l'énigme:
je trouve 56+147 =203 , alors ma question est de savoir si on ne peut pas trouver une masse plus petite... J'ai résolu par élimination en cherchant les sommes possibles à l'aide d'un tableur. En testant sur les nombres entre 0 et 200 kg je n'ai trouvé aucune addition possible, suis-je passé à côté de quelque chose?
Merci d'avance pour votre aide.
chaque semaine je propose des énigmes à mes élèves , pour la dernière c'est une de mes anciennes collègues qui me l'a envoyée. Si je requiers votre aide c'est parce que j'aimerais savoir si ma solution ne peut pas être optimisée.
voici l'énigme:
je trouve 56+147 =203 , alors ma question est de savoir si on ne peut pas trouver une masse plus petite... J'ai résolu par élimination en cherchant les sommes possibles à l'aide d'un tableur. En testant sur les nombres entre 0 et 200 kg je n'ai trouvé aucune addition possible, suis-je passé à côté de quelque chose?
Merci d'avance pour votre aide.
_________________
- mon CV:
2008-2009: (28310) : Prof de techno : 6e , 5e , 4e , 3e
2009-2010: (97354) : Prof de techno : 6e , 3e -- Prof d'SVT: 4e -- Documentaliste
2010-2011: (97354) : Prof de techno : 6e , 5e , 4e , 3e -- Prof d'SVT: 5e , 4e -- Prof de Maths: 4e
2011-2012: (97351) : Prof de techno : 3e -- Prof d'SVT: 4e , 3e
2012-2013: (97351) : Prof de Maths : 6e , 5e , 4e , 3e
2013-2014: (43400) : Prof de Maths : 3e , 2nde , 1eSTMG , 1eES
2014-2015: (63600) : Prof de Maths : 6e , 5e , 4e , 3e
2015-2016: (78100) : Prof de Maths : 5e
2016-2017: (97660) : Prof de Maths : 6e, 5e, 4e
2017-2018: (97660) : Prof de Maths : 5e, 3e
2018-2019: (97630) : Prof de Maths : 2nde, 1eS , 1eES ,TleSTMG
2019-2020: (99237) : Prof de Maths : 5e, 2nde, TleES
2020-2021: (75017) : Prof de Maths : 6e, 3e
2021-2022: (75017) : Prof de Maths : 6e, 5e,2nde
2022-2023: (97317) : Prof de Maths : 6e, 5e
2023-2024: (97317) : Prof de Maths : 6e, 4e
ylmExpert spécialisé
Sauf si on accepte un 0 comme premier chiffre d'un nombre, la réponse est forcément supérieure à 200 non? Donc ta solution est forcément la meilleure.
_________________
The life of man, solitary, poor, nasty, brutish and short.
Thomas Hobbes
- Niang973Habitué du forum
Merci pour ton aide ylm
mais justement même en acceptant le zéro comme premier chiffre d'un nombre je n'arrive pas à trouver plus petit :| je suis convaincu que je passe à côté de quelque chose.... J'ai eu un instant un calcul qui me semblait correct , mais je réfléchissais en mode "calcul mental" et pouff d'un coup çà a disparu de mon esprit, et depuis je n'arrête pas de me dire que j'ai "peut-être" trouvé une solution plus petite ..... je continue de chercher de mon côté , et si jamais quelqu'un trouve plus petit je suis preneur.
Merci encore pour ton aide
mais justement même en acceptant le zéro comme premier chiffre d'un nombre je n'arrive pas à trouver plus petit :| je suis convaincu que je passe à côté de quelque chose.... J'ai eu un instant un calcul qui me semblait correct , mais je réfléchissais en mode "calcul mental" et pouff d'un coup çà a disparu de mon esprit, et depuis je n'arrête pas de me dire que j'ai "peut-être" trouvé une solution plus petite ..... je continue de chercher de mon côté , et si jamais quelqu'un trouve plus petit je suis preneur.
Merci encore pour ton aide
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ben2510Expert spécialisé
Toutes les solutions :
25+376=401
26+375=401
46+157=203
47+156=203
54+176=230
56+147=203
56+174=230
57+146=203
74+156=230
75+326=401
76+154=230
76+325=401
Tu as trouvé la plus petite.
25+376=401
26+375=401
46+157=203
47+156=203
54+176=230
56+147=203
56+174=230
57+146=203
74+156=230
75+326=401
76+154=230
76+325=401
Tu as trouvé la plus petite.
- code python:
def permut(s):
if s=='':
return[]
elif len(s)==1:
return [s]
else:
l=[]
for k in range(len(s)):
for p in permut(s[0:k]+s[k+1:]):
l.append(s[k]+p)
return(l)
print(permut('abc'))
s='01234567'
liste=permut(s)
for k in liste:
if int(k[0:2])+int(k[2:5])==int(k[5:]):
print(k)
_________________
On fait la science avec des faits, comme on fait une maison avec des pierres : mais une accumulation de faits n'est pas plus une science qu'un tas de pierres n'est une maison. Henri Poincaré La notion d'équation différentielle est le pivot de la conception scientifique du monde. Vladimir Arnold
- Niang973Habitué du forum
merci beaucoup Ben !!
Et superbe l'algorithme
Et superbe l'algorithme
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- ben2510Expert spécialisé
Bah c'est très classique, énumération systématique et test des cas qui marchent...
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On fait la science avec des faits, comme on fait une maison avec des pierres : mais une accumulation de faits n'est pas plus une science qu'un tas de pierres n'est une maison. Henri Poincaré La notion d'équation différentielle est le pivot de la conception scientifique du monde. Vladimir Arnold
- Niang973Habitué du forum
je cherchais trop loin , c'est clair qu'il n'y a rien de plus radical qu'une énumération systématique quand le nombre de cas à tester n'est pas trop élevé 
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- ben2510Expert spécialisé
8!=8*7*6*5*4*3*2*1=40320 quand même.
Avec un ordinateur ça va vite, mais à la main il faudrait optimiser en élaguant l'arbre de recherches.
Avec un ordinateur ça va vite, mais à la main il faudrait optimiser en élaguant l'arbre de recherches.
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On fait la science avec des faits, comme on fait une maison avec des pierres : mais une accumulation de faits n'est pas plus une science qu'un tas de pierres n'est une maison. Henri Poincaré La notion d'équation différentielle est le pivot de la conception scientifique du monde. Vladimir Arnold
ycombeMonarque
Très joli code.
Mais bon, un code bourrin qui teste tous les cas possible, cela ne manque-t-il pas un peu d'élégance?
Raisonnons un peu. Les 8 chiffres sont à placer en deux parties: l'addition et son résultat. Modulo 9, ces deux groupes doivent être égaux. Comme le total est 1 modulo 9, chacun des groupes a un total de 5 modulo 9.
Voilà qui réduit fortement les possibilités. Les chiffres du résultats ne peuvent être que parmi ces groupes:
761
752
743
654
410
320
Les seuls qui contiennent un 1, pour descendre en dessous de 203, sont 761 et 410, qui donnent trois solution à essayer: 167 176 et 140. 140 est impossible puisqu'on a besoin du 0 en chiffre des centaines en deuxième ligne. 167 et 176 ne fonctionnent pas, les chiffres restant ne donnent pas la retenue nécessaire pour les centaines.
203 est bien la plus petite solution.
Mais bon, un code bourrin qui teste tous les cas possible, cela ne manque-t-il pas un peu d'élégance?
Raisonnons un peu. Les 8 chiffres sont à placer en deux parties: l'addition et son résultat. Modulo 9, ces deux groupes doivent être égaux. Comme le total est 1 modulo 9, chacun des groupes a un total de 5 modulo 9.
Voilà qui réduit fortement les possibilités. Les chiffres du résultats ne peuvent être que parmi ces groupes:
761
752
743
654
410
320
Les seuls qui contiennent un 1, pour descendre en dessous de 203, sont 761 et 410, qui donnent trois solution à essayer: 167 176 et 140. 140 est impossible puisqu'on a besoin du 0 en chiffre des centaines en deuxième ligne. 167 et 176 ne fonctionnent pas, les chiffres restant ne donnent pas la retenue nécessaire pour les centaines.
203 est bien la plus petite solution.
_________________
Assurbanipal: "Passant, mange, bois, divertis-toi ; tout le reste n’est rien".
Franck Ramus : "Les sciences de l'éducation à la française se font fort de produire un discours savant sur l'éducation, mais ce serait visiblement trop leur demander que de mettre leur discours à l'épreuve des faits".
- ben2510Expert spécialisé
Voui, mais il faut réfléchir, ça fait mal à la tête :chat:
Ta solution est plus élégante que la mienne, la mienne ayant l'avantage de m'avoir permis de taper quelques lignes de code, ce qui m'a fait plaisir
Ta solution est plus élégante que la mienne, la mienne ayant l'avantage de m'avoir permis de taper quelques lignes de code, ce qui m'a fait plaisir
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On fait la science avec des faits, comme on fait une maison avec des pierres : mais une accumulation de faits n'est pas plus une science qu'un tas de pierres n'est une maison. Henri Poincaré La notion d'équation différentielle est le pivot de la conception scientifique du monde. Vladimir Arnold
- Niang973Habitué du forum
Chapeau Ycombe !
merci encore pour le script python! (avec l'indentation c'est plus sympa )
en ce moment j'essaie de coder le script sous scratch , mais je lutte à cause de la gestion des tableaux dans le logiciel.
Il y a bien les chaines de caractères ou les listes mais çà fait ramer ma bécane :|
j'aimerai bien pouvoir présenter cette méthode de résolution avec scratch , mais bon si je n'y arrive pas tant pis.
Donc avis aux scratcheurs si quelqu'un arrive à scratcher le script de Ben autrement qu'avec les listes je suis preneur
avec Scratch au bout de 17minutes de calcul j'en suis à 55% de progression
ben2510 a écrit:Toutes les solutions :
25+376=401
26+375=401
46+157=203
47+156=203
54+176=230
56+147=203
56+174=230
57+146=203
74+156=230
75+326=401
76+154=230
76+325=401
Tu as trouvé la plus petite.
- code python:
def permut(s):
if s=='':
return[]
elif len(s)==1:
return [s]
else:
l=[]
for k in range(len(s)):
for p in permut(s[0:k]+s[k+1:]):
l.append(s[k]+p)
return(l)
print(permut('abc'))
s='01234567'
liste=permut(s)
for k in liste:
if int(k[0:2])+int(k[2:5])==int(k[5:]):
print(k)
merci encore pour le script python! (avec l'indentation c'est plus sympa
)en ce moment j'essaie de coder le script sous scratch , mais je lutte à cause de la gestion des tableaux dans le logiciel.
Il y a bien les chaines de caractères ou les listes mais çà fait ramer ma bécane :|
j'aimerai bien pouvoir présenter cette méthode de résolution avec scratch , mais bon si je n'y arrive pas tant pis.
Donc avis aux scratcheurs si quelqu'un arrive à scratcher le script de Ben autrement qu'avec les listes je suis preneur
avec Scratch au bout de 17minutes de calcul j'en suis à 55% de progression
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2008-2009: (28310) : Prof de techno : 6e , 5e , 4e , 3e
2009-2010: (97354) : Prof de techno : 6e , 3e -- Prof d'SVT: 4e -- Documentaliste
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2016-2017: (97660) : Prof de Maths : 6e, 5e, 4e
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2023-2024: (97317) : Prof de Maths : 6e, 4e
- ycombeMonarque
(Via twitter: https://twitter.com/_eylem_99/status/889806649124421634 )
Edit: plusieurs solutions sont proposées en réponse au tweet, pour les feignasses qui veulent la réponse sans chercher.
- Spoiler:
En même temps, quel intérêt de vouloir la réponse sans la chercher ?
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FenrirHabitué du forum
J'ai conjecturé la réponse sous geogebra, mais j'ai la flemme de m'y mettre proprement, est ce que c'est un argument valide ?
_________________
À quoi bon mettre son pédigrée, on est partis pour 40 ans*. ████ ████. * 42, il faut lire 42.
- ycombeMonarque
Fenrir a écrit:J'ai conjecturé la réponse sous geogebra, mais j'ai la flemme de m'y mettre proprement, est ce que c'est un argument valide ?
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- ycombeMonarque
En spoiler, une des solutions que j'ai trouvées.
Ma solution préférée de twitter (c'est pour le dessin
):
- Spoiler:
On prolonge OD qui coupe AB en H. Les angles sont égaux 2 à 2 (parallèles/alternes-internes et angles opposés par le sommet) et on a deux côtés DA et DC égaux, les triangles AHD et DOC sont égaux, donc les angles alpha, ADH, ODC et OCD sont égaux.
On a aussi D milieu de OH, ce qui assure (médiane du triangle rectangle) que DB=DO. Il en résulte facilement que DOB est équilatéral.
En remarquant que BDC mesure 45° (angle inscrit/au centre), il reste 15° pour ODC qui est égal à alpha.
Ma solution préférée de twitter (c'est pour le dessin
):- Spoiler:
This is the most awful drawing with my phone... Blue is equilateral. Orange is 45°, alpha red. Looking at D:
— Vincent PANTALONI (@panlepan) 25 juillet 2017
90=45+60-alpha => alpha=15° pic.twitter.com/Uy2a5sOhGl
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Assurbanipal: "Passant, mange, bois, divertis-toi ; tout le reste n’est rien".
Franck Ramus : "Les sciences de l'éducation à la française se font fort de produire un discours savant sur l'éducation, mais ce serait visiblement trop leur demander que de mettre leur discours à l'épreuve des faits".
- ben2510Expert spécialisé
Trouvé, et de tête.
Merci à mes 8 ans d'enseignement en collège (et à mes profs de 4e-3e qui m'ont appris à chercher une démonstration en retrouvant des figures-clés, genre droite des milieux, angles inscrits, triangles particuliers...).
C'est un bon exercice de troisième :-)
Merci à mes 8 ans d'enseignement en collège (et à mes profs de 4e-3e qui m'ont appris à chercher une démonstration en retrouvant des figures-clés, genre droite des milieux, angles inscrits, triangles particuliers...).
C'est un bon exercice de troisième :-)
- Spoiler:
- OBD et OBC sont équilatéral et isocèle rectangle respectivement, les angles DOB et DCB interceptent le même arc DB, donc OCD=45-30= alpha avec les angles alternes-internes par rapport aux parallèles.
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On fait la science avec des faits, comme on fait une maison avec des pierres : mais une accumulation de faits n'est pas plus une science qu'un tas de pierres n'est une maison. Henri Poincaré La notion d'équation différentielle est le pivot de la conception scientifique du monde. Vladimir Arnold
- ycombeMonarque
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Assurbanipal: "Passant, mange, bois, divertis-toi ; tout le reste n’est rien".
Franck Ramus : "Les sciences de l'éducation à la française se font fort de produire un discours savant sur l'éducation, mais ce serait visiblement trop leur demander que de mettre leur discours à l'épreuve des faits".
archebocEsprit éclairé
- Spoiler:
- Appelons A le point de contact entre les deux pentagones. Considérons la configuration où les deux pentagones sont homothétiques, les deux droites de la figure passant par A. L'angle X vaut alors trivialement 162°. Appelons cette position la configuration particulière.
Nous allons montrer que cet angle est constant lorsqu'on rejoint la configuration générale, par rotation du pentagone vert autour de A.
Appelons B l'autre point d'intersection des deux cercles circonscrits aux deux pentagones : comme dans la configuration particulière les deux cercles sont tangents, l'existence de B est garantie.
Considérons maintenant une des droites qui dans la configuration particulière joint B (confondu avec A) à l'un des angles de chacun des pentagones. Dans la configuration générale, nous allons montrer que ces trois points restent alignés. Pour cela, nous allons montrer que les deux droites joignant B aux deux angles des deux pentagones vont dévier d'un même angle. Appelons les droite rouge et droite verte.
Appelons a l'angle de rotation du pentagone vert de la position particulière à la position générale.
Appelons r (resp.. v) l'angle sous lequel le centre du pentagone rouge (resp. vert) voit AB. Ces trois valeurs sont reliées par l'équation : r+v=2a (angles des rayons de deux cercles intersectants).
Or :
- la déviation de la droite rouge est de la moitié de r, par théorème de l'angle au centre.
- la déviation de la droite verte est la somme de deux composantes : d'une part la rotation du pentagone vert, d'autre part la dérive du point B. La rotation est de a, et la dérive est la moitié de l'opposée de v (moitié de v, toujours par théorème de l'angle au centre, et l'opposée, parce que B avance dans un sens opposé selon que l'on regarde depuis rouge ou depuis vert).
Les déviations des deux droites sont elles égales ? Autrement dit r/2=a-v/2 ?
Oui, c'est exactement la formule précédente.
dami1kdHabitué du forum
- Spoiler:
- archeboc a écrit:
Appelons A le point de contact entre les deux pentagones. Considérons la configuration où les deux pentagones sont homothétiques, les deux droites de la figure passant par A. L'angle X vaut alors trivialement 162°. Appelons cette position la configuration particulière.
Nous allons montrer que cet angle est constant lorsqu'on rejoint la configuration générale, par rotation du pentagone vert autour de A.
Appelons B l'autre point d'intersection des deux cercles circonscrits aux deux pentagones : comme dans la configuration particulière les deux cercles sont tangents, l'existence de B est garantie.
Considérons maintenant une des droites qui dans la configuration particulière joint B (confondu avec A) à l'un des angles de chacun des pentagones. Dans la configuration générale, nous allons montrer que ces trois points restent alignés. Pour cela, nous allons montrer que les deux droites joignant B aux deux angles des deux pentagones vont dévier d'un même angle. Appelons les droite rouge et droite verte.
Appelons a l'angle de rotation du pentagone vert de la position particulière à la position générale.
Appelons r (resp.. v) l'angle sous lequel le centre du pentagone rouge (resp. vert) voit AB. Ces trois valeurs sont reliées par l'équation : r+v=2a (angles des rayons de deux cercles intersectants).
Or :
- la déviation de la droite rouge est de la moitié de r, par théorème de l'angle au centre.
- la déviation de la droite verte est la somme de deux composantes : d'une part la rotation du pentagone vert, d'autre part la dérive du point B. La rotation est de a, et la dérive est la moitié de l'opposée de v (moitié de v, toujours par théorème de l'angle au centre, et l'opposée, parce que B avance dans un sens opposé selon que l'on regarde depuis rouge ou depuis vert).
Les déviations des deux droites sont elles égales ? Autrement dit r/2=a-v/2 ?
Oui, c'est exactement la formule précédente.
162, vraiment ?
- FenrirHabitué du forum
- Spoiler:
- Non, 144° je pense. Mais encore une fois, la preuve se dérobe à moi
Edit : pas la preuve du 144, on l'obtient avec le théorème de l'angle au centre. le pourquoi je peux l'utiliser.
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À quoi bon mettre son pédigrée, on est partis pour 40 ans*. ████ ████. * 42, il faut lire 42.
- archebocEsprit éclairé
dami1kd a écrit:162, vraiment ?
Bien sûr, puisque 360 divisé par 5, cela fait 36.
OK, je sors.
- Spoiler:
- donc 144 évidemment
- ycombeMonarque
Fenrir a écrit:Edit 2 : trouvé, réponse envoyée en MP.
- Spoiler:
Edit : pas la preuve du 144, on l'obtient avec le théorème de l'angle au centre. le pourquoi je peux l'utiliser.
Très joli, mais inutile de l'envoyer en MP, mets le simplement en spoiler.
- Solution de Fenrir:
soit A le sommet commun des deux pentagones.
soient ADEFB et ACGHI les deux pentagones nommés dans le sens direct.
Soit r la rotation de centre A et d'angle 36° dans le sens direct toujours.
Grâce au théorème de l'angle au centre, on sait que EÂF et GÂH mesurent 36°, donc
r(G) = H
r(E) = F
Et donc (HF) est l'image de (GE) par r. l'angle formé par les deux droites mesure donc 36°, d'où X=144°
Ce qui est intéressant, c'est que le sommet de X est le deuxième point d'intersection des deux cercles circonscrits aux pentagones.
J'avais une autre idée:
- Spoiler:
- Qui consiste à démontrer d'abord que le point X est bien la deuxième intersection des cercles.
Si je reprends tes notations, ça donne ceci. Soit M l'intersection des deux cercles. On trace les segments ME MF et MH MG des deux côtés. On va montrer que les segments sont alignés deux à deux. Par les angles inscrits, les angles AMF et AMG sont égaux à 72° tandis que FME vaut 36°. L'angle GME mesure 180° d'où l'alignement. HMF sont alignés pour la même raison. X est confondu avec M et le calcul de la démonstration donne 144°.
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Assurbanipal: "Passant, mange, bois, divertis-toi ; tout le reste n’est rien".
Franck Ramus : "Les sciences de l'éducation à la française se font fort de produire un discours savant sur l'éducation, mais ce serait visiblement trop leur demander que de mettre leur discours à l'épreuve des faits".
- ycombeMonarque
Toujours issu du même compte twitter.
J'en trouvé une démonstration que je trouvais pas mal, un truc de géométrie classique en plusieurs étapes, jusqu'à ce que je tombe sur une autre dans les réponses du twitt, vraiment plus belle et simple.
Je vous laisse chercher un peu.
J'en trouvé une démonstration que je trouvais pas mal, un truc de géométrie classique en plusieurs étapes, jusqu'à ce que je tombe sur une autre dans les réponses du twitt, vraiment plus belle et simple.
Je vous laisse chercher un peu.
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Assurbanipal: "Passant, mange, bois, divertis-toi ; tout le reste n’est rien".
Franck Ramus : "Les sciences de l'éducation à la française se font fort de produire un discours savant sur l'éducation, mais ce serait visiblement trop leur demander que de mettre leur discours à l'épreuve des faits".
- ycombeMonarque
Chapeau !archeboc a écrit:
- Spoiler:
Nous allons montrer que cet angle est constant lorsqu'on rejoint la configuration générale, par rotation du pentagone vert autour de A.
Appelons B l'autre point d'intersection des deux cercles circonscrits aux deux pentagones : comme dans la configuration particulière les deux cercles sont tangents, l'existence de B est garantie.
Considérons maintenant une des droites qui dans la configuration particulière joint B (confondu avec A) à l'un des angles de chacun des pentagones. Dans la configuration générale, nous allons montrer que ces trois points restent alignés. Pour cela, nous allons montrer que les deux droites joignant B aux deux angles des deux pentagones vont dévier d'un même angle. Appelons les droite rouge et droite verte.
Appelons a l'angle de rotation du pentagone vert de la position particulière à la position générale.
Appelons r (resp.. v) l'angle sous lequel le centre du pentagone rouge (resp. vert) voit AB. Ces trois valeurs sont reliées par l'équation : r+v=2a (angles des rayons de deux cercles intersectants).
Or :
- la déviation de la droite rouge est de la moitié de r, par théorème de l'angle au centre.
- la déviation de la droite verte est la somme de deux composantes : d'une part la rotation du pentagone vert, d'autre part la dérive du point B. La rotation est de a, et la dérive est la moitié de l'opposée de v (moitié de v, toujours par théorème de l'angle au centre, et l'opposée, parce que B avance dans un sens opposé selon que l'on regarde depuis rouge ou depuis vert).
Les déviations des deux droites sont elles égales ? Autrement dit r/2=a-v/2 ?
Oui, c'est exactement la formule précédente.
J'avais cherché un truc comme ça mais j'avoue y avoir renoncé. Trop complexe pour moi...
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