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ycombe
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Re: Petits problèmes de mathématiques

par ycombe le Sam 18 Fév 2017 - 21:53
Dans le Pour la science n° 472 de février 2017, Jean-Paul Delahaye donne huit exemples de vérités mathématiques assez simples et très inattendues. Elles sont toutes très intéressantes, mais il y en a une qui me plait plus que les autres: la sixième.

Miracle 6 - Les scarabées vont-ils tous tomber ?

Une famille de 20 scarabées se trouve sur une règle en bois en position horizontale dont la longueur est le 1m exactement. Ils sont placés au hasard sur la règle, chacun tourné vers la droite ou vers la gauche, au hasard. Chaque scarabée avance de 1 cm par seconde. Quand deux scarabées se rencontrent, ils font tous les deux demi-tour. On suppose que le demi-tour est instantané et que les scarabées sont de longueur négligeable. Quand un scarabée arrive à une des extrémités de la règle, il tombe par terre.
Les scarabées tombent-ils tous? Si oui, en combien de temps au maximum ? Si non, quelle configuration assure qu'il en reste indéfiniment sur la règle?
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Niang973
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Re: Petits problèmes de mathématiques

par Niang973 le Sam 1 Avr 2017 - 16:47
je ne sais pas si je pose ma question au bon endroit, mais je tente quand même.
chaque semaine je propose des énigmes à mes élèves , pour la dernière c'est une de mes anciennes collègues qui me l'a envoyée. Si je requiers votre aide c'est parce que j'aimerais savoir si ma solution ne peut pas être optimisée.
voici l'énigme:


je trouve 56+147 =203 , alors ma question est de savoir si on ne peut pas trouver une masse plus petite... J'ai résolu par élimination en cherchant les sommes possibles à l'aide d'un tableur. En testant sur les nombres entre 0 et 200 kg je n'ai trouvé aucune addition possible, suis-je passé à côté de quelque chose?
Merci d'avance pour votre aide.

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ylm
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Re: Petits problèmes de mathématiques

par ylm le Sam 1 Avr 2017 - 16:56
Sauf si on accepte un 0 comme premier chiffre d'un nombre, la réponse est forcément supérieure à 200 non? Donc ta solution est forcément la meilleure.

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Niang973
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Re: Petits problèmes de mathématiques

par Niang973 le Sam 1 Avr 2017 - 17:42
Merci pour ton aide ylm
mais justement même en acceptant le zéro comme premier chiffre d'un nombre je n'arrive pas à trouver plus petit Neutral je suis convaincu que je passe à côté de quelque chose.... J'ai eu un instant un calcul qui me semblait correct , mais je réfléchissais en mode "calcul mental" et pouff d'un coup çà a disparu de mon esprit, et depuis je n'arrête pas de me dire que j'ai "peut-être" trouvé une solution plus petite ..... je continue de chercher de mon côté , et si jamais quelqu'un trouve plus petit je suis preneur.
Merci encore pour ton aide Smile

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ben2510
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Re: Petits problèmes de mathématiques

par ben2510 le Sam 1 Avr 2017 - 20:55
Toutes les solutions :
25+376=401
26+375=401
46+157=203
47+156=203
54+176=230
56+147=203
56+174=230
57+146=203
74+156=230
75+326=401
76+154=230
76+325=401

Tu as trouvé la plus petite.

code python:

def permut(s):
if s=='':
return[]
elif len(s)==1:
   return [s]
else:
l=[]
for k in range(len(s)):
for p in permut(s[0:k]+s[k+1:]):
l.append(s[k]+p)
return(l)

print(permut('abc'))

s='01234567'
liste=permut(s)

for k in liste:
   if int(k[0:2])+int(k[2:5])==int(k[5:]):
       print(k)


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On fait la science avec des faits, comme on fait une maison avec des pierres : mais une accumulation de faits n'est pas plus une science qu'un tas de pierres n'est une maison. Henri Poincaré  La notion d'équation différentielle est le pivot de la conception scientifique du monde. Vladimir Arnold
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Niang973
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Re: Petits problèmes de mathématiques

par Niang973 le Sam 1 Avr 2017 - 21:33
merci beaucoup Ben !!
Et superbe l'algorithme yesyes yesyes

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ben2510
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Re: Petits problèmes de mathématiques

par ben2510 le Sam 1 Avr 2017 - 21:43
Bah c'est très classique, énumération systématique et test des cas qui marchent...

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Niang973
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Re: Petits problèmes de mathématiques

par Niang973 le Sam 1 Avr 2017 - 21:46
je cherchais trop loin , c'est clair qu'il n'y a rien de plus radical qu'une énumération systématique quand le nombre de cas à tester n'est pas trop élevé veneration

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ben2510
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Re: Petits problèmes de mathématiques

par ben2510 le Sam 1 Avr 2017 - 22:00
8!=8*7*6*5*4*3*2*1=40320 quand même.
Avec un ordinateur ça va vite, mais à la main il faudrait optimiser en élaguant l'arbre de recherches.

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ycombe
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Re: Petits problèmes de mathématiques

par ycombe le Dim 2 Avr 2017 - 0:25
Très joli code.

Mais bon, un code bourrin qui teste tous les cas possible, cela ne manque-t-il pas un peu d'élégance?

Raisonnons un peu. Les 8 chiffres sont à placer en deux parties: l'addition et son résultat. Modulo 9, ces deux groupes doivent être égaux. Comme le total est 1 modulo 9, chacun des groupes a un total de 5 modulo 9.

Voilà qui réduit fortement les possibilités. Les chiffres du résultats ne peuvent être que parmi ces groupes:
761
752
743
654
410
320

Les seuls qui contiennent un 1, pour descendre en dessous de 203, sont 761 et 410, qui donnent trois solution à essayer: 167 176 et 140. 140 est impossible puisqu'on a besoin du 0 en chiffre des centaines en deuxième ligne. 167 et 176 ne fonctionnent pas, les chiffres restant ne donnent pas la retenue nécessaire pour les centaines.

203 est bien la plus petite solution.

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ben2510
Érudit

Re: Petits problèmes de mathématiques

par ben2510 le Dim 2 Avr 2017 - 1:03
Voui, mais il faut réfléchir, ça fait mal à la tête :chat:
Ta solution est plus élégante que la mienne, la mienne ayant l'avantage de m'avoir permis de taper quelques lignes de code, ce qui m'a fait plaisir Very Happy

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Niang973
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Re: Petits problèmes de mathématiques

par Niang973 le Dim 2 Avr 2017 - 7:03
Chapeau Ycombe !
@ben2510 a écrit:Toutes les solutions :
25+376=401
26+375=401
46+157=203
47+156=203
54+176=230
56+147=203
56+174=230
57+146=203
74+156=230
75+326=401
76+154=230
76+325=401

Tu as trouvé la plus petite.

code python:

def permut(s):
if s=='':
return[]
elif len(s)==1:
  return [s]
else:
l=[]
for k in range(len(s)):
for p in permut(s[0:k]+s[k+1:]):
l.append(s[k]+p)
return(l)

print(permut('abc'))

s='01234567'
liste=permut(s)

for k in liste:
  if int(k[0:2])+int(k[2:5])==int(k[5:]):
      print(k)


merci encore pour le script python! (avec l'indentation c'est plus sympa Smile )

en ce moment j'essaie de coder le script sous scratch , mais je lutte à cause de la gestion des tableaux dans le logiciel.
Il y a bien  les chaines de caractères ou les listes mais çà fait ramer ma bécane Neutral
j'aimerai bien pouvoir présenter cette méthode de résolution avec scratch , mais bon si je n'y arrive pas tant pis.
Donc avis aux scratcheurs si quelqu'un arrive à scratcher le script de Ben autrement qu'avec les listes je suis preneur


avec Scratch au bout de 17minutes de calcul j'en suis à 55% de progression

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ycombe
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Re: Petits problèmes de mathématiques

par ycombe le Mar 25 Juil 2017 - 20:57


(Via twitter: https://twitter.com/_eylem_99/status/889806649124421634 )

Edit: plusieurs solutions sont proposées en réponse au tweet, pour les feignasses qui veulent la réponse sans chercher.
Spoiler:

En même temps, quel intérêt de vouloir la réponse sans la chercher ?

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Re: Petits problèmes de mathématiques

par archeboc le Mar 25 Juil 2017 - 23:13
Trouvé !

Solution envoyée en MP.
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Re: Petits problèmes de mathématiques

par Fenrir le Mar 25 Juil 2017 - 23:22
J'ai conjecturé la réponse sous geogebra, mais j'ai la flemme de m'y mettre proprement, est ce que c'est un argument valide ?

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Re: Petits problèmes de mathématiques

par ycombe le Mar 25 Juil 2017 - 23:32
@Fenrir a écrit:J'ai conjecturé la réponse sous geogebra, mais j'ai la flemme de m'y mettre proprement, est ce que c'est un argument valide ?

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ycombe
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Re: Petits problèmes de mathématiques

par ycombe le Mar 25 Juil 2017 - 23:48
En spoiler, une des solutions que j'ai trouvées.

Spoiler:

On prolonge OD qui coupe AB en H. Les angles sont égaux 2 à 2 (parallèles/alternes-internes et angles opposés par le sommet) et on a deux côtés DA et DC égaux, les triangles AHD et DOC sont égaux, donc les angles alpha, ADH, ODC et OCD sont égaux.
On a aussi D milieu de OH, ce qui assure (médiane du triangle rectangle) que DB=DO. Il en résulte facilement que DOB est équilatéral.

En remarquant que BDC mesure 45° (angle inscrit/au centre), il reste 15° pour ODC qui est égal à alpha.

Ma solution préférée de twitter (c'est pour le dessin abi ):
Spoiler:




Dernière édition par ycombe le Mer 26 Juil 2017 - 0:10, édité 2 fois

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ben2510
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Re: Petits problèmes de mathématiques

par ben2510 le Mar 25 Juil 2017 - 23:54
Trouvé, et de tête.
Merci à mes 8 ans d'enseignement en collège (et à mes profs de 4e-3e qui m'ont appris à chercher une démonstration en retrouvant des figures-clés, genre droite des milieux, angles inscrits, triangles particuliers...).
C'est un bon exercice de troisième :-)

Spoiler:
OBD et OBC sont équilatéral et isocèle rectangle respectivement, les angles DOB et DCB interceptent le même arc DB, donc OCD=45-30= alpha avec les angles alternes-internes par rapport aux parallèles.

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ycombe
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Re: Petits problèmes de mathématiques

par ycombe le Mer 26 Juil 2017 - 0:03

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Re: Petits problèmes de mathématiques

par archeboc le Mer 26 Juil 2017 - 13:47
Spoiler:
Appelons A le point de contact entre les deux pentagones. Considérons la configuration où les deux pentagones sont homothétiques, les deux droites de la figure passant par A. L'angle X vaut alors trivialement 162°. Appelons cette position la configuration particulière.

Nous allons montrer que cet angle est constant lorsqu'on rejoint la configuration générale, par rotation du pentagone vert autour de A.

Appelons B l'autre point d'intersection des deux cercles circonscrits aux deux pentagones : comme dans la configuration particulière les deux cercles sont tangents, l'existence de B est garantie.

Considérons maintenant une des droites qui dans la configuration particulière joint B (confondu avec A) à l'un des angles de chacun des pentagones. Dans la configuration générale, nous allons montrer que ces trois points restent alignés. Pour cela, nous allons montrer que les deux droites joignant B aux deux angles des deux pentagones vont dévier d'un même angle. Appelons les droite rouge et droite verte.

Appelons a l'angle de rotation du pentagone vert de la position particulière à la position générale.
Appelons r (resp.. v) l'angle sous lequel le centre du pentagone rouge (resp. vert) voit AB. Ces trois valeurs sont reliées par l'équation : r+v=2a (angles des rayons de deux cercles intersectants).

Or :
- la déviation de la droite rouge est de la moitié de r, par théorème de l'angle au centre.
- la déviation de la droite verte est la somme de deux composantes : d'une part la rotation du pentagone vert, d'autre part la dérive du point B. La rotation est de a, et la dérive est la moitié de l'opposée de v (moitié de v, toujours par théorème de l'angle au centre, et l'opposée, parce que B avance dans un sens opposé selon que l'on regarde depuis rouge ou depuis vert).

Les déviations des deux droites sont elles égales ? Autrement dit r/2=a-v/2 ?
Oui, c'est exactement la formule précédente.
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dami1kd
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Re: Petits problèmes de mathématiques

par dami1kd le Mer 26 Juil 2017 - 14:09
Spoiler:
@archeboc a écrit:
Appelons A le point de contact entre les deux pentagones. Considérons la configuration où les deux pentagones sont homothétiques, les deux droites de la figure passant par A. L'angle X vaut alors trivialement 162°. Appelons cette position la configuration particulière.

Nous allons montrer que cet angle est constant lorsqu'on rejoint la configuration générale, par rotation du pentagone vert autour de A.

Appelons B l'autre point d'intersection des deux cercles circonscrits aux deux pentagones : comme dans la configuration particulière les deux cercles sont tangents, l'existence de B est garantie.

Considérons maintenant une des droites qui dans la configuration particulière joint B (confondu avec A) à l'un des angles de chacun des pentagones. Dans la configuration générale, nous allons montrer que ces trois points restent alignés. Pour cela, nous allons montrer que les deux droites joignant B aux deux angles des deux pentagones vont dévier d'un même angle. Appelons les droite rouge et droite verte.

Appelons a l'angle de rotation du pentagone vert de la position particulière à la position générale.
Appelons r (resp.. v) l'angle sous lequel le centre du pentagone rouge (resp. vert) voit AB. Ces trois valeurs sont reliées par l'équation : r+v=2a (angles des rayons de deux cercles intersectants).

Or :
- la déviation de la droite rouge est de la moitié de r, par théorème de l'angle au centre.
- la déviation de la droite verte est la somme de deux composantes : d'une part la rotation du pentagone vert, d'autre part la dérive du point B. La rotation est de a, et la dérive est la moitié de l'opposée de v (moitié de v, toujours par théorème de l'angle au centre, et l'opposée, parce que B avance dans un sens opposé selon que l'on regarde depuis rouge ou depuis vert).

Les déviations des deux droites sont elles égales ? Autrement dit r/2=a-v/2 ?
Oui, c'est exactement la formule précédente.

162, vraiment ?
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Fenrir
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Re: Petits problèmes de mathématiques

par Fenrir le Mer 26 Juil 2017 - 20:32
Spoiler:
Non, 144° je pense. Mais encore une fois, la preuve se dérobe à moi

Edit : pas la preuve du 144, on l'obtient avec le théorème de l'angle au centre. le pourquoi je peux l'utiliser.
Edit 2 : trouvé, réponse envoyée en MP.

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Sage

Re: Petits problèmes de mathématiques

par archeboc le Mer 26 Juil 2017 - 23:09
@dami1kd a écrit:162, vraiment ?

Bien sûr, puisque 360 divisé par 5, cela fait 36.

OK, je sors.

Spoiler:
donc 144 évidemment
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ycombe
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Re: Petits problèmes de mathématiques

par ycombe le Mer 26 Juil 2017 - 23:39
@Fenrir a écrit:
Spoiler:
Non, 144° je pense. Mais encore une fois, la preuve se dérobe à moi

Edit : pas la preuve du 144, on l'obtient avec le théorème de l'angle au centre. le pourquoi je peux l'utiliser.
Edit 2 : trouvé, réponse envoyée en MP.

Très joli, mais inutile de l'envoyer en MP, mets le simplement en spoiler.

Solution de Fenrir:

soit A le sommet commun des deux pentagones.

soient ADEFB et ACGHI les deux pentagones nommés dans le sens direct.

Soit r la rotation de centre A et d'angle 36° dans le sens direct toujours.

Grâce au théorème de l'angle au centre, on sait que EÂF et GÂH mesurent 36°, donc
r(G) = H
r(E) = F

Et donc (HF) est  l'image de (GE) par r. l'angle formé par les deux droites mesure donc 36°, d'où X=144°

Ce qui est intéressant, c'est  que le sommet de X est le deuxième point d'intersection des deux cercles circonscrits aux pentagones.


J'avais une autre idée:

Spoiler:
Qui consiste à démontrer d'abord que le point X est bien la deuxième intersection des cercles.

Si je reprends tes notations, ça donne ceci. Soit M l'intersection des deux cercles. On trace les segments ME MF et MH MG des deux côtés. On va montrer que les segments sont alignés deux à deux. Par les angles inscrits, les angles AMF et AMG sont égaux à 72° tandis que FME vaut 36°. L'angle GME mesure 180° d'où l'alignement. HMF sont alignés pour la même raison. X est confondu avec M et le calcul de la démonstration donne 144°.


Dernière édition par ycombe le Mer 26 Juil 2017 - 23:51, édité 1 fois

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Re: Petits problèmes de mathématiques

par ycombe le Mer 26 Juil 2017 - 23:43
Toujours issu du même compte twitter.



J'en trouvé une démonstration que je trouvais pas mal, un truc de géométrie classique en plusieurs étapes, jusqu'à ce que je tombe sur une autre dans les réponses du twitt, vraiment plus belle et simple.

Je vous laisse chercher un peu.

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Re: Petits problèmes de mathématiques

par ycombe le Mer 26 Juil 2017 - 23:49
@archeboc a écrit:
Spoiler:
Appelons A le point de contact entre les deux pentagones. Considérons la configuration où les deux pentagones sont homothétiques, les deux droites de la figure passant par A. L'angle X vaut alors trivialement 162°. Appelons cette position la configuration particulière.

Nous allons montrer que cet angle est constant lorsqu'on rejoint la configuration générale, par rotation du pentagone vert autour de A.

Appelons B l'autre point d'intersection des deux cercles circonscrits aux deux pentagones : comme dans la configuration particulière les deux cercles sont tangents, l'existence de B est garantie.

Considérons maintenant une des droites qui dans la configuration particulière joint B (confondu avec A) à l'un des angles de chacun des pentagones. Dans la configuration générale, nous allons montrer que ces trois points restent alignés. Pour cela, nous allons montrer que les deux droites joignant B aux deux angles des deux pentagones vont dévier d'un même angle. Appelons les droite rouge et droite verte.

Appelons a l'angle de rotation du pentagone vert de la position particulière à la position générale.
Appelons r (resp.. v) l'angle sous lequel le centre du pentagone rouge (resp. vert) voit AB. Ces trois valeurs sont reliées par l'équation : r+v=2a (angles des rayons de deux cercles intersectants).

Or :
- la déviation de la droite rouge est de la moitié de r, par théorème de l'angle au centre.
- la déviation de la droite verte est la somme de deux composantes : d'une part la rotation du pentagone vert, d'autre part la dérive du point B. La rotation est de a, et la dérive est la moitié de l'opposée de v (moitié de v, toujours par théorème de l'angle au centre, et l'opposée, parce que B avance dans un sens opposé selon que l'on regarde depuis rouge ou depuis vert).

Les déviations des deux droites sont elles égales ? Autrement dit r/2=a-v/2 ?
Oui, c'est exactement la formule précédente.
Chapeau !

J'avais cherché un truc comme ça mais j'avoue y avoir renoncé. Trop complexe pour moi...

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